Integral de Khinchin

En matemáticas , la integral de Khinchin (a veces escrita como integral de Khintchine ), también conocida como integral de Denjoy-Khinchin , integral de Denjoy generalizada o integral de Denjoy amplia , es una de varias definiciones de la integral de una función . Es una generalización de las integrales de Riemann y Lebesgue . Lleva el nombre de Aleksandr Khinchin y Arnaud Denjoy , pero no debe confundirse con la integral (estrecha) de Denjoy .

Motivación

Si g  :  I  →  R es una función integrable de Lebesgue en algún intervalo I  = [ a , b ], y si

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}g(t)\,dt}$

es su integral de Lebesgue indefinida, entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas: ^[1]

1. f es absolutamente continua (ver más abajo)
2. f es diferenciable en casi todas partes
3. Su derivada coincide casi en todas partes con g ( x ). (De hecho, todas las funciones absolutamente continuas se obtienen de esta manera. ^[2] )

La integral de Lebesgue podría definirse de la siguiente manera: g es integrable en Lebesgue en I si existe una función f que es absolutamente continua cuya derivada coincide con g en casi todas partes.

Sin embargo, incluso si f  :  I  →  R es diferenciable en todas partes , y g es su derivada, no se sigue que f sea ( hasta una constante) la integral indefinida de Lebesgue de g , simplemente porque g puede no ser integrable en Lebesgue, es decir, f puede no ser absolutamente continua. Un ejemplo de esto lo da ^[3] la derivada g de la función (diferenciable pero no absolutamente continua) f ( x ) = x ² ·sin(1/ x ² ) (la función g no es integrable en Lebesgue alrededor de 0) .

La integral de Denjoy corrige esta falta asegurando que la derivada de cualquier función f que sea diferenciable en todas partes (o incluso diferenciable en todas partes excepto en muchos puntos contables ) sea integrable, y su integral reconstruya f hasta una constante; la integral de Khinchin es aún más general porque puede integrar la derivada aproximada de una función aproximadamente diferenciable (consulte las definiciones a continuación). Para hacer esto, primero se encuentra una condición que sea más débil que la continuidad absoluta pero que sea satisfecha por cualquier función aproximadamente diferenciable. Este es el concepto de continuidad absoluta generalizada ; Las funciones absolutamente continuas generalizadas serán exactamente aquellas funciones que son integrales indefinidas de Khinchin.

Definición

Función absolutamente continua generalizada

Sea I  = [ a , b ] un intervalo y f  :  I  →  R una función de valor real en I .

Recuerde que f es absolutamente continua en un subconjunto E de I si y sólo si para cada número positivo ε hay un número positivo δ tal que siempre que una colección finita de subintervalos disjuntos por pares de I con puntos finales en E satisfaga ${\displaystyle [x_{k},y_{k}]}$

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también satisface

${\displaystyle \sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$

Defina ^{[4] [5]} la función f para ser generalizada absolutamente continua en un subconjunto E de I si la restricción de f a E es continua (en E ) y E puede escribirse como una unión contable de subconjuntos E _i tal que f es absolutamente continua en cada E _i . Esto es equivalente ^[6] a la afirmación de que todo subconjunto perfecto no vacío de E contiene una porción ^[7] en la que f es absolutamente continua.

Derivada aproximada

Sea E un conjunto de reales mensurables de Lebesgue . Recuerde que un número real x (no necesariamente en E ) se dice que es un punto de densidad de E cuando

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (E\cap [x-\varepsilon ,x+\varepsilon ])}{2\varepsilon }}=1}$

(donde μ denota medida de Lebesgue). Se dice que una función medible de Lebesgue g  :  E  →  R tiene un límite aproximado ^[8] y en x (un punto de densidad de E ) si para cada número positivo ε , el punto x es un punto de densidad de . (Si además g ( x ) =  y , podemos decir que g es aproximadamente continuo en x . ^[9] ) De manera equivalente, g tiene un límite aproximado y en x si y solo si existe un subconjunto F mensurable de E tal que x es un punto de densidad de F y el límite (habitual) en x de la restricción de f a F es y . Al igual que el límite habitual, el límite aproximado es único si existe. ${\displaystyle g^{-1}([y-\varepsilon ,y+\varepsilon ])}$

Finalmente, se dice que una función f  :  E  →  R medible por Lebesgue tiene una derivada aproximada y en x iff

${\displaystyle {\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}}$

tiene límite aproximado y en x ; esto implica que f es aproximadamente continua en x .

un teorema

Recuerde que del teorema de Lusin se deduce que una función mensurable de Lebesgue es aproximadamente continua en casi todas partes (y viceversa ). ^{[10] [11] El} teorema clave para construir la integral de Khinchin es el siguiente: una función f que es absolutamente continua generalizada (o incluso de "variación acotada generalizada", una noción más débil) tiene una derivada aproximada en casi todas partes. ^{[12] [13] [14]} Además, si f es absolutamente continua generalizada y su derivada aproximada no es negativa en casi todas partes, entonces f no es decreciente , ^[15] y, en consecuencia, si esta derivada aproximada es cero en casi todas partes, entonces f es constante .

La integral de Khinchin

Sea I  = [ a , b ] un intervalo y g  :  I  →  R una función de valor real en I . Se dice que la función g es Khinchin integrable en I si existe una función f que es absolutamente continua generalizada cuya derivada aproximada coincide con g en casi todas partes; ^[16] en este caso, la función f está determinada por g hasta una constante, y la integral de Khinchin de g de a a b se define como . ${\displaystyle f(b)-f(a)}$

un caso particular

Si f  :  I  →  R es continua y tiene una derivada aproximada en todas partes de I excepto en muchos puntos contables como máximo, entonces f es, de hecho, absolutamente continua generalizada, por lo que es la integral de Khinchin (indefinida) de su derivada aproximada. ^[17]

Este resultado no se cumple si el conjunto de puntos donde no se supone que f tenga una derivada aproximada es meramente de medida de Lebesgue cero , como muestra la función de Cantor .

Notas

1. (Gordon 1994, teorema 4.12)
2. (Gordon 1994, teorema 4.14)
3. (Bruckner 1994, capítulo 5, §2)
4. (Bruckner 1994, capítulo 5, §4)
5. (Gordon 1994, definición 6.1)
6. (Gordon 1994, teorema 6.10)
7. Una porción de un conjunto perfecto P es un P  ∩ [ u ,  v ] tal que esta intersección es perfecta y no vacía.
8. (Bruckner 1994, capítulo 10, §1)
9. (Gordon 1994, teorema 14.5)
10. (Bruckner 1994, teorema 5.2)
11. (Gordon 1994, teorema 14.7)
12. (Bruckner 1994, capítulo 10, teorema 1.2)
13. (Gordon 1994, teorema 14.11)
14. (Filippov 1998, capítulo IV, teorema 6.1)
15. (Gordon 1994, teorema 15.2)
16. (Gordon 1994, definición 15.1)
17. (Gordon 1994, teorema 15.4)

Referencias

• Enciclopedia Springer de Matemáticas: artículo "Denjoy integral"
• Enciclopedia Springer de Matemáticas: artículo "Derivada aproximada"
• Bruckner, Andrés (1994). Diferenciación de Funciones Reales . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-6990-1.
• Gordon, Russell A. (1994). Las integrales de Lebesgue, Denjoy, Perron y Henstock . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-3805-1.
• Filippov, VV (1998). Estructuras topológicas básicas de ecuaciones diferenciales ordinarias . ISBN 978-0-7923-4951-8.