Inestabilidad de Saffman-Taylor

Un ejemplo de digitación viscosa en una celda de Hele-Shaw.

La inestabilidad de Saffman-Taylor , también conocida como digitación viscosa , es la formación de patrones en una interfaz morfológicamente inestable entre dos fluidos en un medio poroso, descrita matemáticamente por Philip Saffman y GI Taylor en un artículo de 1958. ^{[1] [2]} Esta situación se presenta con mayor frecuencia durante los procesos de drenaje a través de medios como el suelo. ^[3] Ocurre cuando se inyecta un fluido menos viscoso, desplazando a un fluido más viscoso; en la situación inversa, con el más viscoso desplazando al otro, la interfaz es estable y no se observa inestabilidad. Esencialmente se produce el mismo efecto impulsado por la gravedad (sin inyección) si la interfaz es horizontal y separa dos fluidos de diferentes densidades, estando el más pesado uno encima del otro: esto se conoce como inestabilidad de Rayleigh-Taylor . En la configuración rectangular el sistema evoluciona hasta formar un solo dedo (el dedo de Saffman-Taylor), mientras que en la configuración radial el patrón crece formando dedos mediante sucesivas divisiones de puntas. ^[4]

La mayor parte de la investigación experimental sobre la digitación viscosa se ha realizado en células de Hele-Shaw, que consisten en dos láminas de vidrio paralelas y muy espaciadas que contienen un fluido viscoso. Las dos configuraciones más comunes son la configuración de canal, en la que el fluido menos viscoso se inyecta en un extremo del canal, y la configuración radial, en la que el fluido menos viscoso se inyecta en el centro de la celda. Inestabilidades análogas a la digitación viscosa también pueden autogenerarse en sistemas biológicos. ^[5]

Derivación para una interfaz plana

El caso más simple de inestabilidad surge en una interfaz plana dentro de un medio poroso o célula de Hele-Shaw, y fue tratado por Saffman y Taylor ^[1], pero también anteriormente por otros autores. ^[6] Un fluido de viscosidad es impulsado en la dirección - hacia otro fluido de viscosidad a cierta velocidad . Al denotar la permeabilidad del medio poroso como constante, isotrópica, la ley de Darcy da que los campos de presión no perturbados en los dos fluidos sean donde está la presión en la interfaz plana, trabajando en un marco donde esta interfaz está dada instantáneamente por . Al perturbar esta interfaz (descomponiéndose en modos normales en el plano y tomando ), los campos de presión se vuelven armónicos , lo que, junto con el requisito de que la perturbación decae como , fija y , con las constantes a determinar por la continuidad de la presión. Tras la linealización , la condición de frontera cinemática en la interfaz (que la velocidad del fluido en la dirección debe coincidir con la velocidad de la interfaz del fluido), junto con la ley de Darcy, da y, por lo tanto, eso y . Hacer coincidir los campos de presión en la interfaz da y, por lo tanto , conduce a un crecimiento de la perturbación cuando , es decir, cuando el fluido inyectado es menos viscoso que el fluido ambiental. Hay problemas con este caso básico: a saber, que el modo más inestable tiene un número de onda infinito y crece a un ritmo infinitamente rápido, lo que puede rectificarse mediante la introducción de tensión superficial ^[7] (que proporciona una condición de salto en las presiones a través de la interfaz del fluido). a través de la ecuación de Young-Laplace ), que tiene el efecto de modificar la tasa de crecimiento para ${\displaystyle \mu _{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu _{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle i=1,\,2}$ $${\displaystyle p_{i}^{(0)}=p_{\text{int}}-{\frac {V\mu _{i}}{\Pi }}x,}$$ ${\displaystyle p_{\text{int}}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=\eta _{0}\exp {\left(\mathrm {i} ky+\sigma t\right)}}$ ${\displaystyle x-y}$ ${\displaystyle \left|\eta _{0}\right|\ll 1}$ $${\displaystyle p_{i}=p_{i}^{(0)}+{\tilde {p}}_{i}\left(x\right)\exp {\left(\mathrm {i} ky+\sigma t\right)}.}$$ ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ ${\displaystyle {\tilde {p}}_{1}={\tilde {p}}_{1}e^{kx}}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}_{2}={\tilde {p}}_{2}e^{-kx}}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle -{\frac {\Pi }{\mu _{i}}}\left.{\frac {\partial {\tilde {p}}_{i}}{\partial x}}\right|_{x=0}=\sigma \eta _{0},}$$ ${\displaystyle {\tilde {p}}_{1}=-{\frac {\sigma \eta _{0}\mu _{1}}{\Pi k}}}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}_{2}={\frac {\sigma \eta _{0}\mu _{2}}{\Pi k}}}$ $${\displaystyle -V\mu _{1}-{\frac {\sigma \mu _{1}}{k}}=-V\mu _{2}+{\frac {\sigma \mu _{2}}{k}},}$$ ${\displaystyle \sigma =kV\left(\mu _{2}-\mu _{1}\right)/\left(\mu _{1}+\mu _{2}\right)}$ ${\displaystyle \mu _{2}>\mu _{1}}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \sigma ={\frac {kV\left(\mu _{2}-\mu _{1}\right)-\gamma H_{f}k^{3}}{\mu _{1}+\mu _{2}}},}$$

con tensión superficial y curvatura media . Esto suprime las perturbaciones de longitud de onda pequeña (número de onda alto), y esperaríamos ver inestabilidades con un número de onda cercano a cuyo valor da como resultado el valor máximo de ; en este caso con la tensión superficial, hay un valor máximo único. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle H_{f}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \sigma }$

En geometría radial

La inestabilidad de Saffman-Taylor generalmente se ve en un contexto axisimétrico a diferencia del caso plano simple derivado anteriormente. ^{[8] [9]} Los mecanismos para la inestabilidad siguen siendo los mismos en este caso, y la selección del número de onda más inestable en este caso corresponde a un número determinado de dedos (un número entero).

Ver también

• Inestabilidad de Kelvin-Helmholtz
• ley de darcy

Referencias

1. Saffman, Philip Geoffrey; Taylor, Geoffrey Ingram (24 de junio de 1958). "La penetración de un fluido en un medio poroso o celda de Hele-Shaw que contiene un líquido más viscoso". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Matemáticas y Físicas . 245 (1242): 312–329. Código Bib : 1958RSPSA.245..312S. doi :10.1098/rspa.1958.0085. S2CID  95750900.
2. Homsy, gerente general (1 de enero de 1987). "Digitación viscosa en medios porosos". Revisión Anual de Mecánica de Fluidos . 19 (1): 271–311. Código Bib : 1987AnRFM..19..271H. doi : 10.1146/annurev.fl.19.010187.001415. ISSN  0066-4189.
3. Li, S; et al. (2018). "Dinámica de zonas saturadas atrapadas viscosas en medios porosos parcialmente humedecidos". Transporte en Medios Porosos . 125 (2): 193–210. arXiv : 1802.07387 . doi :10.1007/s11242-018-1113-3. S2CID  53323967.
4. Lajeunesse, E.; Couder, Y. (1 de septiembre de 2000). "Sobre la inestabilidad de los dedos viscosos". Revista de mecánica de fluidos . 419 (1): 125-149. Código Bib : 2000JFM...419..125L. doi :10.1017/S0022112000001324. ISSN  1469-7645. S2CID  121812154.
5. Mather, W.; Mondragón-Palomino, O.; Danino, T.; Apresurado, J.; Tsimring, LS (2010). "Transmisión de inestabilidad en poblaciones de células en crecimiento". Cartas de revisión física . 104 (20): 208101. Código bibliográfico : 2010PhRvL.104t8101M. doi :10.1103/PhysRevLett.104.208101. PMC 2947335 . PMID  20867071. 
6. Colina, S. (1952). "Canalización en columnas empaquetadas". Ciencias de la Ingeniería Química . 1 (6): 247–253. doi :10.1016/0009-2509(52)87017-4. ISSN  0009-2509.
7. Chuoke, RL; van Meurs, P.; van der Poel, C. (1 de diciembre de 1959). "La inestabilidad de los desplazamientos líquido-líquido lentos, inmiscibles y viscosos en medios permeables". Transacciones del AIME . 216 (1): 188-194. doi :10.2118/1141-G. ISSN  0081-1696.
8. Wilson, SD R (1 de junio de 1975). "Una nota sobre la medición de ángulos de contacto dinámicos". Revista de ciencia de interfaces y coloides . 51 (3): 532–534. Código Bib : 1975JCIS...51..532W. doi :10.1016/0021-9797(75)90151-4. ISSN  0021-9797.
9. Paterson, Lincoln (1 de diciembre de 1981). "Digitación radial en una celda de Hele Shaw". Revista de mecánica de fluidos . 113 : 513–529. Código bibliográfico : 1981JFM...113..513P. doi :10.1017/S0022112081003613. ISSN  1469-7645. S2CID  122222282.