Estabilidad de entrada a estado

La estabilidad de entrada a estado (ISS) ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]} es una noción de estabilidad ampliamente utilizada para estudiar la estabilidad de sistemas de control no lineales con entradas externas. En términos generales, un sistema de control es ISS si es globalmente asintóticamente estable en ausencia de entradas externas y si sus trayectorias están limitadas por una función del tamaño de la entrada para todos los tiempos suficientemente grandes. La importancia de la ISS se debe al hecho de que el concepto ha cerrado la brecha entre los métodos de entrada-salida y el espacio de estados , ampliamente utilizados dentro de la comunidad de sistemas de control.

ISS unificó las teorías de Lyapunov y de estabilidad de entrada-salida y revolucionó nuestra visión sobre la estabilización de sistemas no lineales, el diseño de observadores no lineales robustos , la estabilidad de sistemas de control interconectados no lineales, la teoría de la detectabilidad no lineal y el control adaptativo de supervisión. Esto convirtió a la ISS en el paradigma de estabilidad dominante en la teoría del control no lineal, con aplicaciones tan diversas como robótica, mecatrónica, biología de sistemas, ingeniería eléctrica y aeroespacial, por nombrar algunas.

La noción de ISS fue introducida para los sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales ordinarias por Eduardo Sontag en 1989. ^[7]

Desde entonces, el concepto se utilizó con éxito para muchas otras clases de sistemas de control, incluidos sistemas gobernados por ecuaciones diferenciales parciales, sistemas retardados, sistemas híbridos, etc. ^[5]

Definición

Considere un sistema invariante en el tiempo de ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma

donde es una entrada externa esencialmente acotada medible de Lebesgue y es una función continua de Lipschitz con el primer argumento uniformemente con el segundo. Esto garantiza que exista una solución única y absolutamente continua del sistema ( 1 ). ${\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$

Para definir ISS y propiedades relacionadas, explotamos las siguientes clases de funciones de comparación . Denotamos por el conjunto de funciones continuas crecientes con y el conjunto de funciones continuas estrictamente decrecientes con . Entonces podemos denotar como funciones donde para todos y para todos . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \gamma (0)=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \lim _{r\to \infty }\gamma (r)=0}$ ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \beta (\cdot ,t)\in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \beta (r,\cdot )\in {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle r>0}$

El sistema ( 1 ) se denomina globalmente asintóticamente estable en cero (0-GAS) si el sistema correspondiente con entrada cero

es globalmente asintóticamente estable , es decir, existe de modo que para todos los valores iniciales y todos los tiempos la siguiente estimación es válida para soluciones de ( Sin entradas ) ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

El sistema ( 1 ) se llama estable de entrada a estado (ISS) si existen funciones y de modo que para todos los valores iniciales , todas las entradas admisibles y todos los tiempos se cumple la siguiente desigualdad ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

La función en la desigualdad anterior se llama ganancia . ${\displaystyle \gamma }$

Claramente, un sistema ISS es estable tanto 0-GAS como BIBO (si igualamos la salida al estado del sistema). La implicación inversa en general no es cierta.

También se puede demostrar que si , entonces . ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }|u(t)|=0}$ ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }|x(t)|=0}$

Caracterizaciones de la propiedad de estabilidad de entrada a estado.

Para comprender la ISS es de gran importancia su reformulación en términos de otras propiedades de estabilidad.

El sistema ( 1 ) se llama globalmente estable (GS) si existe tal que y se cumple que ${\displaystyle \gamma ,\sigma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \forall x_{0}}$ ${\displaystyle \forall u}$ ${\displaystyle \forall t\geq 0}$

El sistema ( 1 ) satisface la propiedad de ganancia asintótica (AG) si existe :, se sostiene que ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \forall x_{0}}$ ${\displaystyle \forall u}$

Las siguientes afirmaciones son equivalentes para el lado derecho suficientemente regular ^[8] ${\displaystyle f}$

1. ( 1 ) es la ISS

2. ( 1 ) es GS y tiene la propiedad AG

3. ( 1 ) es 0-GAS y tiene la propiedad AG

La prueba de este resultado, así como de muchas otras caracterizaciones de la ISS, se puede encontrar en los artículos ^[8] y. ^[9] Se han mostrado otras caracterizaciones de la ISS que son válidas bajo restricciones muy leves sobre la regularidad de los rhs y son aplicables a sistemas más generales de dimensión infinita. ^[10] ${\displaystyle f}$

Funciones ISS-Lyapunov

Una herramienta importante para la verificación de la ISS son las funciones ISS-Lyapunov.

Una función suave se llama función ISS-Lyapunov para ( 1 ), si , y función definida positiva , tal que: ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \chi \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

y se sostiene: ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle |x|\geq \chi (|u|)\ \Rightarrow \ \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),}$

La función se llama ganancia de Lyapunov . ${\displaystyle \chi }$

Si un sistema ( 1 ) no tiene entradas (es decir ), entonces la última implicación se reduce a la condición ${\displaystyle u\equiv 0}$

${\displaystyle \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),\ \forall x\neq 0,}$

lo que nos dice que es una función de Lyapunov "clásica" . ${\displaystyle V}$

Un resultado importante debido a E. Sontag e Y. Wang es que un sistema ( 1 ) es ISS si y sólo si existe una función ISS-Lyapunov fluida para él. ^[9]

Ejemplos

Considere un sistema

${\displaystyle {\dot {x}}=-x^{3}+ux^{2}.}$

Defina una función candidata ISS-Lyapunov mediante ${\displaystyle V:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}x^{2},\quad \forall x\in \mathbb {R} .}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)=\nabla V\cdot (-x^{3}+ux^{2})=-x^{4}+ux^{3}.}$

Elija una ganancia de Lyapunov por ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi (r):={\frac {1}{1-\epsilon }}r}$.

Entonces obtenemos que se cumple ${\displaystyle x,u:\ |x|\geq \chi (|u|)}$

${\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq -|x|^{4}+(1-\epsilon )|x|^{4}=-\epsilon |x|^{4}.}$

Esto muestra que es una función ISS-Lyapunov para un sistema considerado con ganancia de Lyapunov . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \chi }$

Interconexiones de sistemas ISS

Una de las principales características del marco de la ISS es la posibilidad de estudiar las propiedades de estabilidad de las interconexiones de sistemas estables de entrada a estado.

Considere el sistema dado por

Aquí , y son Lipschitz continuos de manera uniforme con respecto a las entradas del subsistema -ésimo. ${\displaystyle u\in L_{\infty }(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle x_{i}(t)\in \mathbb {R} ^{p_{i}}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Para el -ésimo subsistema de ( WholeSys ), la definición de una función ISS-Lyapunov se puede escribir de la siguiente manera. ${\displaystyle i}$

Una función suave es una función ISS-Lyapunov (ISS-LF) para el -ésimo subsistema de ( WholeSys ), si existen funciones , , , y una función definida positiva , tal que: ${\displaystyle V_{i}:\mathbb {R} ^{p_{i}}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \psi _{i1},\psi _{i2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \chi _{ij},\chi _{i}\in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle j\neq i}$ ${\displaystyle \chi _{ii}:=0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle \psi _{i1}(|x_{i}|)\leq V_{i}(x_{i})\leq \psi _{i2}(|x_{i}|),\quad \forall x_{i}\in \mathbb {R} ^{p_{i}}}$

y se sostiene ${\displaystyle \forall x_{i}\in \mathbb {R} ^{p_{i}},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle V_{i}(x_{i})\geq \max\{\max _{j=1}^{n}\chi _{ij}(V_{j}(x_{j})),\chi _{i}(|u|)\}\ \Rightarrow \ \nabla V_{i}(x_{i})\cdot f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},u)\leq -\alpha _{i}(V_{i}(x_{i})).}$

Interconexiones en cascada

Las interconexiones en cascada son un tipo especial de interconexión, donde la dinámica del -ésimo subsistema no depende de los estados de los subsistemas . Formalmente, la interconexión en cascada se puede escribir como ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1,\ldots ,i-1}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}_{i}=f_{i}(x_{i},\ldots ,x_{n},u),\\i=1,\ldots ,n.\end{array}}\right.}$

Si todos los subsistemas del sistema anterior son ISS, entonces toda la interconexión en cascada también es ISS. ^{[7] [4]}

A diferencia de las cascadas de sistemas ISS, la interconexión en cascada de sistemas 0-GAS no suele ser 0-GAS. El siguiente ejemplo ilustra este hecho. Considere un sistema dado por

Ambos subsistemas de este sistema son 0-GAS, pero para estados iniciales suficientemente grandes y durante un cierto tiempo finito se cumple para , es decir, el sistema ( Ex_GAS ) exhibe un tiempo de escape finito y, por lo tanto, no es 0-GAS. ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle t^{*}}$ ${\displaystyle x(t)\to \infty }$ ${\displaystyle t\to t^{*}}$

Interconexiones de retroalimentación

La estructura de interconexión de los subsistemas se caracteriza por las ganancias internas de Lyapunov . La cuestión de si la interconexión ( WholeSys ) es ISS depende de las propiedades del operador de ganancia definido por ${\displaystyle \chi _{ij}}$ ${\displaystyle \Gamma :\mathbb {R} _{+}^{n}\rightarrow \mathbb {R} _{+}^{n}}$

${\displaystyle \Gamma (s):=\left(\max _{j=1}^{n}\chi _{1j}(s_{j}),\ldots ,\max _{j=1}^{n}\chi _{nj}(s_{j})\right),\ s\in \mathbb {R} _{+}^{n}.}$

El siguiente teorema de pequeña ganancia establece una condición suficiente para la ISS de la interconexión de sistemas ISS. Sea una función ISS-Lyapunov para el -ésimo subsistema de ( WholeSys ) con las ganancias correspondientes ,. Si la condición no lineal de pequeña ganancia ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \chi _{ij}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

se mantiene, entonces toda la interconexión es ISS. ^{[11] [12]}

La condición de pequeña ganancia ( SGC ) se cumple sif para cada ciclo en (es decir, para todos , donde ) y para todo lo que se cumple ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle (k_{1},...,k_{p})\in \{1,...,n\}^{p}}$ ${\displaystyle k_{1}=k_{p}}$ ${\displaystyle s>0}$

${\displaystyle \gamma _{k_{1}k_{2}}\circ \gamma _{k_{2}k_{3}}\circ \ldots \circ \gamma _{k_{p-1}k_{p}}(s)<s.}$

La condición de pequeña ganancia en esta forma también se denomina condición cíclica de pequeña ganancia.

Conceptos de estabilidad relacionados

ISS integral (iISS)

El sistema ( 1 ) se llama integral de entrada a estado estable (ISS) si existen funciones y de modo que para todos los valores iniciales , todas las entradas admisibles y todos los tiempos se cumple la siguiente desigualdad ${\displaystyle \alpha ,\gamma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

A diferencia de los sistemas ISS, si un sistema es ISS integral, sus trayectorias pueden ser ilimitadas incluso para entradas limitadas. Para ver esto poner para todos y tomar . Entonces la estimación ( 3 ) toma la forma ${\displaystyle \alpha (r)=\gamma (r)=r}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle u\equiv c=const}$

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}cds=\beta (|x_{0}|,t)+ct,}$

y el lado derecho crece hasta el infinito como . ${\displaystyle t\to \infty }$

Al igual que en el marco de la ISS, los métodos de Lyapunov desempeñan un papel central en la teoría de la ISS.

Una función suave se llama función iISS-Lyapunov para ( 1 ), si , y función definida positiva , tal que: ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \chi \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

y se sostiene: ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle {\dot {V}}=\nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|)+\gamma (|u|).}$

Un resultado importante debido a D. Angeli, E. Sontag e Y. Wang es que el sistema ( 1 ) es ISS integral si y sólo si existe una función iISS-Lyapunov para él.

Tenga en cuenta que en la fórmula anterior se supone que solo es definido positivo . Se puede demostrar fácilmente ^[13] que si es una función iISS-Lyapunov con , entonces es en realidad una función ISS-Lyapunov para un sistema ( 1 ). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {K}}_{\infty }}$ ${\displaystyle V}$

Esto demuestra en particular que cada sistema ISS es una ISS integral. La implicación inversa no es cierta, como lo muestra el siguiente ejemplo. Considere el sistema

${\displaystyle {\dot {x}}=-\arctan {x}+u.}$

Este sistema no es la ISS, ya que para entradas suficientemente grandes las trayectorias son ilimitadas. Sin embargo, es una ISS integral con una función iISS-Lyapunov definida por ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V(x)=x\arctan {x}.}$

ISS local (LISS)

También juegan un papel importante las versiones locales de los bienes de la ISS. Un sistema ( 1 ) se llama localmente ISS (LISS) si existe una constante y funciones ${\displaystyle \rho >0}$

${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$y para que para todas , todas las entradas admisibles y todos los tiempos se cumpla que ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}:\;|x_{0}|\leq \rho }$ ${\displaystyle u:\|u\|_{\infty }\leq \rho }$ ${\displaystyle t\geq 0}$

Una observación interesante es que 0-GAS implica LISS. ^[14]

Otras nociones de estabilidad

Se han introducido muchas otras nociones relacionadas con la estabilidad de la ISS: ISS incremental, estabilidad dinámica de entrada a estado (ISDS), ^[15] estabilidad práctica de entrada a estado (ISpS), estabilidad de entrada a salida (IOS) ^{[16 ]} etc.

ISS de sistemas de retardo de tiempo

Considere el sistema de retardo invariante en el tiempo.

Aquí está el estado del sistema ( TDS ) en el momento , y satisface ciertos supuestos para garantizar la existencia y unicidad de las soluciones del sistema ( TDS ). ${\displaystyle x^{t}\in C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x^{t}(\tau )=x(t+\tau ),\ \tau \in [-\theta ,0]}$ ${\displaystyle f:C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})\times \mathbb {R} ^{m}}$

El sistema ( TDS ) es ISS si y sólo si existen funciones tales que para cada , cada entrada admisible y para todos , se cumple que ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {KL}}}$ ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \xi \in C(\left[-\theta ,0\right],\mathbb {R} ^{N})}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$

En la teoría de la ISS para sistemas de retardo de tiempo se han propuesto dos condiciones suficientes diferentes de tipo Lyapunov: mediante funciones de ISS Lyapunov-Razumikhin ^[17] y mediante funcionales de ISS Lyapunov-Krasovskii. ^[18] Para teoremas inversos de Lyapunov para sistemas de retardo de tiempo, consulte. ^[19]

ISS de otras clases de sistemas.

La estabilidad de entrada a estado de los sistemas basados ​​en ecuaciones diferenciales ordinarias invariantes en el tiempo es una teoría bastante desarrollada, consulte una monografía reciente. ^[6] Sin embargo, la teoría ISS de otras clases de sistemas también se está investigando para sistemas ODE variables en el tiempo ^[20] y sistemas híbridos . ^{[21] [22]} Últimamente también se han propuesto ciertas generalizaciones de los conceptos de la ISS a sistemas de dimensiones infinitas. ^{[23] [24] [3] [25]}

Seminarios y recursos en línea sobre la ISS

1. Seminario en Línea: Estabilidad Insumo-Estado y sus Aplicaciones

2. Canal de YouTube en la ISS

Referencias

1. Eduardo D. Sontag. Teoría del control matemático: sistemas de dimensiones finitas. Springer-Verlag, Londres, 1998
2. Hassan K. Khalil. Sistemas no lineales. Prentice Hall, 2002.
3. Iasson Karafyllis y Zhong-Ping Jiang. Estabilidad y estabilización de sistemas no lineales. Serie Ingeniería de Comunicaciones y Control. Springer-Verlag London Ltd., Londres, 2011.
4. Eduardo D. Sontag. Aportes a la estabilidad del Estado: conceptos básicos y resultados. En Teoría del control óptimo y no lineal, volumen 1932 de Lecture Notes in Math., páginas 163–220, Berlín, 2008. Springer
5. A. Mironchenko, cap. Prieur. Estabilidad de entrada a estado de sistemas de dimensión infinita: resultados recientes y preguntas abiertas. Revisión SIAM, 62(3):529–614, 2020.
6. Andrii Mironchenko. Estabilidad de entrada a estado. Springer, 2023.
7. Eduardo D. Sontag. Una estabilización suave implica una factorización coprima. Traducción IEEE. Automático. Control, 34(4):435–443, 1989.
8. Eduardo D. Sontag y Yuan Wang . Nuevas caracterizaciones de la estabilidad entrada-estado. Traducción IEEE. Automático. Control, 41(9):1283–1294, 1996.
9. Eduardo D. Sontag y Yuan Wang . Sobre caracterizaciones de la propiedad de estabilidad entrada a estado Archivado el 3 de julio de 2013 en Wayback Machine . Letra de control de sistemas, 24 (5): 351–359, 1995.
10. Andrii Mironchenko y Fabián Wirth. Caracterizaciones de la estabilidad de entrada a estado para sistemas de dimensión infinita. Traducción IEEE. Automático. Control, 63(6): 1602-1617, 2018.
11. Zhong-Ping Jiang, Iven MY Mareels y Yuan Wang . Una formulación de Lyapunov del teorema no lineal de pequeña ganancia para sistemas ISS interconectados. Automática J. IFAC, 32(8):1211–1215, 1996.
12. Sergey Dashkovskiy, Björn S. Rüffer y Fabian R. Wirth. Una función ISS Lyapunov para redes de sistemas ISS. En Actas del 17º Simposio Internacional sobre Teoría Matemática de Redes y Sistemas (MTNS), Kyoto, Japón, 24 al 28 de julio de 2006, páginas 77 a 82, 2006
13. Ver Observación 2.4. en Eduardo D. Sontag y Yuan Wang . Sobre caracterizaciones de la propiedad de estabilidad entrada a estado. Carta de control de sistemas, 24 (5): 351–359, 1995
14. Lema I.1, p.1285 en Eduardo D. Sontag y Yuan Wang . Nuevas caracterizaciones de la estabilidad de entrada a estado. Traducción IEEE. Automático. Control, 41(9):1283–1294, 1996
15. Lars Grüne. Estabilidad dinámica entrada a estado y su caracterización de la función de Lyapunov. Traducción IEEE. Automático. Control, 47(9):1499–1504, 2002.
16. Z.-P. Jiang, AR Teel y L. Praly. Teorema de pequeña ganancia para sistemas y aplicaciones de la ISS. Matemáticas. Sistemas de señales de control, 7(2):95–120, 1994.
17. Andrew R. Teel. Conexiones entre los teoremas de tipo Razumikhin y el teorema de pequeña ganancia no lineal de la ISS. Traducción IEEE. Automático. Control, 43(7):960–964, 1998.
18. P. Pepe y Z.-P. Jiang. Una metodología de Lyapunov-Krasovskii para ISS e iISS de sistemas de retardo de tiempo. Carta de control de sistemas, 55(12):1006–1014, 2006.
19. Iasson Karafyllis. Teoremas de Lyapunov para sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales funcionales retardadas. Análisis no lineal: teoría, métodos y aplicaciones, 64(3):590 – 617, 2006.
20. Yuandan Lin, Yuan Wang y Daizhan Cheng. Sobre la estabilidad entrada a estado no uniforme y semiuniforme para sistemas que varían en el tiempo. En el Congreso Mundial de la IFAC, Praga, 2005.
21. Chaohong Cai y Andrew R. Teel. Caracterizaciones de la estabilidad entrada-estado para sistemas híbridos. Cartas de sistemas y control, 58(1):47–53, 2009.
22. D. Nesic y AR Teel. Un teorema de pequeña ganancia basado en Lyapunov para sistemas híbridos de la ISS. En Actas de la 47ª Conferencia del IEEE sobre Decisión y Control, Cancún, México, 9 al 11 de diciembre de 2008, páginas 3380–3385, 2008.
23. Bayu Jayawardhana, Hartmut Logemann y Eugene P. Ryan. Sistemas de retroalimentación de dimensión infinita: el criterio del círculo y la estabilidad de entrada a estado. Comunitario. inf. Syst., 8(4):413–414, 2008.
24. Dashkovskiy, S. y Mironchenko, A. Estabilidad de entrada a estado de sistemas de control de dimensión infinita. En Matemáticas de Control, Señales y Sistemas (MCSS), 2013
25. F. Mazenc y C. Prieur. Funciones estrictas de Lyapunov para ecuaciones diferenciales parciales parabólicas semilineales. Control matemático y campos relacionados, 1:231–250, junio de 2011.