Forzamiento iterado

Método para construir modelos de teoría de conjuntos

En matemáticas, el forzamiento iterado es un método para construir modelos de teoría de conjuntos repitiendo el método de forzamiento de Cohen un número transfinito de veces. El forzamiento iterado fue introducido por Solovay y Tennenbaum (1971) en su construcción de un modelo de teoría de conjuntos sin árbol de Suslin . También demostraron que el forzamiento iterado puede construir modelos donde se cumple el axioma de Martin y el continuo es cualquier cardinal regular dado.

En el forzamiento iterado, uno tiene una secuencia transfinita P _α de nociones de forzamiento indexadas por algunos ordinales α, que dan una familia de modelos con valores booleanos V ^{P _α} . Si α+1 es un ordinal sucesor, entonces P _α+1 se construye a menudo a partir de P _α usando una noción de forzamiento en V ^{P _α} , mientras que si α es un ordinal límite, entonces P _α se construye a menudo como algún tipo de límite (como el límite directo) de P _β para β<α.

Una consideración clave es que, por lo general, es necesario que no se colapse. Esto se logra a menudo mediante el uso de un teorema de preservación como: ${\displaystyle \omega _{1}}$

• La iteración de soporte finito de los forzamientos ccc (ver condición de cadena contable ) son ccc y por lo tanto preservan . ${\displaystyle \omega _{1}}$
• Las iteraciones de soporte contables de forzamientos adecuados son propias (véase Teorema fundamental del forzamiento adecuado ) y, por lo tanto, preservan . ${\displaystyle \omega _{1}}$
• Las iteraciones de soporte contables revisadas de forzamientos semipropios son semipropios y, por lo tanto, preservan . ${\displaystyle \omega _{1}}$

Algunas fuerzas no semipropias, como la fuerza de Namba , se pueden iterar con colapsos cardinales apropiados mientras se preservan los métodos desarrollados por Saharon Shelah . ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle \omega _{1}}$

Referencias

1. Shelah, S., Forzamiento adecuado e inadecuado, Springer 1992
2. Schlindwein, Chaz, El trabajo de Shelah sobre iteraciones no semipropias I, Archivo de lógica matemática (47) 2008 pp. 579–606
3. Schlindwein, Chaz, El trabajo de Shelah sobre iteraciones no semipropias II, Journal of Symbolic Logic (66) 2001, págs. 1865–1883

Fuentes

• Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos: Millennium Edition , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7
• Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia , Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8
• Shelah, Saharon (1998) [1982], Forzamiento propio e impropio , Perspectivas en lógica matemática (2.ª ed.), Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-51700-6, Sr.  1623206
• Solovay, RM; Tennenbaum, S. (1971). "Extensiones iteradas de Cohen y el problema de Souslin". Anales de Matemáticas . 2. 94 (2). Anales de Matemáticas: 201–245. doi :10.2307/1970860. JSTOR  1970860.

Enlaces externos

• Eisworth, Todd; Moore, Justin Tatch (2009), Milovich, David (ed.), FORZAMIENTO ITERADO Y LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO (PDF) , notas de clase del taller de teoría de conjuntos de los Apalaches