Intersección plano-plano

Dos planos que se intersecan en un espacio tridimensional

En geometría analítica , la intersección de dos planos en el espacio tridimensional es una línea .

Formulación

La línea de intersección entre dos planos y donde están normalizados viene dada por ${\displaystyle \Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{2}:{\boldsymbol {n}}_{2}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{i}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2})+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})}$

dónde

${\displaystyle c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1-({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}}$

${\displaystyle c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1-({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}.}$

Derivación

Esto se logra observando que la línea debe ser perpendicular a ambas normales del plano y, por lo tanto, paralela a su producto vectorial (este producto vectorial es cero si y solo si los planos son paralelos y, por lo tanto, no se intersecan o son completamente coincidentes). ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2}}$

El resto de la expresión se obtiene hallando un punto arbitrario en la línea. Para ello, se considera que cualquier punto en el espacio puede escribirse como , ya que es una base . Deseamos hallar un punto que esté en ambos planos (es decir, en su intersección), por lo que se inserta esta ecuación en cada una de las ecuaciones de los planos para obtener dos ecuaciones simultáneas que se pueden resolver para y . ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})}$ ${\displaystyle \{{\boldsymbol {n}}_{1},{\boldsymbol {n}}_{2},({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})\}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

Si suponemos además que y son ortonormales , entonces el punto más cercano de la línea de intersección al origen es . Si ese no es el caso, entonces se debe utilizar un procedimiento más complejo. ^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+h_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}}$

Ángulo diedro

Dados dos planos que se intersectan descritos por y , el ángulo diedro entre ellos se define como el ángulo entre sus direcciones normales: ${\displaystyle \Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$ ${\displaystyle \Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {{\hat {n}}_{1}\cdot {\hat {n}}_{2}}{|{\hat {n}}_{1}||{\hat {n}}_{2}|}}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}.}$

Referencias

1. Intersección plano-plano - de Wolfram MathWorld. Mathworld.wolfram.com. Consultado el 20 de agosto de 2013.