Juego Banach-Mazur

En topología general , teoría de conjuntos y teoría de juegos , un juego de Banach - Mazur es un juego topológico jugado por dos jugadores, que intentan precisar elementos en un conjunto (espacio). El concepto de juego de Banach-Mazur está estrechamente relacionado con el concepto de espacios de Baire . Este juego fue el primer juego posicional infinito de información perfecta que se estudió. Stanisław Mazur lo presentó como el problema 43 del libro escocés , y Banach respondió a las preguntas de Mazur al respecto.

Definición

Sea un espacio topológico no vacío , un subconjunto fijo de y una familia de subconjuntos de que tienen las siguientes propiedades: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle Y}$

• Cada miembro de tiene un interior no vacío . ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$
• Cada subconjunto abierto no vacío de contiene un miembro de . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

Jugadores y , alternativamente, eligen elementos para formar una secuencia. ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle W_{0}\supseteq W_{1}\supseteq \cdots .}$

${\displaystyle P_{1}}$gana si y solo si

${\displaystyle X\cap \left(\bigcap _{n<\omega }W_{n}\right)\neq \emptyset .}$

De lo contrario, gana. Esto se denomina juego general de Banach-Mazur y se denota por ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle MB(X,Y,{\mathcal {W}}).}$

Propiedades

• ${\displaystyle P_{2}}$tiene una estrategia ganadora si y sólo si es de primera categoría en (un conjunto es de primera categoría o escaso si es la unión contable de conjuntos no densos en ninguna parte ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Si es un espacio métrico completo, tiene una estrategia ganadora si y sólo si se encuentra en algún subconjunto abierto no vacío de ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$
• Si tiene la propiedad Baire en , entonces se determina. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle MB(X,Y,{\mathcal {W}})}$
• Los espacios tamizables y fuertemente tamizables introducidos por Choquet pueden definirse en términos de estrategias estacionarias en modificaciones adecuadas del juego. Denotemos una modificación de dónde está la familia de todos los conjuntos abiertos no vacíos y gana una jugada si y solo si ${\displaystyle BM(X)}$ ${\displaystyle MB(X,Y,{\mathcal {W}})}$ ${\displaystyle X=Y,{\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle (W_{0},W_{1},\cdots )}$

${\displaystyle \bigcap _{n<\omega }W_{n}\neq \emptyset .}$

Entonces es tamizable si y sólo si tiene una estrategia ganadora estacionaria en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle BM(X).}$

• Una estrategia ganadora de Markov para in puede reducirse a una estrategia ganadora estacionaria. Además, si tiene una estrategia ganadora en , entonces tiene una estrategia ganadora que depende sólo de dos movimientos anteriores. Todavía es una cuestión sin resolver si una estrategia ganadora para puede reducirse a una estrategia ganadora que dependa únicamente de los dos últimos movimientos de . ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle BM(X)}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle BM(X)}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$
• ${\displaystyle X}$se llama débilmente favorable si tiene una estrategia ganadora en . Entonces, es un espacio de Baire si y sólo si no tiene estrategia ganadora en . De ello se deduce que cada espacio débilmente favorable es un espacio de Baire. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle BM(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle BM(X)}$ ${\displaystyle \alpha }$

Se han propuesto muchas otras modificaciones y especializaciones del juego básico: para una descripción detallada de ellas, consulte [1987].

El caso especial más común surge cuando y consisten en todos los intervalos cerrados en el intervalo unitario. Entonces gana si y sólo si y gana si y sólo si . Este juego se denota por ${\displaystyle Y=J=[0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle X\cap (\cap _{n<\omega }J_{n})\neq \emptyset }$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle X\cap (\cap _{n<\omega }J_{n})=\emptyset }$ ${\displaystyle MB(X,J).}$

Una prueba sencilla: estrategias ganadoras

Es natural preguntar en qué conjuntos tiene una estrategia ganadora . Claramente, si está vacío, tiene una estrategia ganadora, por lo tanto, la pregunta se puede reformular informalmente como qué tan "pequeño" (respectivamente, "grande") tiene que ser (respectivamente, el complemento de in ) para garantizar que tenga una estrategia ganadora. El siguiente resultado da una idea de cómo funcionan las pruebas utilizadas para derivar las propiedades en la sección anterior: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle MB(X,Y,{\mathcal {W}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P_{2}}$

Proposición. tiene una estrategia ganadora en si es contable, es T 1 y no tiene puntos aislados . ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle MB(X,Y,{\mathcal {W}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Prueba. Indexe los elementos de X como una secuencia: Supongamos que ha elegido si es el interior no vacío de entonces es un conjunto abierto no vacío, por lo que puede elegir Luego elige y, de manera similar, puede elegir que excluye . Siguiendo de esta manera, cada punto será excluido por el conjunto de modo que la intersección de todos no se cruzará . ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots .}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle W_{1},}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle W_{1}}$ ${\displaystyle U_{1}\setminus \{x_{1}\}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}\ni W_{2}\subset U_{1}\setminus \{x_{1}\}.}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle W_{3}\subset W_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle W_{4}\subset W_{3}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle W_{2n},}$ ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle X}$

Los supuestos son clave para la prueba: por ejemplo, si está equipado con una topología discreta y consta de todos los subconjuntos no vacíos de , entonces no tiene una estrategia ganadora si (de hecho, su oponente tiene una estrategia ganadora). Se producen efectos similares si está equipado con una topología indiscreta y ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y=\{a,b,c\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle X=\{a\}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{Y\}.}$

Un resultado más sólido se relaciona con conjuntos de primer orden. ${\displaystyle X}$

Proposición. tiene una estrategia ganadora en si y sólo si es escasa . ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle MB(X,Y,{\mathcal {W}})}$ ${\displaystyle X}$

Esto no implica que tenga una estrategia ganadora si no es escasa. De hecho, si es un espacio métrico completo, entonces tiene una estrategia ganadora si y sólo si existe algo que sea un subconjunto equivalente de . Puede darse el caso de que ninguno de los jugadores tenga una estrategia ganadora: sea el intervalo unitario y sea el familia de intervalos cerrados en el intervalo unitario. El juego se determina si el conjunto objetivo tiene la propiedad de Baire , es decir, si se diferencia de un conjunto abierto en un conjunto exiguo (pero lo contrario no es cierto). Suponiendo el axioma de elección , hay subconjuntos del intervalo unitario para los cuales el juego de Banach-Mazur no está determinado. ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle W_{i}\in {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle X\cap W_{i}}$ ${\displaystyle W_{i}.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

Ver también

• juego de choquet

Referencias

• [1957] Oxtoby, JC El juego de Banach-Mazur y el teorema de la categoría de Banach , Contribución a la teoría de los juegos, Volumen III, Annals of Mathematical Studies 39 (1957), Princeton, 159-163
• [1987] Telgársky, RJ Juegos topológicos: en el 50 aniversario del juego Banach-Mazur, Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), págs. 227–276.
• [2003] Julian P. Revalski El juego Banach-Mazur: historia y desarrollos recientes, notas de seminario, Pointe-a-Pitre, Guadalupe, Francia, 2003-2004

enlaces externos

• "Juego Banach-Mazur", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]