elipsoide índice

En óptica cristalina , el elipsoide índice (también conocido como indicatriz óptica ^[1] o, a veces, como elipsoide dieléctrico ^[2] ) es una construcción geométrica que representa de manera concisa los índices de refracción y las polarizaciones asociadas de la luz, como funciones de la orientación de la frente de onda , en un cristal doblemente refractivo (siempre que el cristal no presente rotación óptica ). Cuando este elipsoide es cortado por su centro por un plano paralelo al frente de onda, la intersección resultante (llamada sección central o sección diametral ) es una elipse cuyos semiejes mayor y menor tienen longitudes iguales a los dos índices de refracción para esa orientación del frente de onda. , y tienen las direcciones de las polarizaciones respectivas expresadas por el vector de desplazamiento eléctrico D . ^[3] Los semiejes principales del elipsoide índice se denominan índices de refracción principales . ^[4]

Del procedimiento de sección se deduce que cada semieje principal del elipsoide generalmente no es el índice de refracción para la propagación en la dirección de ese semieje, sino más bien el índice de refracción para la propagación perpendicular a ese semieje, con el vector D paralelo a ese semieje (y paralelo al frente de onda). Por tanto, la dirección de propagación (normal al frente de onda) a la que se aplica cada índice de refracción principal está en el plano perpendicular al semieje principal asociado.

Terminología

El elipsoide índice no debe confundirse con la superficie índice , cuyo vector de radio (desde el origen) en cualquier dirección es de hecho el índice de refracción para la propagación en esa dirección; para un medio birrefringente, la superficie índice es la superficie de dos láminas cuyos dos vectores de radio en cualquier dirección tienen longitudes iguales a los semiejes mayor y menor de la sección diametral del elipsoide índice por un plano normal a esa dirección.

Si denotamos los semiejes principales del elipsoide índice y elegimos un sistema de coordenadas cartesiano en el que estos semiejes están respectivamente en las direcciones , y , la ecuación del elipsoide índice es ${\displaystyle n_{a},n_{b},n_{c}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Si el elipsoide índice es triaxial (lo que significa que sus semiejes principales son todos desiguales), hay dos planos de corte para los cuales la sección diametral se reduce a un círculo. Para frentes de onda paralelos a estos planos, todas las polarizaciones están permitidas y tienen el mismo índice de refracción y, por tanto, la misma velocidad de onda. Las direcciones normales a estos dos planos, es decir, las direcciones de una única velocidad de onda para todas las polarizaciones, se denominan ejes binormales ^[5] o ejes ópticos , ^[6] y, por tanto, se dice que el medio es biaxial . ^{[Nota 1]} Por lo tanto, paradójicamente, si el elipsoide índice de un medio es triaxial , el medio en sí se llama biaxial .

Si dos de los semiejes principales del elipsoide índice son iguales (en cuyo caso su longitud común se llama índice ordinario , y la longitud del tercero, índice extraordinario ), el elipsoide se reduce a un esferoide (elipsoide de revolución), y los dos semiejes ópticos Los ejes se fusionan, por lo que se dice que el medio es uniaxial . ^{[Nota 2] A medida que el elipsoide índice se reduce a un esferoide, la} superficie índice de dos láminas construida a partir de allí se reduce a una esfera y un esferoide que se tocan en extremos opuestos de su eje común, que es paralelo al del elipsoide índice; ^[7] pero los ejes principales del elipsoide de índice esferoidal y la lámina esferoidal de la superficie de índice están intercambiados. En el conocido caso de la calcita , por ejemplo, el elipsoide índice es un esferoide achatado , de modo que una lámina de la superficie índice es una esfera que toca ese esferoide achatado en el ecuador, mientras que la otra lámina de la superficie índice es un alargado. esferoide que toca la esfera en los polos, con un radio ecuatorial (índice extraordinario) igual al radio polar del elipsoide de índice esferoidal achatado. ^{[Nota 3]}

Si los tres semiejes principales del elipsoide índice son iguales, se reduce a una esfera: todas las secciones diametrales del elipsoide índice son circulares, por lo que se permiten todas las polarizaciones para todas las direcciones de propagación, con el mismo índice de refracción para todas las direcciones, y la superficie índice se fusiona con el elipsoide índice (esférico); en resumen, el medio es ópticamente isotrópico . Los cristales cúbicos exhiben esta propiedad ^[8], así como los medios transparentes amorfos como el vidrio y el agua. ^[9]

Historia

Se puede definir una superficie análoga al elipsoide índice para la velocidad de la onda (normal al frente de onda) en lugar del índice de refracción. Sea n la longitud del vector de radio desde el origen hasta un punto general en el elipsoide índice. Luego, al dividir la ecuación ( 1 ) entre n ² se obtiene

donde , y son los cosenos directores del radio vector. Pero n es también el índice de refracción de un frente de onda paralelo a una sección diametral cuyo radio vector es el semieje mayor o menor. Si ese frente de onda tiene velocidad , tenemos , ¿dónde está la velocidad de la luz en el vacío? ^{[Nota 4]} Para los semiejes principales del elipsoide índice, para los cuales n toma los valores, tomemos los valores a,b,c , respectivamente, de modo que y . Haciendo estas sustituciones en ( 2 ) y cancelando el factor común , obtenemos ${\displaystyle \cos \xi }$ ${\displaystyle \cos \eta }$ ${\displaystyle \cos \zeta }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n=c_{0}/v}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle n_{a},n_{b},n_{c},}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n_{a}=c_{0}/a,}$  ${\displaystyle n_{b}=c_{0}/b,}$ ${\displaystyle n_{c}=c_{0}/c}$ ${\displaystyle c_{0}^{2}}$

Esta ecuación fue deducida por Augustin-Jean Fresnel en enero de 1822. ^[10] Si es la longitud del radio vector, la ecuación describe una superficie con la propiedad de que los semiejes mayor y menor de cualquier sección diametral tienen longitudes iguales a la longitud de onda. velocidades normales de los frentes de onda paralelos a esa sección, y las direcciones de lo que Fresnel llamó las "vibraciones" (que ahora reconocemos como oscilaciones de D ). ${\displaystyle v}$

Mientras que la superficie descrita por ( 1 ) está en el espacio índice (en el que las coordenadas son números adimensionales), la superficie descrita por ( 3 ) está en el espacio de velocidades (en el que las coordenadas tienen las unidades de velocidad). Mientras que la primera superficie es de segundo grado, la segunda es de cuarto grado, como puede comprobarse redefiniendo como componentes de la velocidad y del putt , etc.; por lo tanto, esta última superficie ( 3 ) no es generalmente un elipsoide, sino otro tipo de ovaloide . Y así como el elipsoide índice genera la superficie índice, la superficie ( 3 ), por el mismo proceso, genera lo que llamamos superficie de velocidad normal . ^{[Nota 5]} Por lo tanto, la superficie ( 3 ) podría llamarse razonablemente "ovaloide de velocidad normal". Fresnel, sin embargo, la llamó superficie de elasticidad , porque la derivó suponiendo que las ondas de luz eran ondas elásticas transversales, que el medio tenía tres direcciones perpendiculares en las que un desplazamiento de una molécula producía una fuerza restauradora en exactamente la dirección opuesta, y que la fuerza restauradora debida a una suma vectorial de desplazamientos era la suma vectorial de las fuerzas restauradoras debidas a los desplazamientos separados. ^[10] ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle \cos \xi =x/v}$

Fresnel pronto se dio cuenta de que el elipsoide construido sobre los mismos semiejes principales que la superficie de elasticidad tiene la misma relación con las velocidades de los rayos que la superficie de elasticidad tiene con las velocidades normales de onda. ^{[11] [12]} El elipsoide de Fresnel ahora se llama elipsoide de rayos . Así, en términos modernos, el elipsoide del rayo genera las velocidades de los rayos a medida que el elipsoide índice genera los índices de refracción. Los semiejes mayor y menor de la sección diametral del elipsoide radial se encuentran en las direcciones permitidas del vector de campo eléctrico E. ^[13]

El término superficie índice fue acuñado por James MacCullagh en 1837. ^[14] En un artículo anterior, leído en 1833, MacCullagh había llamado a esta superficie la "superficie de refracción" y había demostrado que es generada por los semiejes mayor y menor de una superficie diametral. sección de un elipsoide que tiene semiejes principales inversamente proporcionales a los del elipsoide de Fresnel, ^[15] y que MacCullagh más tarde denominó "elipsoide de índices". ^[16] En 1891, Lazarus Fletcher llamó a este elipsoide indicatriz óptica . ^[17]

Interpretación electromagnética

Deducir el elipsoide índice y su propiedad generadora a partir de la teoría electromagnética no es trivial. ^{[18] Sin embargo,} dado el elipsoide índice, podemos relacionar fácilmente sus parámetros con las propiedades electromagnéticas del medio.

La velocidad de la luz en el vacío es donde y son respectivamente la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica del vacío. Para un medio material transparente, todavía podemos suponer razonablemente que la permeabilidad magnética es (especialmente a frecuencias ópticas), ^[19] pero debe ser reemplazada por dónde está la permitividad relativa (también llamada constante dieléctrica ), de modo que la velocidad de la onda se convierta en Dividiendo por , obtenemos el índice de refracción: Esta derivación lo trata como un escalar, que es válido en un medio isotrópico. En un medio anisotrópico , el resultado es válido sólo para aquellas combinaciones de dirección de propagación y polarización que evitan la anisotropía, es decir, para aquellos casos en los que el vector de desplazamiento eléctrico D es paralelo al vector de campo eléctrico E , como en un medio isotrópico. Dada la simetría del elipsoide índice, estos deben ser los casos en los que D está en la dirección de uno de los ejes. Entonces, denotando las permitividades relativas en las direcciones , , y por (las llamadas constantes dieléctricas principales ), y recordando que denotamos los índices de refracción para estas direcciones de D , debemos tener indicado que los semiejes del elipsoide índice son el cuadrado raíces de las principales constantes dieléctricas. ^[20] Sustituyendo estas expresiones en ( 1 ), obtenemos la ecuación del elipsoide índice en la forma alternativa ^[21] lo que explica por qué también se le llama elipsoide dieléctrico . $${\displaystyle c_{0}=1{\big /}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}\,,}$$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle \epsilon _{r}\epsilon _{0}\;\!,}$ ${\displaystyle \epsilon _{r}}$ $${\displaystyle v=1{\big /}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{r}\epsilon _{0}}}\,.}$$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{r}}}\,.}$$ ${\displaystyle \epsilon _{r}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \epsilon _{x}\;\!,\epsilon _{y},\epsilon _{z}}$ ${\displaystyle n_{a},n_{b},n_{c}}$ $${\displaystyle n_{a}={\sqrt {\epsilon _{x}}}~;~~n_{b}={\sqrt {\epsilon _{y}}}~;~~n_{c}={\sqrt {\epsilon _{z}}}~,}$$ $${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\epsilon _{x}}}+{\frac {y^{2}}{\epsilon _{y}}}+{\frac {z^{2}}{\epsilon _{z}}}=1\,,}$$

Ver también

• Birrefringencia
• Índice de refracción complejo
• Óptica de cristal
• D-DIA
• Descripciones matemáticas de la opacidad.

Notas

1. O, en la literatura más antigua, biaxal .
2. O, en la literatura más antigua, uniaxal .
3. Yariv y Yeh (1984, págs. 86-7) dan un ejemplo del tipo contrario, en el que la superficie índice está prolata (Figura 4.4) y la superficie índice asociada (a la que llaman "superficie normal") comprende una esfera y un esferoide achatado tocándose en los polos. En ambos ejemplos, las proporciones del frente de onda extraordinario que se expande desde una fuente puntual en el cristal son inversas a las de la superficie índice, porque el índice de refracción es inversamente proporcional a la velocidad normal del frente de onda.
4. O a veces es conveniente utilizar aire en lugar de vacío como medio de referencia; cf. Zernike y pleno invierno, 1973, pág. 2.
5. Es decir, la superficie cuyo vector de radio en cualquier dirección es la velocidad normal de la onda en esa dirección. Jenkins y White (1976, págs. 555-6) la llaman superficie de velocidad normal . Born & Wolf (2002, p. 803) la llaman superficie normal . Pero Yariv y Yeh (1984) utilizan el término superficie normal para la superficie índice (p. 87) o la superficie correspondiente para el vector de onda k (p. 73).

Referencias

1. Nacido y lobo, 2002, pág. 799; Yariv y Yeh, 1984, pág. 77.
2. Jenkins y White, 1976, págs. 560–61.
3. Born & Wolf, 2002, págs. 799–800; Landau y Lifshitz, 1960, pág. 320; Yariv y Yeh, 1984, págs. 77–8.
4. Zernike y pleno invierno, 1973, pág. 11.
5. Landau y Lifshitz, 1960, pág. 326.
6. Nacido y lobo, 2002, pág. 801; Jenkins y White, 1976, págs. 562; Yariv y Yeh, 1984, pág. 73.
7. Cfr. Yariv y Yeh, 1984, págs.82, 84.
8. Landau y Lifshitz, 1960, pág. 321; Yariv y Yeh, 1984, págs. 82-3; Zernike y pleno invierno, 1973, pág. 12.
9. Nacido y lobo, 2002, pág. 805.
10. A. Fresnel, "Extrait du Supplément au Mémoire sur la double réfraction" (¿leído el 13 de enero de 1822?), Impreso en Fresnel, 1868, págs. traducido como " Extraído del Suplemento de la Memoria sobre la doble refracción", Zenodo :  5886692 , 2022.
11. A. Fresnel, "Extrait d'un Mémoire sur la double réfraction",  Annales de Chimie et de Physique , Ser. 2, vol. 28, págs. 263–79 (marzo de 1825); reimpreso como "Extrait du second Mémoire sur la double réfraction" en Fresnel, 1868, págs. 465–78; traducido como " Extraído de una [segunda] memoria sobre la doble refracción", Zenodo :  5442206 , 2022. (Una versión anterior de este artículo apareció en Bulletin des Sciences par la Société Philomatique de Paris , vol. 9, págs. 63–71, mayo de 1822.)
12. Fresnel, 1868, págs. 395–6 (escrito a más tardar el 31 de marzo de 1822; véase la pág. 442).
13. Nacido y lobo, 2002, pág. 802.
14. J. MacCullagh, "Sobre las leyes de la reflexión y refracción cristalinas" (leído el 9 de enero de 1837), Transactions of the Royal Irish Academy , vol. 18 (1839), págs. 31–74, JSTOR  30078974, en pág. 38.
15. J. MacCullagh, "Proposiciones geométricas aplicadas a la teoría ondulatoria de la luz" (leída el 24 de junio de 1833), Transactions of the Royal Irish Academy , vol. 17 (nominalmente para 1831), págs. 241–63, JSTOR  30078792, en pág. 260.
16. Actas de la Real Academia Irlandesa , núm. 49 (13 de enero de 1845), págs. 49–51.
17. L. Fletcher, "La indicatriz óptica y la transmisión de luz en cristales" (leído el 16 de junio de 1891), Revista Mineralógica y Revista de la Sociedad Mineralógica , vol. 9, págs. 278–388 (diciembre de 1891); reimpreso Londres: Oxford University Press Warehouse, 1892; revisado por "RTG" en Nature , vol. 46, núm. 1199 (20 de octubre de 1892), págs.
18. Véase, por ejemplo, Born & Wolf, 2002, págs. 790–801; Jenkins y White, 1976, págs. 559–62; Landau y Lifshitz, 1960, págs. 313–20; Yariv y Yeh, 1984, págs. 69–79; Zernike y pleno invierno, 1973, págs. 6-12. De estos, sólo Yariv y Yeh utilizan unidades SI ; los demás utilizan las unidades gaussianas menos conocidas , que cambian la forma de algunas ecuaciones.
19. Landau y Lifshitz, 1960, págs. 251–3 (§60). Los autores utilizan unidades gaussianas , en las que la permeabilidad magnética del vacío es 1.
20. Nacido y lobo, 2002, pág. 799; Jenkins y White, 1976, pág. 560.
21. Nacido y lobo, 2002, pág. 799; Jenkins y White, 1976, pág. 560; Landau y Lifshitz, 1960, pág. 320.

Bibliografía

• M. Born y E. Wolf, 2002, Principios de óptica , 7ª ed., Cambridge University Press, 1999 (reimpreso con correcciones, 2002), ISBN 978-0-521-64222-4 . 
• A. Fresnel (ed. H. de Senarmont, E. Verdet y L. Fresnel), 1868, Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel , París: Imprimerie Impériale (3 vols., 1866-1870), vol. 2 (1868).
• FA Jenkins y HE White, 1976, Fundamentos de la óptica , 4.ª ed., Nueva York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-032330-5 . 
• LD Landau y EM Lifshitz (tr. JB Sykes & JS Bell), 1960, Electrodinámica de medios continuos (vol. 8 del curso de física teórica ), Londres: Pergamon Press.
• A. Yariv y P. Yeh, 1984, Ondas ópticas en cristales: propagación y control de la radiación láser , Nueva York: Wiley, ISBN 0-471-09142-1 . 
• F. Zernike y JE Midwinter, 1973, Applied Nonlinear Optics , Nueva York: Wiley (reimpreso en Mineola, Nueva York: Dover, 2006).