La asignación cardinal de von Neumann es una asignación cardinal que utiliza números ordinales . Para un conjunto bien ordenable U , definimos su número cardinal como el número ordinal más pequeño equinumeroso a U , utilizando la definición de von Neumann de un número ordinal. Más precisamente:
donde ON es la clase de ordinales. Este ordinal también se denomina ordinal inicial del cardinal.
Que tal ordinal exista y sea único está garantizado por el hecho de que U es bien ordenable y que la clase de ordinales está bien ordenada, utilizando el axioma de reemplazo . Con el axioma de elección completo , cada conjunto es bien ordenable , por lo que cada conjunto tiene un cardinal; ordenamos los cardinales utilizando el orden heredado de los números ordinales. Se encuentra fácilmente que esto coincide con el ordenamiento mediante ≤ c . Este es un buen ordenamiento de los números cardinales.
Cada ordinal tiene un cardinal asociado , su cardinalidad, que se obtiene simplemente olvidando el orden. Cualquier conjunto bien ordenado que tenga ese ordinal como su tipo de orden tiene la misma cardinalidad. El ordinal más pequeño que tenga un cardinal dado como su cardinalidad se llama ordinal inicial de ese cardinal. Todo ordinal finito ( número natural ) es inicial, pero la mayoría de los ordinales infinitos no son iniciales. El axioma de elección es equivalente a la afirmación de que todo conjunto puede estar bien ordenado, es decir, que todo cardinal tiene un ordinal inicial. En este caso, es tradicional identificar el número cardinal con su ordinal inicial, y decimos que el ordinal inicial es un cardinal.
El -ésimo ordinal inicial infinito se escribe . Su cardinalidad se escribe (el -ésimo número aleph ). Por ejemplo, la cardinalidad de es , que también es la cardinalidad de , , y (todos son ordinales contables ). Por lo tanto, nos identificamos con , excepto que la notación se usa para escribir cardinales y para escribir ordinales. Esto es importante porque la aritmética sobre cardinales es diferente de la aritmética sobre ordinales , por ejemplo = mientras que > . Además, es el ordinal incontable más pequeño (para ver que existe, considere el conjunto de clases de equivalencia de buenos ordenamientos de los números naturales; cada uno de esos buenos ordenamientos define un ordinal contable y es el tipo de orden de ese conjunto), es el ordinal más pequeño cuya cardinalidad es mayor que , y así sucesivamente, y es el límite de para números naturales (cualquier límite de cardinales es un cardinal, por lo que este límite es de hecho el primer cardinal después de todo el ).
Los ordinales iniciales infinitos son ordinales límite. Usando aritmética ordinal, implica , y 1 ≤ α < ω β implica α · ω β = ω β , y 2 ≤ α < ω β implica α ω β = ω β . Usando la jerarquía de Veblen , β ≠ 0 y α < ω β implican y Γ ω β = ω β . De hecho, se puede ir mucho más allá. Entonces, como ordinal, un ordinal inicial infinito es un tipo de límite extremadamente fuerte.
