En matemáticas , una identidad es una igualdad que relaciona una expresión matemática A con otra expresión matemática B , de modo que A y B (que pueden contener algunas variables ) producen el mismo valor para todos los valores de las variables dentro de un cierto rango de validez. [1] En otras palabras, A = B es una identidad si A y B definen las mismas funciones , y una identidad es una igualdad entre funciones que están definidas de manera diferente. Por ejemplo, y son identidades. [1] Las identidades a veces se indican con el símbolo de barra triple ≡ en lugar de = , el signo igual . [2] Formalmente, una identidad es una igualdad universalmente cuantificada .
Ciertas identidades, como y , forman la base del álgebra , [3] mientras que otras identidades, como y , pueden ser útiles para simplificar expresiones algebraicas y expandirlas. [4]
Geométricamente, las identidades trigonométricas son identidades que involucran ciertas funciones de uno o más ángulos . [5] Son distintos de las identidades de triángulos , que son identidades que involucran tanto ángulos como longitudes de lados de un triángulo . En este artículo sólo se tratan los primeros.
Estas identidades son útiles cuando es necesario simplificar expresiones que involucran funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es la integración de funciones no trigonométricas: una técnica común que implica usar primero la regla de sustitución con una función trigonométrica y luego simplificar la integral resultante con una identidad trigonométrica.
Uno de los ejemplos más destacados de identidades trigonométricas involucra la ecuación que es verdadera para todos los valores reales de . Por otra parte, la ecuación
solo es cierto para ciertos valores de , no para todos. Por ejemplo, esta ecuación es verdadera cuando pero falsa cuando .
Otro grupo de identidades trigonométricas se refiere a las llamadas fórmulas de suma/resta (por ejemplo, la identidad de doble ángulo , la fórmula de suma para ), [2] que pueden usarse para descomponer expresiones de ángulos mayores en aquellos con constituyentes más pequeños.
Las siguientes identidades son válidas para todos los exponentes enteros , siempre que la base sea distinta de cero:
A diferencia de la suma y la multiplicación, la exponenciación no es conmutativa . Por ejemplo, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 y 2 · 3 = 3 · 2 = 6 , pero 2 3 = 8 mientras que 3 2 = 9 .
Además, a diferencia de la suma y la multiplicación, la exponenciación tampoco es asociativa . Por ejemplo, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 y (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24 , pero 2 3 elevado al 4 es 8 4 (o 4.096) mientras que 2 elevado a 3 4 es 2 81 (o 2.417.851.639.229.258.349.412.352). Cuando no se escriben paréntesis, por convención el orden es de arriba hacia abajo, no de abajo hacia arriba:
Varias fórmulas importantes, a veces llamadas identidades logarítmicas o leyes logarítmicas , relacionan los logaritmos entre sí: [a]
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los números que se multiplican; el logaritmo de la razón de dos números es la diferencia de los logaritmos. El logaritmo de la p -ésima potencia de un número es p multiplicado por el logaritmo del número mismo; el logaritmo de una raíz p ésima es el logaritmo del número dividido por p . La siguiente tabla enumera estas identidades con ejemplos. Cada una de las identidades se puede derivar después de sustituir las definiciones de logaritmos y/o en el lado izquierdo.
El logaritmo log b ( x ) se puede calcular a partir de los logaritmos de x y b con respecto a una base arbitraria k usando la siguiente fórmula:
Las calculadoras científicas típicas calculan los logaritmos en bases 10 y e . [6] Los logaritmos con respecto a cualquier base b se pueden determinar utilizando cualquiera de estos dos logaritmos mediante la fórmula anterior:
Dado un número x y su logaritmo log b ( x ) con base desconocida b , la base viene dada por:
Las funciones hiperbólicas satisfacen muchas identidades, todas ellas similares en forma a las identidades trigonométricas . De hecho, la regla de Osborn [7] establece que se puede convertir cualquier identidad trigonométrica en una identidad hiperbólica expandiéndola completamente en términos de potencias enteras de senos y cosenos, cambiando seno a sinh y coseno a cosh, y cambiando el signo de cada término. que contiene un producto de un número par de senos hiperbólicos. [8]
La función Gudermanniana da una relación directa entre las funciones trigonométricas y las hiperbólicas que no involucra números complejos .
Formalmente, una identidad es una verdadera fórmula universalmente cuantificada de la forma donde s y t son términos sin otras variables libres que las del cuantificador. El prefijo cuantificador a menudo se deja implícito cuando se afirma que la fórmula es una identidad. Por ejemplo, los axiomas de un monoide a menudo se dan como fórmulas
o, en breve,
Entonces, estas fórmulas son identidades en cada monoide. Como ocurre con cualquier igualdad, las fórmulas sin cuantificador suelen denominarse ecuaciones . En otras palabras, una identidad es una ecuación que es verdadera para todos los valores de las variables. [9] [10]