Drazin inverso

En matemáticas , la inversa de Drazin , llamada así en honor a Michael P. Drazin , es un tipo de inversa generalizada de una matriz .

Sea A una matriz cuadrada. El índice de A es el menor entero no negativo k tal que rango ( A ^{k +1} ) = rango ( A ^k ). La inversa de Drazin de A es la única matriz A ^D que satisface

${\displaystyle A^{k+1}A^{\text{D}}=A^{k},\quad A^{\text{D}}AA^{\text{D}}=A^{\text{D}},\quad AA^{\text{D}}=A^{\text{D}}A.}$

No se trata de una inversa generalizada en el sentido clásico, ya que en general. ${\displaystyle AA^{\text{D}}A\neq A}$

• Si A es invertible con inversa , entonces . ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle A^{\text{D}}=A^{-1}}$
• Si A es una matriz diagonal en bloques

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&0\\0&N\end{bmatrix}}}$

donde es invertible con inversa y es una matriz nilpotente , entonces ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{-1}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle A^{D}={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

• La inversión de Drazin es invariante bajo conjugación. Si es la inversa de Drazin de , entonces es la inversa de Drazin de . ${\displaystyle A^{\text{D}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle PA^{\text{D}}P^{-1}}$ ${\displaystyle PAP^{-1}}$
• La inversa de Drazin de una matriz de índice 0 o 1 se denomina inversa de grupo o {1,2,5}-inversa y se denota A ^# . La inversa de grupo se puede definir, de manera equivalente, por las propiedades AA ^# A = A , A ^# AA ^# = A ^# y AA ^# = A ^# A.
• Una matriz de proyección P , definida como una matriz tal que P ² = P , tiene índice 1 (o 0) y tiene inversa de Drazin P ^D = P .
• Si A es una matriz nilpotente (por ejemplo una matriz de desplazamiento ), entonces ${\displaystyle A^{\text{D}}=0.}$

La secuencia de hiperpotencia es

${\displaystyle A_{i+1}:=A_{i}+A_{i}\left(I-AA_{i}\right);}$Para la convergencia observe que ${\displaystyle A_{i+j}=A_{i}\sum _{k=0}^{2^{j}-1}\left(I-AA_{i}\right)^{k}.}$

Para cualquier regular con elegido tal que la secuencia tiende a su inversa Drazin, ${\displaystyle A_{0}:=\alpha A}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{0}A=AA_{0}}$ ${\displaystyle \left\|A_{0}-A_{0}AA_{0}\right\|<\left\|A_{0}\right\|}$

${\displaystyle A_{i}\rightarrow A^{\text{D}}.}$

Drazin invierte en categorías

Recientemente, Cockett, Pacaud Lemay y Srinivasan han iniciado un estudio de las inversas de Drazin mediante técnicas de teoría de categorías y una noción de inversa de Drazin para un morfismo de una categoría. Esta noción es una generalización de la algebraica lineal, ya que existe una categoría adecuadamente definida que tiene matrices de morfismos con entradas complejas; una inversa de Drazin para la matriz M equivale a una inversa de Drazin para el morfismo correspondiente en . ${\displaystyle {\mathsf {MAT}}}$ ${\displaystyle M:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle {\mathsf {MAT}}}$

Forma normal de Jordan y descomposición de Jordan-Chevalley

Como la definición de la inversa de Drazin es invariante bajo conjugaciones de matrices, escribir , donde J está en forma normal de Jordan, implica que . La inversa de Drazin es entonces la operación que asigna los bloques de Jordan invertibles a sus inversos, y los bloques de Jordan nilpotentes a cero. ${\displaystyle A=PJP^{-1}}$ ${\displaystyle A^{\text{D}}=PJ^{\text{D}}P^{-1}}$

De manera más general, podemos definir la inversa de Drazin sobre cualquier cuerpo perfecto , utilizando la descomposición de Jordan-Chevalley donde es semisimple y es nilpotente y ambos operadores conmutan. Los dos términos pueden diagonalizarse en bloques con bloques correspondientes al núcleo y conúcleo de . La inversa de Drazin en la misma base se define entonces como cero en el núcleo de , e igual a la inversa de en el conúcleo de . ${\displaystyle A=A_{s}+A_{n}}$ ${\displaystyle A_{s}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle A_{s}}$ ${\displaystyle A_{s}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{s}}$

Véase también

• Inversa generalizada restringida
• Elemento inverso
• Inversión de Moore-Penrose
• Forma normal de Jordania
• Vector propio generalizado

Referencias

• Drazin, MP (1958). "Pseudo-inversos en anillos asociativos y semigrupos". The American Mathematical Monthly . 65 (7): 506–514. doi :10.2307/2308576. JSTOR  2308576.
• Zheng, Bing; Bapat, RB (2004). "A(2)T,S inversa generalizada y una ecuación de rango". Matemáticas Aplicadas y Computación . 155 (2): 407. doi :10.1016/S0096-3003(03)00786-0.
• Cockett, Robin; Pacaud Lemay, Jean-Simon; Srinivasan, Priyaa Varshinee (2024). "Drazin inversas en categorías". arXiv : 2402.18226 [matemáticas.CT].

Enlaces externos

• Drazin inverso en Planet Math
• Grupo inverso en Planet Math