Espacio de probabilidad estándar

Tipo de espacio de probabilidad

En teoría de la probabilidad , un espacio de probabilidad estándar , también llamado espacio de probabilidad de Lebesgue-Rokhlin o simplemente espacio de Lebesgue (este último término es ambiguo) es un espacio de probabilidad que satisface ciertos supuestos introducidos por Vladimir Rokhlin en 1940. Informalmente, es un espacio de probabilidad que consta de un intervalo y/o un número finito o contable de átomos .

La teoría de los espacios de probabilidad estándar fue iniciada por von Neumann en 1932 y moldeada por Vladimir Rokhlin en 1940. Rokhlin demostró que el intervalo unitario dotado con la medida de Lebesgue tiene importantes ventajas sobre los espacios de probabilidad generales, pero puede sustituir eficazmente a muchos de ellos en teoría de probabilidad. La dimensión del intervalo unitario no es un obstáculo, como ya tenía claro Norbert Wiener . Construyó el proceso de Wiener (también llamado movimiento browniano ) en forma de un mapa medible desde el intervalo unitario hasta el espacio de funciones continuas .

Historia corta

La teoría de los espacios de probabilidad estándar fue iniciada por von Neumann en 1932 ^[1] y moldeada por Vladimir Rokhlin en 1940. ^[2] Para presentaciones modernizadas, ver (Haezendonck 1973), (de la Rue 1993), (Itô 1984, Sección 2.4). ) y (Rudolf 1990, Capítulo 2) .error de harv: sin destino: CITEREFRudolf1990 ( ayuda )

Hoy en día, los espacios de probabilidad estándar pueden ser (y a menudo son) tratados en el marco de la teoría descriptiva de conjuntos , a través de espacios de Borel estándar , ver por ejemplo (Kechris 1995, Sección 17). Este enfoque se basa en el teorema del isomorfismo para espacios estándar de Borel (Kechris 1995, Teorema (15.6)). Un enfoque alternativo de Rokhlin, basado en la teoría de la medida , descuida los conjuntos nulos , en contraste con la teoría descriptiva de conjuntos. Los espacios de probabilidad estándar se utilizan habitualmente en la teoría ergódica . ^{[3] [4]}

Definición

A continuación se proporciona una de varias definiciones equivalentes conocidas de normalidad, después de algunos preparativos. Se supone que todos los espacios de probabilidad están completos .

isomorfismo

Un isomorfismo entre dos espacios de probabilidad es un mapa invertible tal que y ambos son mapas (medibles y) que preservan medidas . ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$ ${\displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$

Dos espacios de probabilidad son isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos.

Isomorfismo módulo cero

Dos espacios de probabilidad son isomorfos si existen conjuntos nulos , tales que los espacios de probabilidad son isomorfos ( están dotados naturalmente de campos sigma y medidas de probabilidad). ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {mod} \,0}$ ${\displaystyle \textstyle A_{1}\subset \Omega _{1}}$ ${\displaystyle \textstyle A_{2}\subset \Omega _{2}}$ ${\displaystyle \textstyle \Omega _{1}\setminus A_{1}}$ ${\displaystyle \textstyle \Omega _{2}\setminus A_{2}}$

Espacio de probabilidad estándar

Un espacio de probabilidad es estándar , si es isomorfo a un intervalo con medida de Lebesgue, a un conjunto finito o contable de átomos, o a una combinación (unión disjunta) de ambos. ${\displaystyle \textstyle \operatorname {mod} \,0}$

Ver (Rokhlin 1952, Sect. 2.4 (p. 20)), (Haezendonck 1973, Proposición 6 (p. 249) y Observación 2 (p. 250)), y (de la Rue 1993, Teorema 4-3). Véase también (Kechris 1995, Sec. 17.F), e (Itô 1984, especialmente Sec. 2.4 y Ejercicio 3.1(v)). En (Petersen 1983, Definición 4.5 en la página 16) la medida se supone finita, no necesariamente probabilística. En (Sinai 1994, Definición 1 en la página 16) los átomos no están permitidos.

Ejemplos de espacios de probabilidad no estándar

Un ingenuo ruido blanco

El espacio de todas las funciones puede considerarse como el producto de un continuo de copias de la línea real . Se puede dotar de una medida de probabilidad, digamos, la distribución normal estándar , y tratar el espacio de funciones como el producto de un continuo de espacios de probabilidad idénticos . La medida del producto es una medida de probabilidad de . Ingenuamente podría parecer que esto describe el ruido blanco . ${\displaystyle \textstyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle \gamma =N(0,1)}$ ${\displaystyle \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )}$ ${\displaystyle \textstyle \gamma ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \textstyle \gamma ^{\mathbb {R} }}$

Sin embargo, la integral de una función de ruido blanco de 0 a 1 debería ser una variable aleatoria distribuida N (0, 1). Por el contrario, la integral (de 0 a 1) de no está definida. Es casi seguro que ƒ tampoco es mensurable, y la probabilidad de que ƒ sea mensurable no está definida. De hecho, si X es una variable aleatoria distribuida (digamos) uniformemente en (0, 1) e independiente de ƒ , entonces ƒ ( X ) no es una variable aleatoria en absoluto (carece de mensurabilidad). ${\displaystyle \textstyle f\in \textstyle (\mathbb {R} ,\gamma )^{\mathbb {R} }}$

Un intervalo perforado

Sea un conjunto cuya medida de Lebesgue interna es igual a 0, pero la medida de Lebesgue externa es igual a 1 (por lo tanto, no es medible hasta el extremo). Existe una medida de probabilidad tal que para cada Lebesgue sea mensurable . (Aquí está la medida de Lebesgue). Los eventos y las variables aleatorias en el espacio de probabilidad (tratados ) están en una correspondencia natural uno a uno con los eventos y las variables aleatorias en el espacio de probabilidad . Podría parecer que el espacio de probabilidad es tan bueno como . ${\displaystyle \textstyle Z\subset (0,1)}$ ${\displaystyle \textstyle Z}$ ${\displaystyle \textstyle m}$ ${\displaystyle \textstyle Z}$ ${\displaystyle \textstyle m(Z\cap A)=\operatorname {mes} (A)}$ ${\displaystyle \textstyle A\subset (0,1)}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {mes} }$ ${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {mod} \,0}$ ${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$ ${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$ ${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$

Sin embargo, no lo es. Una variable aleatoria definida por se distribuye uniformemente en . La medida condicional, dado , es solo un átomo (en ), siempre que ese sea el espacio de probabilidad subyacente. Sin embargo, si se utiliza en su lugar, entonces la medida condicional no existe cuando . ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle X(\omega )=\omega }$ ${\displaystyle \textstyle (0,1)}$ ${\displaystyle \textstyle X=x}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle ((0,1),\operatorname {mes} )}$ ${\displaystyle \textstyle (Z,m)}$ ${\displaystyle \textstyle x\notin Z}$

De manera similar se construye un círculo perforado. Sus eventos y variables aleatorias son los mismos que en el círculo habitual. El grupo de rotaciones actúa sobre ellos de forma natural. Sin embargo, no actúa sobre el círculo perforado.

Véase también (Rudolph 1990, página 17).

Un conjunto medible superfluo

Sea como en el ejemplo anterior. Los conjuntos de la forma donde y son conjuntos arbitrarios medibles de Lebesgue, son un álgebra σ que contiene el álgebra σ de Lebesgue y la fórmula ${\displaystyle \textstyle Z\subset (0,1)}$ ${\displaystyle \textstyle (A\cap Z)\cup (B\setminus Z),}$ ${\displaystyle \textstyle A}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}};}$ ${\displaystyle \textstyle Z.}$

${\displaystyle \displaystyle m{\big (}(A\cap Z)\cup (B\setminus Z){\big )}=p\,\operatorname {mes} (A)+(1-p)\operatorname {mes} (B)}$

da la forma general de una medida de probabilidad que extiende la medida de Lebesgue; Aquí hay un parámetro. Para ser específicos, elegimos Podría parecer que tal extensión de la medida Lebesgue es al menos inofensiva. ${\displaystyle \textstyle m}$ ${\displaystyle \textstyle {\big (}(0,1),{\mathcal {F}}{\big )}}$ ${\displaystyle \textstyle p\in [0,1]}$ ${\displaystyle \textstyle p=0.5.}$

Sin embargo, se trata del intervalo perforado disfrazado. El mapa

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0.5x&{\text{for }}x\in Z,\\0.5+0.5x&{\text{for }}x\in (0,1)\setminus Z\end{cases}}}$

es un isomorfismo entre y el intervalo perforado correspondiente al conjunto ${\displaystyle \textstyle {\big (}(0,1),{\mathcal {F}},m{\big )}}$

${\displaystyle \displaystyle Z_{1}=\{0.5x:x\in Z\}\cup \{0.5+0.5x:x\in (0,1)\setminus Z\}\,,}$

otro conjunto de medida de Lebesgue interior 0 pero medida de Lebesgue exterior 1.

Véase también (Rudolph 1990, Ejercicio 2.11 en la página 18).

Un criterio de estandarización

La normalidad de un espacio de probabilidad dado es equivalente a una determinada propiedad de un mapa medible desde a un espacio medible. La respuesta (estándar o no) no depende de la elección de y . Este hecho es bastante útil; se puede adaptar la elección de y a lo dado. No es necesario examinar todos los casos. Puede ser conveniente examinar una variable aleatoria, un vector aleatorio, una secuencia aleatoria o una secuencia de eventos tratados como una secuencia de variables aleatorias de dos valores. ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ).}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P).}$ ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{\infty },}$ ${\displaystyle \textstyle (A_{1},A_{2},\dots )}$ ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \{0,1\}^{\infty }.}$

Se impondrán dos condiciones (ser inyectivo y generador). A continuación se supone que tal se da. La cuestión de su existencia se abordará más adelante. ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle f}$

Se supone que el espacio de probabilidad está completo (de lo contrario no puede ser estándar). ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

Una sola variable aleatoria

Una función medible induce una medida de avance , – la medida de probabilidad definida por ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{*}P}$ ${\displaystyle \textstyle \mu }$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \displaystyle \mu (B)=(f_{*}P)(B)=P{\big (}f^{-1}(B){\big )}}$    para conjuntos Borel ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} .}$

es decir, la distribución de la variable aleatoria . La imagen es siempre un conjunto de medida exterior completa, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$

${\displaystyle \displaystyle \mu ^{*}{\big (}f(\Omega ){\big )}=\inf _{B\supset f(\Omega )}\mu (B)=\inf _{B\supset f(\Omega )}P(f^{-1}(B))=P(\Omega )=1,}$

pero su medida interior puede diferir (ver intervalo perforado ). En otras palabras, no es necesario que sea un conjunto de medidas completas. ${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$ ${\displaystyle \textstyle \mu .}$

Una función medible se llama generar si es la finalización con respecto a del álgebra σ de imágenes inversas donde se ejecuta en todos los conjuntos de Borel. ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \textstyle f^{-1}(B),}$ ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} }$

Precaución.   La siguiente condición no es suficiente para que se genere: para cada existe un conjunto de Borel tal que ( significa diferencia simétrica ). ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \textstyle P(A{\mathbin {\Delta }}f^{-1}(B))=0.}$ ${\displaystyle \textstyle \Delta }$

Teorema. Sea una función medible inyectiva y generadora, entonces las dos condiciones siguientes son equivalentes: ${\displaystyle \textstyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \mu (\textstyle f(\Omega ))=1}$(es decir, la medida interior también tiene medida completa, y la imagen es mensurable con respecto a su finalización); ${\displaystyle \textstyle f(\Omega )}$
• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)\,}$es un espacio de probabilidad estándar.

Véase también (Itô 1984, sección 3.1).

Un vector aleatorio

El mismo teorema es válido para cualquiera (en lugar de ). Una función medible puede considerarse como una secuencia finita de variables aleatorias y se genera si y sólo si se completa el álgebra σ generada por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}\,}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}.\,}$

Una secuencia aleatoria

El teorema sigue siendo válido para el espacio de secuencias infinitas. Una función medible puede considerarse como una secuencia infinita de variables aleatorias y se genera si y sólo si se completa el álgebra σ generada por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }\,}$ ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{\infty }\,}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots :\Omega \to \mathbb {R} ,\,}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots .\,}$

Una secuencia de eventos

En particular, si las variables aleatorias toman sólo dos valores 0 y 1, se trata de una función medible y una secuencia de conjuntos. La función se genera si y sólo si se completa el álgebra σ generada por ${\displaystyle X_{n}\,}$ ${\displaystyle f:\Omega \to \{0,1\}^{\infty }\,}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.\,}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots .\,}$

En el trabajo pionero (Rokhlin 1952), las secuencias que corresponden a inyectivo y generador se denominan bases del espacio de probabilidad (ver Rokhlin 1952, sección 2.1). Una base se llama mod 0 completo, si es de medida completa ver (Rokhlin 1952, Sección 2.2). En la misma sección, Rokhlin demostró que si un espacio de probabilidad es completo mod 0 con respecto a alguna base, entonces es completo mod 0 con respecto a cualquier otra base, y define los espacios de Lebesgue mediante esta propiedad de completitud. Véase también (Haezendonck 1973, Prop. 4 y Def. 7) y (Rudolph 1990, Sect. 2.3, especialmente el Teorema 2.2). ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \,}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)\,}$ ${\displaystyle f(\Omega )\,}$ ${\displaystyle \mu ,\,}$

Observaciones adicionales

Los cuatro casos tratados anteriormente son mutuamente equivalentes y pueden unirse, ya que los espacios mensurables y son mutuamente isomorfos; todos ellos son espacios estándar medibles (en otras palabras, espacios estándar de Borel). ${\displaystyle \mathbb {R} ,\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }\,}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{\infty }\,}$

La existencia de una función inyectiva medible desde un espacio mensurable estándar no depende de la elección de Tomando obtenemos la propiedad conocida como estar separada contablemente (pero llamada separable en Itô 1984). ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ).}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )=\{0,1\}^{\infty }}$

La existencia de una función generadora medible desde un espacio medible estándar tampoco depende de la elección de Tomando obtenemos la propiedad bien conocida como generada contablemente (mod 0), ver (Durrett 1996, Ejercicio I.5). ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ).}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma )=\{0,1\}^{\infty }}$

Cada función inyectiva medible desde un espacio de probabilidad estándar hasta un espacio medible estándar está generando. Ver (Rokhlin 1952, Sección 2.5), (Haezendonck 1973, Corolario 2 en la página 253), (de la Rue 1993, Teoremas 3-4 y 3-5). Esta propiedad no se cumple para el espacio de probabilidad no estándar tratado en la subsección "Un conjunto mensurable superfluo" anterior.

Precaución.   La propiedad de ser generado contablemente es invariante bajo isomorfismos mod 0, pero la propiedad de ser separado contablemente no lo es. De hecho, un espacio de probabilidad estándar está separado contablemente si y sólo si la cardinalidad de no excede el continuo (ver Itô 1984, Ejercicio 3.1(v)). Un espacio de probabilidad estándar puede contener un conjunto nulo de cualquier cardinalidad, por lo que no es necesario separarlo contablemente. Sin embargo, siempre contiene un subconjunto de medida completa separado contablemente. ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle \Omega }$

Definiciones equivalentes

Sea un espacio de probabilidad completo tal que la cardinalidad de no exceda el continuo (el caso general se reduce a este caso especial, consulte la advertencia anterior). ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle \Omega }$

A través de la mensurabilidad absoluta

Definición.   es estándar si está contablemente separado, contablemente generado y absolutamente mensurable. ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

Ver (Rokhlin 1952, al final de la Sección 2.3) y (Haezendonck 1973, Observación 2 en la página 248). "Absolutamente mensurable" significa: mensurable en cada espacio de probabilidad contablemente separado y contablemente generado que lo contenga.

A través de la perfección

Definición.   es estándar si está contablemente separado y es perfecto. ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

Véase (Itô 1984, sección 3.1). "Perfecto" significa que para cada función medible desde hasta la imagen la medida es regular . (Aquí la medida de la imagen se define en todos los conjuntos cuyas imágenes inversas pertenecen a , independientemente de la estructura de Borel de ). ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$

A través de topología

Definición.   es estándar si existe una topología tal que ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle \tau }$ ${\displaystyle \textstyle \Omega }$

• el espacio topológico es metrizable ; ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,\tau )}$
• ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}}$es la finalización del σ-álgebra generada por (es decir, por todos los conjuntos abiertos); ${\displaystyle \textstyle \tau }$
• para cada existe un conjunto compacto tal que ${\displaystyle \textstyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \textstyle K}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,\tau )}$ ${\displaystyle \textstyle P(K)\geq 1-\varepsilon .}$

Véase (de la Rue 1993, sección 1).

Verificación de la normalidad

Cada distribución de probabilidad en el espacio lo convierte en un espacio de probabilidad estándar. (Aquí, una distribución de probabilidad significa una medida de probabilidad definida inicialmente en el álgebra sigma de Borel y completada). ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}}$

Lo mismo se aplica a todos los espacios polacos , ver (Rokhlin 1952, Sect. 2.7 (p. 24)), (Haezendonck 1973, Ejemplo 1 (p. 248)), (de la Rue 1993, Teorema 2-3), y ( Itô 1984, Teorema 2.4.1).

Por ejemplo, la medida de Wiener convierte el espacio polaco (de todas las funciones continuas dotadas de la topología de convergencia uniforme local ) en un espacio de probabilidad estándar. ${\displaystyle \textstyle C[0,\infty )}$ ${\displaystyle \textstyle [0,\infty )\to \mathbb {R} ,}$

Otro ejemplo: para cada secuencia de variables aleatorias, su distribución conjunta convierte el espacio polaco (de secuencias; dotado de la topología del producto ) en un espacio de probabilidad estándar. ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{\infty }}$

(Por lo tanto, la idea de dimensión , muy natural para espacios topológicos , es completamente inapropiada para espacios de probabilidad estándar).

El producto de dos espacios de probabilidad estándar es un espacio de probabilidad estándar.

Lo mismo se aplica al producto de un número contable de espacios, véase (Rokhlin 1952, sección 3.4), (Haezendonck 1973, proposición 12) e (Itô 1984, teorema 2.4.3).

Un subconjunto mensurable de un espacio de probabilidad estándar es un espacio de probabilidad estándar. Se supone que el conjunto no es un conjunto nulo y está dotado de la medida condicional. Véase (Rokhlin 1952, Sección 2.3 (p. 14)) y (Haezendonck 1973, Proposición 5).

Cada medida de probabilidad en un espacio de Borel estándar lo convierte en un espacio de probabilidad estándar.

Usando la estandarización

Probabilidades condicionales regulares

En la configuración discreta, la probabilidad condicional es otra medida de probabilidad, y la expectativa condicional puede tratarse como la expectativa (habitual) con respecto a la medida condicional, consulte expectativa condicional . En la configuración no discreta, el condicionamiento a menudo se trata indirectamente, ya que la condición puede tener probabilidad 0, consulte expectativa condicional . Como resultado, una serie de hechos bien conocidos tienen contrapartes "condicionales" especiales. Por ejemplo: linealidad de la expectativa; la desigualdad de Jensen (ver expectativa condicional ); la desigualdad de Hölder ; el teorema de convergencia monótona , etc.

Dada una variable aleatoria en un espacio de probabilidad , es natural intentar construir una medida condicional , es decir, la distribución condicional de dada . En general esto es imposible (ver Durrett 1996, Sección 4.1(c)). Sin embargo, para un espacio de probabilidad estándar esto es posible, y es bien conocido como sistema canónico de medidas (ver Rokhlin 1952, Sección 3.1), que es básicamente lo mismo que las medidas de probabilidad condicional (ver Itô 1984, Sección 3.5), desintegración de medida (ver Kechris 1995, Ejercicio (17.35)), y probabilidades condicionales regulares (ver Durrett 1996, Sección 4.1 (c)). ${\displaystyle \textstyle Y}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \textstyle P_{y}}$ ${\displaystyle \textstyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \textstyle Y(\omega )=y}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

La desigualdad condicional de Jensen es simplemente la desigualdad (habitual) de Jensen aplicada a la medida condicional. Lo mismo se aplica a muchos otros hechos.

Medida preservando transformaciones.

Dados dos espacios de probabilidad y un mapa que preserva la medida , no es necesario que la imagen cubra la totalidad , puede perder un conjunto nulo. Puede parecer que tiene que ser igual a 1, pero no es así. La medida exterior de es igual a 1, pero la medida interior puede diferir. Sin embargo, si los espacios de probabilidad son estándar entonces , ver (de la Rue 1993, Teorema 3-2). Si también es uno a uno, entonces cada satisface ,. Por tanto, es mensurable (y medida preservando). Ver (Rokhlin 1952, Sección 2.5 (p. 20)) y (de la Rue 1993, Teorema 3-5). Véase también (Haezendonck 1973, Proposición 9 (y comentario posterior)). ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$ ${\displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$ ${\displaystyle \textstyle f(\Omega _{1})}$ ${\displaystyle \textstyle \Omega _{2}}$ ${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(\Omega _{1}))}$ ${\displaystyle \textstyle f(\Omega _{1})}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{1},{\mathcal {F}}_{1},P_{1})}$ ${\displaystyle \textstyle (\Omega _{2},{\mathcal {F}}_{2},P_{2})}$ ${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(\Omega _{1}))=1}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle A\in {\mathcal {F}}_{1}}$ ${\displaystyle \textstyle f(A)\in {\mathcal {F}}_{2}}$ ${\displaystyle \textstyle P_{2}(f(A))=P_{1}(A)}$ ${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$

"Existe una forma coherente de ignorar los conjuntos de medida 0 en un espacio de medidas" (Petersen 1983, página 15). Al esforzarse por deshacerse de los conjuntos nulos, los matemáticos suelen utilizar clases de equivalencia de conjuntos o funciones mensurables. Las clases de equivalencia de subconjuntos medibles de un espacio de probabilidad forman un álgebra booleana completa normada llamada álgebra de medidas (o estructura métrica). Cada medida que preserva el mapa conduce a un homomorfismo de álgebras de medidas; básicamente, para . ${\displaystyle \textstyle f:\Omega _{1}\to \Omega _{2}}$ ${\displaystyle \textstyle F}$ ${\displaystyle \textstyle F(B)=f^{-1}(B)}$ ${\displaystyle \textstyle B\in {\mathcal {F}}_{2}}$

Puede parecer que todo homomorfismo de álgebras de medidas tiene que corresponder a algún mapa que preserve medidas, pero no es así. Sin embargo, para los espacios de probabilidad estándar , cada uno corresponde a algo . Ver (Rokhlin 1952, Sect. 2.6 (p. 23) y 3.2), (Kechris 1995, Sect. 17.F), (Petersen 1983, Teorema 4.7 en la página 17). ${\displaystyle \textstyle F}$ ${\displaystyle \textstyle f}$

Ver también

"Espacio de probabilidad estándar", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Notas

1. (von Neumann 1932) y (Halmos & von Neumann 1942) se citan en (Rokhlin 1952, página 2) y (Petersen 1983, página 17).
2. Publicado brevemente en 1947, en detalle en 1949 en ruso y en 1952 (Rokhlin 1952) en inglés. Un texto inédito de 1940 se menciona en (Rokhlin 1952, página 2). "La teoría de los espacios de Lebesgue en su forma actual fue construida por VA Rokhlin" (Sinai 1994, página 16).
3. "En este libro nos ocuparemos exclusivamente de los espacios de Lebesgue" (Petersen 1983, página 17).
4. "Teoría ergódica sobre los espacios de Lebesgue" es el subtítulo del libro (Rudolph 1990).

Referencias

• Rokhlin, VA (1952), Sobre las ideas fundamentales de la teoría de la medida (PDF) , Traducciones, vol. 71, Sociedad Estadounidense de Matemáticas, págs. 1–54. Traducido del ruso: Рохлин, В. A. (1949), "Об основных понятиях теории меры", Математический Сборник (Новая Серия) , 25 (67): 107–150.
• von Neumann, J. (1932), "Einige Sätze über messbare Abbildungen", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 33 (3): 574–586, doi :10.2307/1968536, JSTOR  1968536.
• Halmos, PR ; von Neumann, J. (1942), "Métodos de operador en mecánica clásica, II", Annals of Mathematics , segunda serie, 43 (2): 332–350, doi :10.2307/1968872, JSTOR  1968872.
• Haezendonck, J. (1973), "Espacios abstractos de Lebesgue-Rohlin", Bulletin de la Société Mathématique de Belgique , 25 : 243–258.
• de la Rue, T. (1993), "Espaces de Lebesgue", Séminaire de Probabilités XXVII , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1557, Springer, Berlín, págs. 15-21{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link).
• Petersen, K. (1983), Teoría ergódica , Universidad de Cambridge. Prensa.
• Itô, K. (1984), Introducción a la teoría de la probabilidad , Universidad de Cambridge. Prensa.
• Rudolph, DJ (1990), Fundamentos de la dinámica mensurable: teoría ergódica sobre espacios de Lebesgue , Oxford: Clarendon Press.
• Sinaí, Ya. G. (1994), Temas de teoría ergódica , Universidad de Princeton. Prensa.
• Kechris, AS (1995), Teoría descriptiva clásica de conjuntos , Springer.
• Durrett, R. (1996), Probabilidad: teoría y ejemplos (Segunda ed.).
• Wiener, N. (1958), Problemas no lineales en teoría aleatoria , MIT Press.