Integral de Khinchin

En matemáticas , la integral de Khinchin (a veces escrita integral de Khintchine ), también conocida como integral de Denjoy-Khinchin , integral de Denjoy generalizada o integral amplia de Denjoy , es una de varias definiciones de la integral de una función . Es una generalización de las integrales de Riemann y Lebesgue . Recibe su nombre en honor a Aleksandr Khinchin y Arnaud Denjoy , pero no debe confundirse con la integral de Denjoy (estrecha) .

Motivación

Si g  :  I  →  R es una función integrable de Lebesgue en algún intervalo I  = [ a , b ], y si

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}g(t)\,dt}$

es su integral de Lebesgue indefinida, entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas: ^[1]

1. f es absolutamente continua (ver abajo)
2. f es diferenciable casi en todas partes
3. Su derivada coincide casi en todas partes con g ( x ). (De hecho, todas las funciones absolutamente continuas se obtienen de esta manera. ^[2] )

La integral de Lebesgue podría definirse de la siguiente manera: g es Lebesgue-integrable en I si y solo si existe una función f que es absolutamente continua cuya derivada coincide con g en casi todas partes.

Sin embargo, incluso si f  :  I  →  R es diferenciable en todas partes , y g es su derivada, no se sigue que f sea ( hasta una constante) la integral indefinida de Lebesgue de g , simplemente porque g puede no ser integrable en Lebesgue, es decir, f puede no ser absolutamente continua. Un ejemplo de esto lo da ^[3] la derivada g de la función (diferenciable pero no absolutamente continua) f ( x ) = x ² ·sin(1/ x ² ) (la función g no es integrable en Lebesgue alrededor de 0).

La integral de Denjoy corrige esta carencia al asegurar que la derivada de cualquier función f que sea diferenciable en todas partes (o incluso diferenciable en todas partes excepto en un número contable de puntos como máximo) sea integrable, y su integral reconstruya f hasta una constante; la integral de Khinchin es incluso más general en el sentido de que puede integrar la derivada aproximada de una función aproximadamente diferenciable (ver más abajo las definiciones). Para ello, primero se encuentra una condición que sea más débil que la continuidad absoluta pero que sea satisfecha por cualquier función aproximadamente diferenciable. Este es el concepto de continuidad absoluta generalizada ; las funciones absolutamente continuas generalizadas serán exactamente aquellas funciones que sean integrales de Khinchin indefinidas.

Definición

Función absolutamente continua generalizada

Sea I  = [ a , b ] un intervalo y f  :  I  →  R una función de valor real en I .

Recordemos que f es absolutamente continua en un subconjunto E de I si y solo si para cada número positivo ε hay un número positivo δ tal que siempre que una colección finita de subintervalos disjuntos por pares de I con puntos finales en E satisface ${\displaystyle [x_{k},y_{k}]}$

${\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta }$

También satisface

${\displaystyle \sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$

Defina ^{[4] [5]} la función f que se generalizará como absolutamente continua en un subconjunto E de I si la restricción de f a E es continua (en E ) y E puede escribirse como una unión contable de subconjuntos E _i tales que f es absolutamente continua en cada E _i . Esto es equivalente ^[6] a la afirmación de que todo subconjunto perfecto no vacío de E contiene una porción ^[7] en la que f es absolutamente continua.

Derivada aproximada

Sea E un conjunto de números reales mesurables según Lebesgue . Recordemos que se dice que un número real x (no necesariamente en E ) es un punto de densidad de E cuando

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (E\cap [x-\varepsilon ,x+\varepsilon ])}{2\varepsilon }}=1}$

(donde μ denota medida de Lebesgue). Se dice que una función medible mediante Lebesgue g  :  E  →  R tiene límite aproximado ^[8] y en x (un punto de densidad de E ) si para cada número positivo ε , el punto x es un punto de densidad de . (Si además g ( x ) =  y , podemos decir que g es aproximadamente continua en x . ^[9] ) De manera equivalente, g tiene límite aproximado y en x si y solo si existe un subconjunto medible F de E tal que x es un punto de densidad de F y el límite (usual) en x de la restricción de f a F es y . Al igual que el límite usual, el límite aproximado es único si existe. ${\displaystyle g^{-1}([y-\varepsilon ,y+\varepsilon ])}$

Finalmente, se dice que una función medible mediante Lebesgue f  :  E  →  R tiene una derivada aproximada y en x si y solo si

${\displaystyle {\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}}$

tiene límite aproximado y en x ; esto implica que f es aproximadamente continua en x .

Un teorema

Recordemos que del teorema de Lusin se sigue que una función medible según Lebesgue es aproximadamente continua en casi todas partes (y viceversa ). ^{[10] [11]} El teorema clave para construir la integral de Khinchin es el siguiente: una función f que es generalizada absolutamente continua (o incluso de "variación acotada generalizada", una noción más débil) tiene una derivada aproximada en casi todas partes. ^{[12] [13] [14]} Además, si f es generalizada absolutamente continua y su derivada aproximada es no negativa en casi todas partes, entonces f es no decreciente , ^[15] y, en consecuencia, si esta derivada aproximada es cero en casi todas partes, entonces f es constante.

La integral de Khinchin

Sea I  = [ a , b ] un intervalo y g  :  I  →  R una función de valor real en I . Se dice que la función g es integrable en Khinchin en I si y solo si existe una función f que es generalizada absolutamente continua cuya derivada aproximada coincide con g casi en todas partes; ^[16] en este caso, la función f está determinada por g hasta una constante, y la integral de Khinchin de g desde a hasta b se define como . ${\displaystyle f(b)-f(a)}$

Un caso particular

Si f  :  I  →  R es continua y tiene una derivada aproximada en todas partes de I excepto en un número contable de puntos como máximo, entonces f es, de hecho, generalizada absolutamente continua, por lo que es la integral de Khinchin (indefinida) de su derivada aproximada. ^[17]

Este resultado no se cumple si el conjunto de puntos donde no se supone que f tiene una derivada aproximada es simplemente de medida de Lebesgue cero , como lo muestra la función de Cantor .

Notas

1. (Gordon 1994, teorema 4.12)
2. (Gordon 1994, teorema 4.14)
3. (Bruckner 1994, capítulo 5, §2)
4. (Bruckner 1994, capítulo 5, §4)
5. (Gordon 1994, definición 6.1)
6. (Gordon 1994, teorema 6.10)
7. Una porción de un conjunto perfecto P es un P  ∩ [ u ,  v ] tal que esta intersección es perfecta y no vacía.
8. (Bruckner 1994, capítulo 10, §1)
9. (Gordon 1994, teorema 14.5)
10. (Bruckner 1994, teorema 5.2)
11. (Gordon 1994, teorema 14.7)
12. (Bruckner 1994, capítulo 10, teorema 1.2)
13. (Gordon 1994, teorema 14.11)
14. (Filippov 1998, capítulo IV, teorema 6.1)
15. (Gordon 1994, teorema 15.2)
16. (Gordon 1994, definición 15.1)
17. (Gordon 1994, teorema 15.4)

Referencias

• Enciclopedia Springer de Matemáticas: artículo "Integral de Denjoy"
• Enciclopedia Springer de Matemáticas: artículo "Derivada aproximada"
• Bruckner, Andrew (1994). Diferenciación de funciones reales . Sociedad Matemática Americana . ISBN 978-0-8218-6990-1.
• Gordon, Russell A. (1994). Las integrales de Lebesgue, Denjoy, Perron y Henstock . Sociedad Matemática Americana . ISBN 978-0-8218-3805-1.
• Filippov, VV (1998). Estructuras topológicas básicas de ecuaciones diferenciales ordinarias . ISBN 978-0-7923-4951-8.