Función isoelástica

En economía matemática , una función isoelástica , a veces función de elasticidad constante , es una función que exhibe una elasticidad constante , es decir, tiene un coeficiente de elasticidad constante . La elasticidad es la relación entre el cambio porcentual en la variable dependiente y el cambio causal porcentual en la variable independiente , en el límite a medida que los cambios se acercan a cero en magnitud.

Para un coeficiente de elasticidad (que puede tomar cualquier valor real), la forma general de la función está dada por ${\displaystyle r}$

${\displaystyle f(x)={kx^{r}},}$

donde y son constantes. La elasticidad es por definición ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\text{elasticity}}={\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}={\frac {d{\text{ln}}f(x)}{d{\text{ln}}x}},}$

que para esta función simplemente es igual a r .

Derivación

La elasticidad de la demanda está indicada por

${\displaystyle {r}={\frac {dQ}{dP}}{\frac {P}{Q}}}$,

donde r es la elasticidad, Q es la cantidad y P es el precio.

La reorganización nos lleva a:

${\displaystyle {\frac {r}{P}}{dP}={\frac {1}{Q}}{dQ}}$

Luego integrando

${\displaystyle \int {\frac {r}{P}}{dP}=\int {\frac {1}{Q}}{dQ}}$

${\displaystyle r\ln(P)+C=\ln(Q)}$

Simplificar

${\displaystyle e^{\ln(P)r+C}=e^{ln(Q)}}$

${\displaystyle (e^{\ln(P)})^{r}e^{C}=Q}$

${\displaystyle kP^{r}=Q}$

${\displaystyle Q(P)=kP^{r}}$

Ejemplos

Funciones de demanda

Un ejemplo en microeconomía es la función de demanda de elasticidad constante , en la que p es el precio de un producto y D ( p ) es la cantidad resultante demandada por los consumidores. Para la mayoría de los bienes, la elasticidad r (la capacidad de respuesta de la cantidad demandada al precio) es negativa, por lo que puede ser conveniente escribir la función de demanda de elasticidad constante con un signo negativo en el exponente, para que el coeficiente tome un valor positivo: ${\displaystyle r}$

${\displaystyle D(p)={kp^{-r}},}$

donde ahora se interpreta como la magnitud sin signo de la capacidad de respuesta. ^[1] Existe una función análoga para la curva de oferta . ${\displaystyle r>0}$

Funciones de utilidad en presencia de riesgo

La función de elasticidad constante también se utiliza en la teoría de la elección en condiciones de aversión al riesgo , que suele suponer que los tomadores de decisiones reacios al riesgo maximizan el valor esperado de una función de utilidad de von Neumann-Morgenstern cóncava . En este contexto, con una elasticidad constante de la utilidad con respecto a, por ejemplo, la riqueza, las decisiones óptimas sobre cuestiones como las acciones de una cartera son independientes de la escala de la riqueza del tomador de decisiones. La función de utilidad de elasticidad constante en este contexto se escribe generalmente como

${\displaystyle U(x)={\frac {1}{1-\gamma }}x^{1-\gamma }}$

donde x es la riqueza y es la elasticidad, con , ≠ 1 denominado coeficiente constante de aversión relativa al riesgo (con la aversión al riesgo acercándose al infinito como → ∞). ${\displaystyle 1-\gamma }$ ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Véase también

• Elasticidad de sustitución constante
• Función de potencia

Referencias

1. Simon, Carl P.; Blume, Lawrence (1994). Matemáticas para economistas . Nueva York: Norton. pág. 67. ISBN 0393957330.

Enlaces externos

• Curvas de oferta y demanda de elasticidad constante