Forma indeterminada

Expresión en análisis matemático

En cálculo , normalmente es posible calcular el límite de la suma, diferencia, producto, cociente o potencia de dos funciones tomando la combinación correspondiente de los límites separados de cada función respectiva. Por ejemplo,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to c}{\bigl (}f(x)+g(x){\bigr )}&=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x),\\[3mu]\lim _{x\to c}{\bigl (}f(x)g(x){\bigr )}&=\lim _{x\to c}f(x)\cdot \lim _{x\to c}g(x),\end{aligned}}}$$

y lo mismo ocurre con otras operaciones aritméticas; a esto a veces se le llama teorema algebraico del límite . Sin embargo, ciertas combinaciones de valores límite particulares no se pueden calcular de esta manera, y conocer el límite de cada función por separado no es suficiente para determinar el límite de la combinación. En estas situaciones particulares, se dice que el límite adopta una forma indeterminada , descrita por una de las expresiones informales

$${\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~\infty -\infty ,~0^{0},~1^{\infty },{\text{ or }}\infty ^{0},}$$

donde cada expresión representa el límite de una función construida por una combinación aritmética de dos funciones cuyos límites tienden respectivamente a ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0,}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1,}$ o ⁠ ⁠ ${\displaystyle \infty }$ como se indica. ^[1]

Un límite que adopte una de estas formas indeterminadas podría tender a cero, podría tender a cualquier valor finito, podría tender al infinito o podría divergir, dependiendo de las funciones específicas involucradas. Un límite que tiende inequívocamente al infinito, por ejemplo, no se considera indeterminado. ^[2] El término fue introducido originalmente por Moigno, alumno de Cauchy , a mediados del siglo XIX. ${\textstyle \lim _{x\to 0}1/x^{2}=\infty ,}$

El ejemplo más común de una forma indeterminada es el cociente de dos funciones cada una de las cuales converge a cero. Esta forma indeterminada se denota por . Por ejemplo, cuando se aproxima a los cocientes , , y tiende a , , y respectivamente. En cada caso, si se sustituyen los límites del numerador y el denominador, la expresión resultante es , que es indeterminada. En este sentido, puede tomar los valores , , o , mediante la elección apropiada de funciones para poner en el numerador y el denominador. De hecho, se puede encontrar un par de funciones para las cuales el límite es cualquier valor dado particular. Aún más sorprendente, quizás, el cociente de las dos funciones puede de hecho divergir, y no simplemente divergir hasta el infinito. Por ejemplo, . ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle x/x^{3}}$ ${\displaystyle x/x}$ ${\displaystyle x^{2}/x}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle x\sin(1/x)/x}$

Por lo tanto, el hecho de que dos funciones y converjan a medida que se acercan a un punto límite es insuficiente para determinar el límite. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.}$

Una expresión que surge por otras vías que no sean la aplicación del teorema del límite algebraico puede tener la misma forma de una forma indeterminada. Sin embargo, no es apropiado llamar a una expresión "forma indeterminada" si la expresión se realiza fuera del contexto de la determinación de límites. Un ejemplo es la expresión . Si esta expresión se deja sin definir o se define como igual a , depende del campo de aplicación y puede variar entre autores. Para obtener más información, consulte el artículo Cero a la potencia de cero . Tenga en cuenta que y otras expresiones que involucran infinito no son formas indeterminadas. ${\displaystyle 0^{0}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0^{\infty }}$

Algunos ejemplos y no ejemplos

Forma indeterminada 0/0

• 
  Figura 1: y = ⁠incógnita/incógnita⁠
• 
  Figura 2: y = ⁠x2^​/incógnita⁠
• 
  Figura 3: y = ⁠pecado  x/incógnita⁠
• 
  Figura 4: y = ⁠x − 49/√ x − 7⁠ (para x = 49)
• 
  Figura 5: y = ⁠una x/incógnita⁠ donde a = 2
• 
  Figura 6: y = ⁠incógnita/x3^​⁠

La forma indeterminada es particularmente común en cálculo , porque a menudo surge en la evaluación de derivadas utilizando su definición en términos de límite. ${\displaystyle 0/0}$

Como se mencionó anteriormente,

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad }$(ver figura 1)

mientras

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad }$(ver figura 2)

Esto es suficiente para demostrar que es una forma indeterminada. Otros ejemplos con esta forma indeterminada incluyen ${\displaystyle 0/0}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad }$(ver figura 3)

y

${\displaystyle \lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad }$(ver figura 4)

La sustitución directa del número que se aproxima en cualquiera de estas expresiones muestra que estos son ejemplos que corresponden a la forma indeterminada , pero estos límites pueden asumir muchos valores diferentes. Cualquier valor deseado se puede obtener para esta forma indeterminada de la siguiente manera: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {ax}{x}}=a.\qquad }$(ver figura 5)

El valor también se puede obtener (en el sentido de divergencia al infinito): ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad }$(ver figura 6)

Forma indeterminada 00

Los siguientes límites ilustran que la expresión es una forma indeterminada: ${\displaystyle 0^{0}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0^{+}}x^{0}&=1,\\\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}&=0.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, en general, saber que y no es suficiente para evaluar el límite ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0}$ ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0}$ $${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}.}$$

Si las funciones y son analíticas en , y es positivo para suficientemente cercano (pero no igual) a , entonces el límite de será . ^[3] De lo contrario, utilice la transformación en la tabla a continuación para evaluar el límite. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$ ${\displaystyle 1}$

Expresiones que no son formas indeterminadas

La expresión no suele considerarse como una forma indeterminada, porque si existe el límite de entonces no hay ambigüedad en cuanto a su valor, ya que siempre diverge. En concreto, si se aproxima a y se aproxima a , entonces y pueden elegirse de modo que: ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

1. ${\displaystyle f/g}$aproches ${\displaystyle +\infty }$
2. ${\displaystyle f/g}$aproches ${\displaystyle -\infty }$
3. El límite no existe.

En cada caso el valor absoluto tiende a , y por lo tanto el cociente debe divergir, en el sentido de los números reales extendidos (en el marco de la línea real proyectivamente extendida , el límite es el infinito sin signo en los tres casos ^[4] ). De manera similar, cualquier expresión de la forma con (incluyendo y ) no es una forma indeterminada, ya que un cociente que dé lugar a tal expresión siempre divergirá. ${\displaystyle |f/g|}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle a/0}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle a=+\infty }$ ${\displaystyle a=-\infty }$

La expresión no es una forma indeterminada. La expresión obtenida al considerar da el límite siempre que permanezca no negativo cuando tiende a . La expresión es equivalente de manera similar a ; si cuando tiende a , el límite resulta ser . ${\displaystyle 0^{\infty }}$ ${\displaystyle 0^{+\infty }}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0^{-\infty }}$ ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle f(x)>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle +\infty }$

Para ver por qué, sea donde y Al tomar el logaritmo natural de ambos lados y usar obtenemos que lo que significa que ${\displaystyle L=\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)},}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=0,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}{g(x)}=\infty .}$ ${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {f(x)}=-\infty ,}$ ${\displaystyle \ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,}$ ${\displaystyle L={e}^{-\infty }=0.}$

Evaluación de formas indeterminadas

El adjetivo indeterminado no implica que el límite no exista, como muestran muchos de los ejemplos anteriores. En muchos casos, se pueden utilizar métodos de eliminación algebraica, de regla de L'Hôpital u otros para manipular la expresión de modo que se pueda evaluar el límite.

Infinitesimal equivalente

Cuando dos variables y convergen a cero en el mismo punto límite y , se denominan infinitesimales equivalentes (equiv. ). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1}$ ${\displaystyle \alpha \sim \beta }$

Además, si las variables y son tales que y , entonces: ${\displaystyle \alpha '}$ ${\displaystyle \beta '}$ ${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$ ${\displaystyle \beta \sim \beta '}$

${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$

He aquí una breve prueba:

Supongamos que hay dos infinitesimales equivalentes y . ${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$ ${\displaystyle \beta \sim \beta '}$

$${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta \beta '\alpha '}{\beta '\alpha '\alpha }}=\lim {\frac {\beta }{\beta '}}\lim {\frac {\alpha '}{\alpha }}\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$$

Para la evaluación de la forma indeterminada , se pueden utilizar los siguientes hechos sobre infinitesimales equivalentes (por ejemplo, si x se acerca a cero): ^[5] ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle x\sim \sin x}$

${\displaystyle x\sim \sin x,}$

${\displaystyle x\sim \arcsin x,}$

${\displaystyle x\sim \sinh x,}$

${\displaystyle x\sim \tan x,}$

${\displaystyle x\sim \arctan x,}$

${\displaystyle x\sim \ln(1+x),}$

${\displaystyle 1-\cos x\sim {\frac {x^{2}}{2}},}$

${\displaystyle \cosh x-1\sim {\frac {x^{2}}{2}},}$

${\displaystyle a^{x}-1\sim x\ln a,}$

${\displaystyle e^{x}-1\sim x,}$

${\displaystyle (1+x)^{a}-1\sim ax.}$

Por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}}$$

En la segunda igualdad, se utiliza "donde" a medida que y se acerca a 0, y "donde" se utiliza en la cuarta igualdad, y se utiliza en la quinta igualdad. ${\displaystyle e^{y}-1\sim y}$ ${\displaystyle y=x\ln {2+\cos x \over 3}}$ ${\displaystyle y\sim \ln {(1+y)}}$ ${\displaystyle y={{\cos x-1} \over 3}}$ ${\displaystyle 1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}}$

La regla del Hospital

La regla de L'Hôpital es un método general para evaluar las formas indeterminadas y . Esta regla establece que (en condiciones apropiadas) ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle \infty /\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},}$

donde y son las derivadas de y . (Tenga en cuenta que esta regla no se aplica a las expresiones , , etc., ya que estas expresiones no son formas indeterminadas). Estas derivadas permitirán realizar una simplificación algebraica y, eventualmente, evaluar el límite. ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \infty /0}$ ${\displaystyle 1/0}$

La regla de L'Hôpital también se puede aplicar a otras formas indeterminadas, utilizando primero una transformación algebraica adecuada. Por ejemplo, para evaluar la forma 0 ⁰ :

${\displaystyle \ln \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}.}$

El lado derecho tiene la forma , por lo que se le aplica la regla de L'Hôpital. Nótese que esta ecuación es válida (siempre que el lado derecho esté definido) porque el logaritmo natural (ln) es una función continua ; es irrelevante cuán bien se comporte y puede (o no) serlo siempre que sea asintóticamente positivo. (el dominio de los logaritmos es el conjunto de todos los números reales positivos). ${\displaystyle \infty /\infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

Aunque la regla de L'Hôpital se aplica tanto a como a , una de estas formas puede ser más útil que la otra en un caso particular (debido a la posibilidad de simplificación algebraica posterior). Se puede cambiar entre estas formas transformando a . ${\displaystyle 0/0}$ ${\displaystyle \infty /\infty }$ ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle (1/g)/(1/f)}$

Lista de formas indeterminadas

La siguiente tabla enumera las formas indeterminadas más comunes y las transformaciones para aplicar la regla de L'Hôpital.

Véase también

• Definido e indefinido
• División por cero
• Recta de números reales extendida
• Ecuación indeterminada
• Sistema indeterminado
• Indeterminado (variable)
• La regla del Hospital

Referencias

Citas

1. Varberg, Purcell y Rigdon (2007), págs. 423, 429, 430, 431, 432.
2. Weisstein, Eric W. "Indeterminate". mathworld.wolfram.com . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
3. Louis M. Rotando; Henry Korn (enero de 1977). "La forma indeterminada 0 ⁰ ". Revista de Matemáticas . 50 (1): 41–42. doi :10.2307/2689754. JSTOR  2689754.
4. "Indefinido vs. indeterminado en matemáticas". www.cut-the-knot.org . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
5. "Tabla de infinitesimales equivalentes" (PDF) . Vaxa Software .

Bibliografías

• Varberg, Dale E.; Purcell, Edwin J.; Rigdon, Steven E. (2007). Cálculo (novena edición). Pearson Prentice Hall . ISBN 978-0131469686.