En la teoría de modelos , la interpretación de una estructura M en otra estructura N (normalmente de una firma diferente ) es una noción técnica que se aproxima a la idea de representar M dentro de N. Por ejemplo, cada reducción o expansión definicional de una estructura N tiene una interpretación en N.
Muchas propiedades de la teoría de modelos se conservan en condiciones de interpretabilidad. Por ejemplo, si la teoría de N es estable y M es interpretable en N , entonces la teoría de M también es estable.
Cabe señalar que en otras áreas de la lógica matemática , el término "interpretación" puede referirse a una estructura , [1] [2] en lugar de usarse en el sentido definido aquí. Estas dos nociones de "interpretación" están relacionadas, pero son distintas.
Una interpretación de una estructura M en una estructura N con parámetros (o sin parámetros , respectivamente) es un par donde n es un número natural y es una función sobreyectiva de un subconjunto de N n sobre M tal que la -preimagen (más precisamente la -preimagen) de cada conjunto X ⊆ M k definible en M por una fórmula de primer orden sin parámetros es definible (en N ) por una fórmula de primer orden con parámetros (o sin parámetros, respectivamente) [ aclaración necesaria ] . Dado que el valor de n para una interpretación a menudo es claro a partir del contexto, la función en sí también se denomina interpretación.
Para verificar que la preimagen de cada conjunto definible (sin parámetros) en M es definible en N (con o sin parámetros), basta comprobar las preimágenes de los siguientes conjuntos definibles:
En la teoría de modelos, el término definible se refiere a menudo a la definibilidad con parámetros; si se utiliza esta convención, la definibilidad sin parámetros se expresa mediante el término 0-definible . De manera similar, una interpretación con parámetros puede denominarse simplemente interpretación y una interpretación sin parámetros, 0-interpretación .
Si L, M y N son tres estructuras, L se interpreta en M y M se interpreta en N, entonces se puede construir naturalmente una interpretación compuesta de L en N. Si dos estructuras M y N se interpretan entre sí, entonces combinando las interpretaciones de dos maneras posibles, se obtiene una interpretación de cada una de las dos estructuras en sí misma. Esta observación permite definir una relación de equivalencia entre estructuras, que recuerda la equivalencia de homotopía entre espacios topológicos .
Dos estructuras M y N son biinterpretables si existe una interpretación de M en N y una interpretación de N en M tales que las interpretaciones compuestas de M en sí mismo y de N en sí mismo son definibles en M y en N , respectivamente (las interpretaciones compuestas se consideran como operaciones sobre M y sobre N ).
La función parcial f de Z × Z sobre Q que asigna ( x , y ) a x / y si y ≠ 0 proporciona una interpretación del cuerpo Q de números racionales en el anillo Z de números enteros (para ser precisos, la interpretación es (2, f )). De hecho, esta interpretación particular se utiliza a menudo para definir los números racionales. Para ver que es una interpretación (sin parámetros), es necesario comprobar las siguientes preimágenes de conjuntos definibles en Q :
