Dilatación del tiempo

Diferencia de tiempo medida según lo explica la teoría de la relatividad

La dilatación del tiempo es la diferencia en el tiempo transcurrido medido por dos relojes, ya sea debido a una velocidad relativa entre ellos ( relatividad especial ), o a una diferencia en el potencial gravitacional entre sus ubicaciones ( relatividad general ). Cuando no se especifica, la "dilatación del tiempo" generalmente se refiere al efecto debido a la velocidad.

Después de compensar los diferentes retrasos de la señal resultantes de la distancia cambiante entre un observador y un reloj en movimiento (es decir, efecto Doppler ), el observador medirá el reloj en movimiento como si avanzara más lento que un reloj que está en reposo en el propio marco de referencia del observador . Además, un reloj que está cerca de un cuerpo masivo (y que, por tanto, tiene un potencial gravitacional más bajo) registrará menos tiempo transcurrido que un reloj situado más lejos de dicho cuerpo masivo (y que tiene un potencial gravitacional más alto).

Estas predicciones de la teoría de la relatividad han sido confirmadas repetidamente por experimentos y son de interés práctico, por ejemplo en el funcionamiento de sistemas de navegación por satélite como GPS y Galileo . ^[1]

Historia

Varios autores predijeron la dilatación del tiempo por el factor de Lorentz a principios del siglo XX. ^{[2] [3]} Joseph Larmor (1897) escribió que, al menos para aquellos que orbitan alrededor de un núcleo, los electrones individuales describen partes correspondientes de sus órbitas en tiempos más cortos para el sistema [resto] en la proporción: . ^[4] Emil Cohn (1904) relacionó específicamente esta fórmula con el ritmo de los relojes. ^[5] En el contexto de la relatividad especial, Albert Einstein (1905) demostró que este efecto se refiere a la naturaleza misma del tiempo, y también fue el primero en señalar su reciprocidad o simetría. ^[6] Posteriormente, Hermann Minkowski (1907) introdujo el concepto de tiempo propio que aclaró aún más el significado de dilatación del tiempo. ^[7] ${\textstyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Dilatación del tiempo causada por una velocidad relativa.

Desde el marco de referencia local del reloj azul, el reloj rojo, al estar en movimiento, se percibe como un tic-tac más lento. ^[8]

La relatividad especial indica que, para un observador en un marco de referencia inercial , se medirá que un reloj que se mueve con respecto a él marcará más lento que un reloj que está en reposo en su marco de referencia. Este caso a veces se denomina dilatación del tiempo relativista especial. Cuanto más rápida es la velocidad relativa , mayor es la dilatación del tiempo entre uno y otro, y el tiempo se ralentiza hasta detenerse a medida que uno se acerca a la velocidad de la luz (299,792,458 m/s).

En teoría, la dilatación del tiempo haría posible que los pasajeros de un vehículo en rápido movimiento avanzaran más hacia el futuro en un corto período de su propio tiempo. A velocidades suficientemente altas, el efecto es espectacular. Por ejemplo, un año de viaje podría corresponder a diez años en la Tierra. De hecho, una aceleración constante de 1  g permitiría a los humanos viajar a través de todo el Universo conocido en una vida humana. ^[9]

Sin embargo, dado que la tecnología actual limita gravemente la velocidad de los viajes espaciales, las diferencias que se experimentan en la práctica son minúsculas: después de seis meses en la Estación Espacial Internacional (ISS), orbitando la Tierra a una velocidad de unos 7.700 m/s, un astronauta habría envejecido aproximadamente 0,005 segundos menos que los de la Tierra. ^[10] Los cosmonautas Sergei Krikalev y Sergei Avdeyev experimentaron una dilatación del tiempo de aproximadamente 20 milisegundos en comparación con el tiempo transcurrido en la Tierra. ^{[11] [12]}

inferencia simple

Izquierda : El observador en reposo mide el tiempo 2 L / c entre eventos co-locales de generación de señal luminosa en A y llegada a A.
Derecha : Eventos según un observador que se mueve hacia la izquierda de la configuración: espejo inferior A cuando la señal se genera en tiempo t'= 0, espejo superior B cuando la señal se refleja en el momento t'=D/c , espejo inferior A cuando la señal regresa en el momento t'=2D/c

La dilatación del tiempo se puede inferir de la constancia observada de la velocidad de la luz en todos los sistemas de referencia dictados por el segundo postulado de la relatividad especial . Esta constancia de la velocidad de la luz significa que, contrariamente a la intuición, las velocidades de los objetos materiales y de la luz no son aditivas. No es posible hacer que la velocidad de la luz parezca mayor acercándose o alejándose de la fuente de luz. ^{[13] [14] [15] [16]}

Consideremos entonces un simple reloj vertical que consta de dos espejos A y B , entre los cuales rebota un pulso de luz. La separación de los espejos es L y el reloj marca una vez cada vez que el pulso de luz incide en el espejo A.

En el cuadro en el que el reloj está en reposo (ver parte izquierda del diagrama), el pulso de luz traza un camino de longitud 2 L y el período de tiempo entre los tictac del reloj es igual a 2 L dividido por la velocidad de luz c : ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \Delta t={\frac {2L}{c}}}$

Desde el marco de referencia de un observador en movimiento que viaja a la velocidad v en relación con el marco de reposo del reloj (parte derecha del diagrama), se ve que el pulso de luz traza una trayectoria más larga y en ángulo 2 D . Mantener constante la velocidad de la luz para todos los observadores inerciales requiere un alargamiento (es decir, una dilatación) del período de tiempo entre los tictac de este reloj desde la perspectiva del observador en movimiento. Es decir, medido en un cuadro que se mueve con respecto al reloj local, este reloj correrá (es decir, correrá) más lentamente, ya que la tasa de ticks es igual a uno durante el período de tiempo entre ticks 1/ . ${\displaystyle \Delta t'}$ ${\displaystyle \Delta t'}$

La aplicación directa del teorema de Pitágoras conduce a la conocida predicción de la relatividad especial:

El tiempo total que tarda el pulso de luz en recorrer su trayectoria viene dado por:

${\displaystyle \Delta t'={\frac {2D}{c}}}$

La longitud del medio camino se puede calcular en función de cantidades conocidas como:

${\displaystyle D={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}v\Delta t'\right)^{2}+L^{2}}}}$

La eliminación de las variables D y L de estas tres ecuaciones da como resultado:

Ecuación de dilatación del tiempo

${\displaystyle \Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\gamma }{\Delta t}}$

que expresa el hecho de que el período del reloj del observador en movimiento es más largo que el período en el marco del reloj mismo. El factor gamma de Lorentz ( γ ) se define como ^[17] ${\displaystyle \Delta t'}$ ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Debido a que todos los relojes que tienen un período común en el marco de reposo deben tener un período común cuando se observan desde el marco en movimiento, todos los demás relojes (mecánicos, electrónicos, ópticos (como una versión horizontal idéntica del reloj en el ejemplo)) deben exhibir la misma dilatación del tiempo dependiente de la velocidad. ^[18]

Reciprocidad

Dilatación transversal del tiempo. Los puntos azules representan un pulso de luz. Cada par de puntos con luz "rebotando" entre ellos es un reloj. En el marco de cada grupo de relojes, se mide que el otro grupo marca más lentamente, porque el pulso de luz del reloj en movimiento tiene que recorrer una distancia mayor que el pulso de luz del reloj estacionario. Esto es así, aunque los relojes sean idénticos y su movimiento relativo sea perfectamente recíproco.

Dado un cierto marco de referencia, y el observador "estacionario" descrito anteriormente, si un segundo observador acompañara al reloj "en movimiento", cada uno de los observadores percibiría que el reloj del otro avanza a un ritmo más lento que su propio reloj local, debido a ambos perciben que el otro es el que está en movimiento en relación con su propio marco de referencia estacionario.

El sentido común dictaría que, si el paso del tiempo se ha ralentizado para un objeto en movimiento, dicho objeto observaría que el tiempo del mundo exterior se acelera correspondientemente. Contraintuitivamente, la relatividad especial predice lo contrario. Cuando dos observadores están en movimiento entre sí, cada uno medirá la desaceleración del reloj del otro, de acuerdo con su movimiento en relación con el marco de referencia del observador.

El tiempo UV de un reloj en S es más corto en comparación con Ux′ en S′, y el tiempo UW de un reloj en S′ es más corto en comparación con Ux en S

Si bien esto parece contradictorio, ocurre una rareza similar en la vida cotidiana. Si dos personas A y B se observan desde lejos, B le parecerá pequeño a A, pero al mismo tiempo, A le parecerá pequeño a B. Conociendo los efectos de la perspectiva , no hay contradicción ni paradoja en esta situación. . ^[19]

La reciprocidad del fenómeno conduce también a la llamada paradoja de los gemelos , donde se compara el envejecimiento de los gemelos, uno que permanece en la Tierra y el otro que emprende un viaje espacial, y donde la reciprocidad sugiere que ambas personas deberían tener la misma edad cuando reunir. Por el contrario, al final del viaje de ida y vuelta, el gemelo que viaja será más joven que el hermano en la Tierra. El dilema que plantea la paradoja puede explicarse por el hecho de que la situación no es simétrica. El gemelo que permanece en la Tierra está en un único sistema inercial, y el gemelo que viaja está en dos sistemas inerciales diferentes: uno a la ida y otro a la vuelta. Véase también Paradoja de los gemelos # Papel de la aceleración .

Pruebas experimentales

Partículas en movimiento

• Es posible comparar la vida útil de los muones a diferentes velocidades. En el laboratorio se producen muones lentos; y en la atmósfera los rayos cósmicos introducen muones que se mueven muy rápidamente. Tomando la vida útil de un muón en reposo como valor de laboratorio de 2,197 μs, la vida útil de un muón producido por rayos cósmicos que viaja al 98% de la velocidad de la luz es aproximadamente cinco veces más larga, de acuerdo con las observaciones. Un ejemplo es Rossi y Hall (1941), quienes compararon la población de muones producidos por rayos cósmicos en la cima de una montaña con la observada al nivel del mar. ^[20]
• La vida útil de las partículas producidas en los aceleradores de partículas es mayor debido a la dilatación del tiempo. En tales experimentos, el "reloj" es el tiempo que tardan los procesos que conducen a la desintegración del muón, y estos procesos tienen lugar en el muón en movimiento a su propia "velocidad de reloj", que es mucho más lenta que el reloj de laboratorio. Esto se tiene en cuenta habitualmente en la física de partículas y se han realizado muchas mediciones específicas. Por ejemplo, en el anillo de almacenamiento de muones del CERN, se encontró que la vida útil de los muones que circulaban con γ = 29,327 estaba dilatada a 64,378 μs, lo que confirma la dilatación del tiempo con una precisión de 0,9 ± 0,4 partes por mil. ^[21]

efecto Doppler

• El propósito declarado por Ives y Stilwell (1938, 1941) de estos experimentos fue verificar el efecto de dilatación del tiempo, predicho por la teoría del éter de Larmor-Lorentz, debido al movimiento a través del éter utilizando la sugerencia de Einstein de que el efecto Doppler en los rayos del canal proporcionaría una adecuada experimento. Estos experimentos midieron el desplazamiento Doppler de la radiación emitida por los rayos catódicos , cuando se ve directamente desde delante y desde detrás. Las frecuencias altas y bajas detectadas no fueron los valores predichos clásicamente:
  $${\displaystyle {\frac {f_{0}}{1-v/c}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {f_{0}}{1+v/c}}}$$
  Las frecuencias altas y bajas de la radiación de las fuentes en movimiento se midieron como: ^[22]
  $${\displaystyle {\sqrt {\frac {1+v/c}{1-v/c}}}f_{0}=\gamma \left(1+v/c\right)f_{0}\qquad {\text{and}}\qquad {\sqrt {\frac {1-v/c}{1+v/c}}}f_{0}=\gamma \left(1-v/c\right)f_{0}\,}$$
  según lo deduce Einstein (1905) de la transformación de Lorentz , cuando la fuente va lenta por el factor de Lorentz.
• Hasselkamp, ​​Mondry y Scharmann ^[23] (1979) midieron el desplazamiento Doppler de una fuente que se movía en ángulo recto con respecto a la línea de visión. La relación más general entre las frecuencias de la radiación de las fuentes en movimiento viene dada por:
  $${\displaystyle f_{\mathrm {detected} }=f_{\mathrm {rest} }{\left(1-{\frac {v}{c}}\cos \phi \right)/{\sqrt {1-{v^{2}}/{c^{2}}}}}}$$
  como lo dedujo Einstein (1905). ^[24] Para ϕ = 90° ( cos ϕ = 0 ), esto se reduce a f _detectado = f _resto γ . Esta frecuencia más baja de la fuente en movimiento se puede atribuir al efecto de dilatación del tiempo y a menudo se denomina efecto Doppler transversal y fue predicho por la relatividad.
• En 2010 se observó una dilatación del tiempo a velocidades de menos de 10 metros por segundo utilizando relojes atómicos ópticos conectados por 75 metros de fibra óptica. ^[25]

Tiempo propio y diagrama de Minkowski

Diagrama de Minkowski y paradoja de los gemelos.

En el diagrama de Minkowski de la primera imagen de la derecha, el reloj C que descansa en el sistema inercial S′ se encuentra con el reloj A en d y el reloj B en f (ambos en reposo en S). Los tres relojes comienzan a funcionar simultáneamente en S. La línea mundial de A es el eje ct, la línea mundial de B que cruza f es paralela al eje ct y la línea mundial de C es el eje ct′. Todos los eventos simultáneos con d en S están en el eje x, en S′ en el eje x′.

El tiempo adecuado entre dos eventos se indica mediante un reloj presente en ambos eventos. ^[26] Es invariante, es decir, en todos los sistemas inerciales se conviene que este tiempo sea indicado por ese reloj. El intervalo df es, por tanto, el tiempo propio del reloj C, y es más corto con respecto a los tiempos coordenados ef=dg de los relojes B y A en S. Por el contrario, también el tiempo propio ef de B es más corto con respecto al tiempo si en S ′, porque el evento e se midió en S′ ya en el momento i debido a la relatividad de la simultaneidad, mucho antes de que C comenzara a funcionar.

De esto se puede ver que el tiempo adecuado entre dos eventos indicado por un reloj no acelerado presente en ambos eventos, en comparación con el tiempo coordinado sincronizado medido en todos los demás marcos inerciales, es siempre el intervalo de tiempo mínimo entre esos eventos. Sin embargo, el intervalo entre dos eventos también puede corresponder al tiempo propio de los relojes acelerados presentes en ambos eventos. Bajo todos los tiempos propios posibles entre dos eventos, el tiempo propio del reloj no acelerado es máximo , lo cual es la solución a la paradoja de los gemelos . ^[26]

Derivación y formulación

Factor de Lorentz en función de la velocidad (en unidades naturales donde c = 1). Observe que para velocidades pequeñas (menos de 0,1), γ es aproximadamente 1.

Además del reloj de luz utilizado anteriormente, la fórmula para la dilatación del tiempo se puede derivar de manera más general de la parte temporal de la transformación de Lorentz . ^[27] Sean dos eventos en los que el reloj en movimiento indica y , así: ${\displaystyle t_{a}}$ ${\displaystyle t_{b}}$

${\displaystyle t_{a}^{\prime }={\frac {t_{a}-{\frac {vx_{a}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\ t_{b}^{\prime }={\frac {t_{b}-{\frac {vx_{b}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Dado que el reloj permanece en reposo en su marco inercial, se sigue , por lo que el intervalo viene dado por: ${\displaystyle x_{a}=x_{b}}$ ${\displaystyle \Delta t^{\prime }=t_{b}^{\prime }-t_{a}^{\prime }}$

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \,\Delta t={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,}$

donde Δ t es el intervalo de tiempo entre dos eventos co-locales (es decir, que suceden en el mismo lugar) para un observador en algún marco inercial (por ejemplo, tictac en su reloj), conocido como el tiempo propio , Δ t′ es el intervalo de tiempo entre esos mismos eventos, medidos por otro observador, moviéndose inercialmente con velocidad v con respecto al observador anterior, v es la velocidad relativa entre el observador y el reloj en movimiento, c es la velocidad de la luz y el factor de Lorentz (convencionalmente denotado por la letra griega gamma o γ) es:

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\,}$

Así, se comprueba que la duración del ciclo de un reloj en movimiento aumenta: se mide que "funciona lento". El rango de tales variaciones en la vida ordinaria, donde v ≪ c , incluso considerando los viajes espaciales, no es lo suficientemente grande como para producir efectos de dilatación del tiempo fácilmente detectables y esos efectos extremadamente pequeños pueden ignorarse con seguridad para la mayoría de los propósitos. Como umbral aproximado, la dilatación del tiempo puede llegar a ser importante cuando un objeto se acerca a velocidades del orden de 30.000 km/s (1/10 de la velocidad de la luz). ^[28]

movimiento hiperbólico

En la relatividad especial, la dilatación del tiempo se describe más simplemente en circunstancias en las que la velocidad relativa no cambia. Sin embargo, las ecuaciones de Lorentz permiten calcular el tiempo y el movimiento adecuados en el espacio para el caso simple de una nave espacial a la que se aplica una fuerza por unidad de masa, relativa a algún objeto de referencia en movimiento uniforme (es decir, de velocidad constante), igual a g en todo momento . el período de medición.

Sea t el tiempo en un sistema inercial llamado posteriormente sistema en reposo. Sea x una coordenada espacial y sea la dirección de la aceleración constante, así como la velocidad de la nave espacial (en relación con el marco en reposo), paralela al eje x . Suponiendo que la posición de la nave espacial en el tiempo t = 0 sea x = 0 y la velocidad sea v ₀ y defina la siguiente abreviatura:

${\displaystyle \gamma _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-v_{0}^{2}/c^{2}}}}}$

las siguientes fórmulas son válidas: ^[29]

Posición:

${\displaystyle x(t)={\frac {c^{2}}{g}}\left({\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0}\right)^{2}}{c^{2}}}}}-\gamma _{0}\right)}$

Velocidad:

${\displaystyle v(t)={\frac {gt+v_{0}\gamma _{0}}{\sqrt {1+{\frac {\left(gt+v_{0}\gamma _{0}\right)^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Tiempo propio en función del tiempo coordinado:

${\displaystyle \tau (t)=\tau _{0}+\int _{0}^{t}{\sqrt {1-\left({\frac {v(t')}{c}}\right)^{2}}}dt'}$

En el caso donde v (0) = v ₀ = 0 y τ (0) = τ ₀ = 0 la integral se puede expresar como una función logarítmica o, de manera equivalente, como una función hiperbólica inversa :

${\displaystyle \tau (t)={\frac {c}{g}}\ln \left({\frac {gt}{c}}+{\sqrt {1+\left({\frac {gt}{c}}\right)^{2}}}\right)={\frac {c}{g}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {gt}{c}}\right)}$

En función de la hora propia del barco, se cumplen las siguientes fórmulas: ^[30] ${\displaystyle \tau }$

Posición:

${\displaystyle x(\tau )={\frac {c^{2}}{g}}\left(\cosh {\frac {g\tau }{c}}-1\right)}$

Velocidad:

${\displaystyle v(\tau )=c\tanh {\frac {g\tau }{c}}}$

Coordinar el tiempo en función del tiempo propio:

${\displaystyle t(\tau )={\frac {c}{g}}\sinh {\frac {g\tau }{c}}}$

Hipótesis del reloj

La hipótesis del reloj es la suposición de que la velocidad a la que un reloj se ve afectado por la dilatación del tiempo no depende de su aceleración sino sólo de su velocidad instantánea. Esto equivale a afirmar que un reloj que avanza a lo largo de una trayectoria mide el tiempo adecuado , definido por: ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \tau =\int _{P}{\sqrt {dt^{2}-dx^{2}/c^{2}-dy^{2}/c^{2}-dz^{2}/c^{2}}}}$

La hipótesis del reloj se incluyó implícitamente (pero no explícitamente) en la formulación original de la relatividad especial de Einstein de 1905. Desde entonces, se ha convertido en una suposición estándar y suele incluirse en los axiomas de la relatividad especial, especialmente a la luz de la verificación experimental de aceleraciones muy altas en aceleradores de partículas . ^{[31] [32]}

Dilatación del tiempo causada por la gravedad o la aceleración.

La dilatación del tiempo explica por qué dos relojes en funcionamiento informarán tiempos diferentes después de diferentes aceleraciones. Por ejemplo, el tiempo pasa más lento en la ISS , retrasándose aproximadamente 0,01 segundos por cada 12 meses terrestres que pasan. Para que los satélites GPS funcionen, deben ajustarse a una curvatura similar del espacio-tiempo para coordinarse adecuadamente con los sistemas de la Tierra. ^[1]

El tiempo pasa más rápidamente lejos del centro de gravedad, como ocurre con los objetos masivos (como la Tierra).

La dilatación del tiempo gravitacional la experimenta un observador que, a cierta altitud dentro de un pozo de potencial gravitacional, descubre que sus relojes locales miden menos tiempo transcurrido que relojes idénticos situados a mayor altitud (y que, por lo tanto, se encuentran en un potencial gravitacional más alto).

La dilatación del tiempo gravitacional está en juego, por ejemplo, para los astronautas de la ISS. Mientras que la velocidad relativa de los astronautas ralentiza su tiempo, la reducida influencia gravitacional en su ubicación lo acelera, aunque en menor grado. Además, en teoría, el tiempo de un escalador pasa ligeramente más rápido en la cima de una montaña en comparación con el de las personas al nivel del mar. También se ha calculado que debido a la dilatación del tiempo, el núcleo de la Tierra es 2,5 años más joven que la corteza . ^[33] "Un reloj utilizado para cronometrar una rotación completa de la Tierra medirá el día para que sea aproximadamente 10 ns/día más por cada km de altitud sobre el geoide de referencia". ^[34] Viajar a regiones del espacio donde se está produciendo una dilatación gravitacional extrema del tiempo, como cerca (pero no más allá del horizonte de sucesos de) un agujero negro , podría producir resultados de desplazamiento del tiempo análogos a los de los viajes espaciales cercanos a la velocidad de la luz.

Al contrario de la dilatación del tiempo por velocidad, en la que ambos observadores miden al otro como si envejeciera más lentamente (un efecto recíproco), la dilatación del tiempo gravitacional no es recíproca. Esto significa que con la dilatación del tiempo gravitacional ambos observadores están de acuerdo en que el reloj más cercano al centro del campo gravitacional tiene un ritmo más lento y están de acuerdo en la relación de la diferencia.

Pruebas experimentales

• En 1959, Robert Pound y Glen A. Rebka midieron el muy ligero corrimiento al rojo gravitacional en la frecuencia de la luz emitida a una altura más baja, donde el campo gravitacional de la Tierra es relativamente más intenso. Los resultados estuvieron dentro del 10% de las predicciones de la relatividad general. En 1964, Pound y JL Snider midieron un resultado dentro del 1% del valor predicho por la dilatación del tiempo gravitacional. ^[35] (Ver experimento de Pound-Rebka )
• En 2010, se midió la dilatación del tiempo gravitacional en la superficie de la Tierra con una diferencia de altura de sólo un metro, utilizando relojes atómicos ópticos. ^[25]

Efecto combinado de la velocidad y la dilatación del tiempo gravitacional.

Dilatación del tiempo diario (ganancia o pérdida si es negativa) en microsegundos como función del radio de la órbita (circular) r = rs / re , donde rs es el radio de la órbita del satélite y re es el radio ecuatorial de la Tierra, calculado utilizando la métrica de Schwarzschild. En r ≈ 1,497 ^{[Nota 1]} no hay dilatación del tiempo. Aquí se cancelan los efectos del movimiento y la gravedad reducida. Los astronautas de la ISS vuelan debajo, mientras que los satélites GPS y geoestacionarios vuelan arriba. ^[1]

La medición del tiempo de alta precisión, el seguimiento de satélites en órbita terrestre baja y la sincronización de púlsares son aplicaciones que requieren la consideración de los efectos combinados de la masa y el movimiento en la producción de dilatación del tiempo. Los ejemplos prácticos incluyen el estándar de Tiempo Atómico Internacional y su relación con el estándar de Tiempo de Coordenadas Baricéntricas utilizado para objetos interplanetarios.

Los efectos relativistas de la dilatación del tiempo para el sistema solar y la Tierra pueden modelarse con mucha precisión mediante la solución de Schwarzschild a las ecuaciones de campo de Einstein. En la métrica de Schwarzschild, el intervalo viene dado por: ^{[37] [38]} ${\displaystyle dt_{\text{E}}}$

${\displaystyle dt_{\text{E}}^{2}=\left(1-{\frac {2GM_{\text{i}}}{r_{\text{i}}c^{2}}}\right)dt_{\text{c}}^{2}-\left(1-{\frac {2GM_{\text{i}}}{r_{\text{i}}c^{2}}}\right)^{-1}{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{c^{2}}}}$

dónde:

• ${\displaystyle dt_{\text{E}}}$es un pequeño incremento del tiempo propio (un intervalo que podría registrarse en un reloj atómico), ${\displaystyle t_{\text{E}}}$
• ${\displaystyle dt_{\text{c}}}$es un pequeño incremento en la coordenada ( tiempo de coordenada ), ${\displaystyle t_{\text{c}}}$
• ${\displaystyle dx,dy,dz}$son pequeños incrementos en las tres coordenadas de la posición del reloj, ${\displaystyle x,y,z}$
• ${\displaystyle {\frac {-GM_{i}}{r_{i}}}}$representa la suma de los potenciales gravitacionales newtonianos debidos a las masas en la vecindad, en función de sus distancias al reloj. Esta suma incluye cualquier potencial de marea. ${\displaystyle r_{i}}$

La velocidad coordinada del reloj está dada por:

${\displaystyle v^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt_{\text{c}}^{2}}}}$

El tiempo coordinado es el tiempo que se leería en un hipotético "reloj de coordenadas" situado infinitamente lejos de todas las masas gravitacionales ( ), y estacionario en el sistema de coordenadas ( ). La relación exacta entre la velocidad del tiempo propio y la velocidad del tiempo coordinado para un reloj con una componente radial de velocidad es: ${\displaystyle t_{c}}$ ${\displaystyle U=0}$ ${\displaystyle v=0}$

${\displaystyle {\frac {dt_{\text{E}}}{dt_{\text{c}}}}={\sqrt {1+{\frac {2U}{c^{2}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}+\left({\frac {c^{2}}{2U}}+1\right)^{-1}{\frac {{v_{\shortparallel }}^{2}}{c^{2}}}}}={\sqrt {1-\left(\beta ^{2}+\beta _{e}^{2}+{\frac {\beta _{\shortparallel }^{2}\beta _{e}^{2}}{1-\beta _{e}^{2}}}\right)}}}$

dónde:

• ${\displaystyle v_{\shortparallel }}$es la velocidad radial,
• ${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM_{i}}{r_{i}}}}}$es la velocidad de escape,
• ${\displaystyle \beta =v/c}$, y son velocidades como porcentaje de la velocidad de la luz c , ${\displaystyle \beta _{e}=v_{e}/c}$ ${\displaystyle \beta _{\shortparallel }=v_{\shortparallel }/c}$
• ${\displaystyle U={\frac {-GM_{i}}{r_{i}}}}$es el potencial newtoniano; por tanto, es igual a la mitad del cuadrado de la velocidad de escape. ${\displaystyle -U}$

La ecuación anterior es exacta bajo los supuestos de la solución de Schwarzschild. Se reduce a la ecuación de dilatación del tiempo de velocidad en presencia de movimiento y ausencia de gravedad, es decir . Se reduce a la ecuación de dilatación del tiempo gravitacional en ausencia de movimiento y presencia de gravedad, es decir . ${\displaystyle \beta _{e}=0}$ ${\displaystyle \beta =0=\beta _{\shortparallel }}$

Pruebas experimentales

Dilatación del tiempo diario sobre la altura de la órbita circular dividida en sus componentes. En este gráfico, solo Gravity Probe A se lanzó específicamente para probar la relatividad general. Las otras naves espaciales en este mapa (a excepción de la ISS, cuyo rango de puntos está marcado como "teoría") llevan relojes atómicos cuyo funcionamiento adecuado depende de la validez de la relatividad general.

• Hafele y Keating , en 1971, hicieron volar relojes atómicos de cesio hacia el este y el oeste alrededor de la Tierra en aviones comerciales, para comparar el tiempo transcurrido con el de un reloj que permanecía en el Observatorio Naval de Estados Unidos . Entraron en juego dos efectos opuestos. Se esperaba que los relojes envejecieran más rápidamente (mostraran un tiempo transcurrido mayor) que el reloj de referencia, ya que estuvieron en un potencial gravitacional más alto (más débil) durante la mayor parte del viaje (cf. experimento de Pound-Rebka ). Pero también, por el contrario, se esperaba que los relojes en movimiento envejecieran más lentamente debido a la velocidad de su recorrido. A partir de las trayectorias de vuelo reales de cada viaje, la teoría predijo que los relojes voladores, en comparación con los relojes de referencia del Observatorio Naval de EE. UU., deberían haber perdido 40 ± 23 nanosegundos durante el viaje hacia el este y deberían haber ganado 275 ± 21 nanosegundos durante el viaje hacia el oeste. . En relación con la escala de tiempo atómico del Observatorio Naval de EE. UU., los relojes voladores perdieron 59 ± 10 nanosegundos durante el viaje hacia el este y ganaron 273 ± 7 nanosegundos durante el viaje hacia el oeste (donde las barras de error representan la desviación estándar). ^[39] En 2005, el Laboratorio Nacional de Física del Reino Unido informó sobre su replicación limitada de este experimento. ^[40] El experimento NPL se diferenciaba del original en que los relojes de cesio se enviaron en un viaje más corto (regreso de Londres a Washington, DC), pero los relojes eran más precisos. Los resultados reportados están dentro del 4% de las predicciones de la relatividad, dentro de la incertidumbre de las mediciones.
• El Sistema de Posicionamiento Global puede considerarse un experimento en funcionamiento continuo tanto en relatividad especial como general. Los relojes en órbita están corregidos para efectos de dilatación del tiempo relativistas generales y especiales como se describió anteriormente, de modo que (observados desde la superficie de la Tierra) funcionen al mismo ritmo que los relojes en la superficie de la Tierra. ^[41]

En la cultura popular

La velocidad y la dilatación del tiempo gravitacional han sido objeto de obras de ciencia ficción en diversos medios. Algunos ejemplos en el cine son las películas Interestelar y El planeta de los simios . ^[42] En Interstellar , un punto clave de la trama involucra un planeta que está cerca de un agujero negro en rotación y en cuya superficie una hora equivale a siete años en la Tierra debido a la dilatación del tiempo. ^[43] El físico Kip Thorne colaboró ​​en la realización de la película y explicó sus conceptos científicos en el libro The Science of Interstellar . ^{[44] [45]}

La dilatación del tiempo se utilizó en los episodios de Doctor Who " World Enough and Time " y " The Doctor Falls ", que tienen lugar en una nave espacial en las proximidades de un agujero negro. Debido a la inmensa atracción gravitacional del agujero negro y a la longitud de la nave (400 millas), el tiempo avanza más rápido en un extremo que en el otro. Cuando se llevan al compañero del Doctor, Bill, al otro extremo del barco, ella espera años hasta que él la rescate; en su tiempo sólo pasan los minutos. ^[46] Además, la dilatación permite a los Cybermen evolucionar a un ritmo "más rápido" que el visto anteriormente en el programa.

Tau Zero , una novela de Poul Anderson , es un ejemplo temprano del concepto en la literatura de ciencia ficción. En la novela, una nave espacial utiliza un estatorreactor Bussard para acelerar a velocidades lo suficientemente altas como para que la tripulación pase cinco años a bordo, pero pasan treinta y tres años en la Tierra antes de llegar a su destino. Anderson explica la dilatación del tiempo de la velocidad en términos del factor tau , que disminuye cada vez más cerca de cero a medida que la nave se acerca a la velocidad de la luz, de ahí el título de la novela. ^[47] Debido a un accidente, la tripulación no puede dejar de acelerar la nave espacial, lo que provoca una dilatación del tiempo tan extrema que la tripulación experimenta el Big Crunch en el fin del universo. ^[48] ​​Otros ejemplos en la literatura, como Rocannon's World , Hyperion y The Forever War , hacen uso similar de la dilatación del tiempo relativista como un recurso literario científicamente plausible para que ciertos personajes envejezcan más lentamente que el resto del universo. ^{[49] [50]}

Ver también

• Contracción de longitud
• Masa en relatividad especial

Notas a pie de página

1. La dilatación del tiempo promedio tiene una débil dependencia del ángulo de inclinación orbital (Ashby 2003, p.32). El resultado r ≈ 1,497 corresponde a ^[36] la inclinación orbital de los satélites GPS modernos, que es de 55 grados.

Referencias

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enlaces externos

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