Núcleo de función de base radial

Función del núcleo de aprendizaje automático

En el aprendizaje automático , el núcleo de función de base radial , o núcleo RBF , es una función de núcleo popular que se utiliza en varios algoritmos de aprendizaje kernelizado . En particular, se utiliza comúnmente en la clasificación de máquinas de vectores de soporte . ^[1]

El núcleo RBF en dos muestras y , representado como vectores de características en algún espacio de entrada , se define como ^[2] ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {x'} }$

${\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\exp \left(-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \textstyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|^{2}}$puede reconocerse como la distancia euclidiana al cuadrado entre los dos vectores característicos. es un parámetro libre. Una definición equivalente implica un parámetro : ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \textstyle \gamma ={\tfrac {1}{2\sigma ^{2}}}}$

${\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\exp(-\gamma \|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|^{2})}$

Dado que el valor del núcleo RBF disminuye con la distancia y varía entre cero (en el límite de distancia infinita) y uno (cuando x = x' ), tiene una interpretación fácil como una medida de similitud . ^[2] El espacio de características del núcleo tiene un número infinito de dimensiones; para , su expansión utilizando el teorema multinomial es: ^[3] ${\displaystyle \sigma =1}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|^{2}\right)&=\exp({\frac {2}{2}}\mathbf {x} ^{\top }\mathbf {x'} -{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x} \|^{2}-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x'} \|^{2})\\[5pt]&=\exp(\mathbf {x} ^{\top }\mathbf {x'} )\exp(-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x} \|^{2})\exp(-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x'} \|^{2})\\[5pt]&=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {x} ^{\top }\mathbf {x'} )^{j}}{j!}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x} \|^{2}\right)\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x'} \|^{2}\right)\\[5pt]&=\sum _{j=0}^{\infty }\quad \sum _{n_{1}+n_{2}+\dots +n_{k}=j}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x} \|^{2}\right){\frac {x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{k}^{n_{k}}}{\sqrt {n_{1}!\cdots n_{k}!}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x'} \|^{2}\right){\frac {{x'}_{1}^{n_{1}}\cdots {x'}_{k}^{n_{k}}}{\sqrt {n_{1}!\cdots n_{k}!}}}\\[5pt]&=\langle \varphi (\mathbf {x} ),\varphi (\mathbf {x'} )\rangle \end{alignedat}}}$

${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x} \|^{2}\right)\left(a_{\ell _{0}}^{(0)},a_{1}^{(1)},\dots ,a_{\ell _{1}}^{(1)},\dots ,a_{1}^{(j)},\dots ,a_{\ell _{j}}^{(j)},\dots \right)}$

dónde , ${\displaystyle \ell _{j}={\tbinom {k+j-1}{j}}}$

${\displaystyle a_{\ell }^{(j)}={\frac {x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{k}^{n_{k}}}{\sqrt {n_{1}!\cdots n_{k}!}}}\quad |\quad n_{1}+n_{2}+\dots +n_{k}=j\wedge 1\leq \ell \leq \ell _{j}}$

Aproximaciones

Debido a que las máquinas de vectores de soporte y otros modelos que emplean el truco del núcleo no se escalan bien a grandes cantidades de muestras de entrenamiento o grandes cantidades de características en el espacio de entrada, se han introducido varias aproximaciones al núcleo RBF (y núcleos similares). ^[4] Normalmente, estas toman la forma de una función z que asigna un solo vector a un vector de mayor dimensionalidad, aproximando el núcleo:

${\displaystyle \langle z(\mathbf {x} ),z(\mathbf {x'} )\rangle \approx \langle \varphi (\mathbf {x} ),\varphi (\mathbf {x'} )\rangle =K(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$

¿Dónde está el mapeo implícito incrustado en el kernel RBF? ${\displaystyle \textstyle \varphi }$

Características aleatorias de Fourier

Una forma de construir dicha z es tomar una muestra aleatoria de la transformación de Fourier del núcleo ^[5], donde son muestras independientes de la distribución normal . $${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {D}}}[\cos \langle w_{1},x\rangle ,\sin \langle w_{1},x\rangle ,\ldots ,\cos \langle w_{D},x\rangle ,\sin \langle w_{D},x\rangle ]^{T}}$$ ${\displaystyle w_{1},...,w_{D}}$ ${\displaystyle N(0,\sigma ^{-2}I)}$

Teorema: ${\displaystyle \operatorname {E} [\langle \varphi (x),\varphi (y)\rangle ]=e^{\|x-y\|^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$

Demostración: Basta con demostrar el caso de . Utilizar la identidad trigonométrica , la simetría esférica de la distribución gaussiana, luego evaluar la integral ${\displaystyle D=1}$ ${\displaystyle \cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos(kx)e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}dx=e^{-k^{2}/2}.}$

Teorema: . (Apéndice A.2 ^[6] ). ${\displaystyle \operatorname {Var} [\langle \varphi (x),\varphi (y)\rangle ]=O(D^{-1})}$

Método de Nyström

Otro enfoque utiliza el método de Nyström para aproximar la descomposición propia de la matriz de Gram K , utilizando solo una muestra aleatoria del conjunto de entrenamiento. ^[7]

Véase también

• Función gaussiana
• Kernel (estadísticas)
• Núcleo polinomial
• Función de base radial
• Red de funciones de base radial
• Red de núcleos obst

Referencias

1. Chang, Yin-Wen; Hsieh, Cho-Jui; Chang, Kai-Wei; Ringgaard, Michael; Lin, Chih-Jen (2010). "Entrenamiento y prueba de asignaciones de datos polinomiales de bajo grado a través de SVM lineal". Revista de investigación en aprendizaje automático . 11 : 1471–1490.
2. Jean-Philippe Vert, Koji Tsuda y Bernhard Schölkopf (2004). "Una introducción a los métodos del kernel". Métodos del kernel en biología computacional .
3. Shashua, Amnon (2009). "Introducción al aprendizaje automático: notas de clase 67577". arXiv : 0904.3664v1 [cs.LG].
4. Andreas Müller (2012). Aproximaciones de kernel para SVM eficientes (y otros métodos de extracción de características).
5. Rahimi, Ali; Recht, Benjamin (2007). "Características aleatorias para máquinas de núcleo a gran escala". Avances en sistemas de procesamiento de información neuronal . 20 . Curran Associates, Inc.
6. Peng, Hao; Pappas, Nikolaos; Yogatama, Dani; Schwartz, Roy; Smith, Noé A.; Kong, Lingpeng (19 de marzo de 2021). "Atención a funciones aleatorias". arXiv : 2103.02143 [cs.CL].
7. CKI Williams; M. Seeger (2001). "Uso del método Nyström para acelerar las máquinas de núcleo". Avances en sistemas de procesamiento de información neuronal . 13 .