Un primo permutable , también conocido como primo anagramático , es un número primo que, en una base dada , puede tener sus dígitos en posiciones intercambiadas a través de cualquier permutación y seguir siendo un número primo. HE Richert , quien supuestamente es el primero en estudiar estos primos, los llamó primos permutables, [1] pero más tarde también se los llamó primos absolutos . [2]
En base 2, solo los números primos permutables pueden ser repunitarios, porque cualquier 0 permutado al lugar de las unidades da como resultado un número par. Por lo tanto, los números primos permutables en base 2 son los números primos de Mersenne . Se puede generalizar con seguridad que, para cualquier sistema de numeración posicional , los números primos permutables con más de un dígito solo pueden tener dígitos que sean coprimos con el radix del sistema numérico. Los números primos de un dígito, es decir, cualquier número primo por debajo del radix, siempre son trivialmente permutables.
En base 10 , se conocen todos los primos permutables con menos de 49.081 dígitos.
Donde R n := es un repunit, un número que consta únicamente de n unos (en base 10 ). Cualquier primo repunit es un primo permutable con la definición anterior, pero algunas definiciones requieren al menos dos dígitos distintos. [3]
De los anteriores, hay 16 conjuntos de permutaciones únicos, con elementos más pequeños
Todos los primos permutables de dos o más dígitos están compuestos por los dígitos 1, 3, 7, 9, porque ningún número primo excepto 2 es par, y ningún número primo además de 5 es divisible por 5. Está demostrado [4] que no existe ningún primo permutable que contenga tres diferentes de los cuatro dígitos 1, 3, 7, 9, así como que no existe ningún primo permutable compuesto por dos o más de cada uno de dos dígitos seleccionados entre 1, 3, 7, 9.
No existe ningún primo permutable de n dígitos para 3 < n < 6·10 175 que no sea un repunit. [1] Se conjetura que no existen otros primos permutables que no sean repunit aparte de los dieciocho enumerados anteriormente. Se pueden dividir en siete conjuntos de permutaciones:
En base 12 , se conocen los elementos más pequeños de los conjuntos de permutación únicos de los primos permutables con menos de 9.739 dígitos (usando dos y tres invertidos para diez y once, respectivamente)
No existe ningún primo permutable de n dígitos en base 12 para 4 < n < 12 144 que no sea un repunit. Se supone que no existen primos permutables no repunitarios en base 12 aparte de los enumerados anteriormente.
En base 10 y base 12, cada primo permutable es un repunit o un casi-repdigit, es decir, es una permutación del entero P ( b , n , x , y ) = xxxx ... xxxy b ( n dígitos, en base b ) donde x e y son dígitos que son coprimos con b . Además, x e y deben ser también coprimos (ya que si hay un primo p divide a x e y , entonces p también divide al número), por lo que si x = y , entonces x = y = 1. (Esto no es cierto en todas las bases, pero las excepciones son raras y podrían ser finitas en cualquier base dada; las únicas excepciones por debajo de 10 9 en bases hasta 20 son: 139 11 , 36A 11 , 247 13 , 78A 13 , 29E 19 (M. Fiorentini, 2015).)
Sea P(b, n, x, y) un primo permutable en base b y sea p un primo tal que n ≥ p . Si b es una raíz primitiva de p , y p no divide a x o | x - y |, entonces n es un múltiplo de p - 1. (Dado que b es una raíz primitiva módulo p y p no divide a | x − y |, los números p xxxx ... xxxy , xxxx ... xxxyx , xxxx ... xyxx , ..., xxxx ... xyxx ... xxxx (solo el dígito b p −2 es y , los demás son todos x ), xxxx ... yxxx ... xxxx (solo el dígito b p −1 es y , los demás son todos x ), xxxx ... xxxx (el dígito rep con n x s) módulo p son todos diferentes. Es decir, uno es 0, otro es 1, otro es 2, ..., el otro es p − 1. Por lo tanto, dado que los primeros números p − 1 son todos primos, el último número (el dígito rep con n x s) debe ser divisible por p . Dado que p no divide a x , entonces p debe dividir el dígito rep con n 1s. Como b es una raíz primitiva módulo p , el orden multiplicativo de n módulo p es p − 1. Por lo tanto, n debe ser divisible por p − 1.)
Así, si b = 10, los dígitos coprimos de 10 son {1, 3, 7, 9}. Como 10 es una raíz primitiva módulo 7, por lo que si n ≥ 7, entonces o bien 7 divide a x (en este caso, x = 7, ya que x ∈ {1, 3, 7, 9}) o bien | x − y | (en este caso, x = y = 1, ya que x , y ∈ {1, 3, 7, 9}. Es decir, el primo es un repunit) o bien n es un múltiplo de 7 − 1 = 6. De forma similar, como 10 es una raíz primitiva módulo 17, por lo que si n ≥ 17, entonces o bien 17 divide a x (no es posible, ya que x ∈ {1, 3, 7, 9}) o bien | x − y | (en este caso, x = y = 1, ya que x , y ∈ {1, 3, 7, 9}. Es decir, el primo es una repunidad) o n es múltiplo de 17 − 1 = 16. Además, 10 también es una raíz primitiva módulo 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, ..., por lo que n ≥ 17 es muy imposible (ya que para estos primos p , si n ≥ p , entonces n es divisible por p − 1), y si 7 ≤ n < 17, entonces x = 7, o n es divisible por 6 (el único n posible es 12). Si b = 12, los dígitos coprimos de 12 son {1, 5, 7, 11}. Como 12 es una raíz primitiva módulo 5, entonces si n ≥ 5, entonces 5 divide a x (en este caso, x = 5, ya que x ∈ {1, 5, 7, 11}) o | x − y | (en este caso, o bien x = y = 1 (es decir, el primo es un repunit) o bien x = 1, y = 11 o bien x = 11, y = 1, ya que x , y ∈ {1, 5, 7, 11}.) o bien n es un múltiplo de 5 − 1 = 4. De manera similar, dado que 12 es una raíz primitiva módulo 7, por lo que si n ≥ 7, entonces o bien 7 divide a x (en este caso, x = 7, ya que x ∈ {1, 5, 7, 11}) o bien | x − y | (en este caso, x = y = 1, ya que x , y ∈ {1, 5, 7, 11}. Es decir, el primo es un repunit) o bien nes un múltiplo de 7 − 1 = 6. De manera similar, dado que 12 es una raíz primitiva módulo 17, entonces si n ≥ 17, entonces 17 divide a x (no es posible, ya que x ∈ {1, 5, 7, 11}) o | x − y | (en este caso, x = y = 1, ya que x , y ∈ {1, 5, 7, 11}. Es decir, el primo es una repunidad) o n es un múltiplo de 17 − 1 = 16. Además, 12 también es una raíz primitiva módulo 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, ..., por lo que n ≥ 17 es muy imposible (ya que para este primo p , si n ≥ p , entonces n es divisible por p − 1), y si 7 ≤ n < 17, entonces x = 7 (en este caso, ya que 5 no divide a x o x − y , entonces n debe ser divisible por 4) o n es divisible por 6 (el único n posible es 12).
