Polinomio enumerador

Especifica el número de palabras de un código lineal binario de cada peso de Hamming posible

En la teoría de codificación , el polinomio enumerador de peso de un código lineal binario especifica el número de palabras de cada peso de Hamming posible .

Sea un código lineal binario de longitud . La distribución de pesos es la secuencia de números ${\displaystyle C\subset \mathbb {F} _{2}^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle A_{t}=\#\{c\in C\mid w(c)=t\}}$

dando el número de palabras de código c en C que tienen peso t cuando t varía de 0 a n . El enumerador de peso es el polinomio bivariado

${\displaystyle W(C;x,y)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}x^{w}y^{n-w}.}$

Propiedades básicas

1. ${\displaystyle W(C;0,1)=A_{0}=1}$
2. ${\displaystyle W(C;1,1)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}=|C|}$
3. ${\displaystyle W(C;1,0)=A_{n}=1{\mbox{ if }}(1,\ldots ,1)\in C\ {\mbox{ and }}0{\mbox{ otherwise}}}$
4. ${\displaystyle W(C;1,-1)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}(-1)^{n-w}=A_{n}+(-1)^{1}A_{n-1}+\ldots +(-1)^{n-1}A_{1}+(-1)^{n}A_{0}}$

Identidad de MacWilliams

Denotemos el código dual de por ${\displaystyle C\subset \mathbb {F} _{2}^{n}}$

${\displaystyle C^{\perp }=\{x\in \mathbb {F} _{2}^{n}\,\mid \,\langle x,c\rangle =0{\mbox{ }}\forall c\in C\}}$

(donde denota el producto escalar del vector y que se toma sobre ). ${\displaystyle \langle \ ,\ \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

La identidad de MacWilliams establece que

${\displaystyle W(C^{\perp };x,y)={\frac {1}{\mid C\mid }}W(C;y-x,y+x).}$

La identidad lleva el nombre de Jessie MacWilliams .

Enumerador de distancia

La distribución de distancia o distribución interna de un código C de tamaño M y longitud n es la secuencia de números

${\displaystyle A_{i}={\frac {1}{M}}\#\left\lbrace (c_{1},c_{2})\in C\times C\mid d(c_{1},c_{2})=i\right\rbrace }$

donde i varía de 0 a n . El polinomio enumerador de distancia es

${\displaystyle A(C;x,y)=\sum _{i=0}^{n}A_{i}x^{i}y^{n-i}}$

y cuando C es lineal esto es igual al enumerador de peso.

La distribución externa de C es la matriz B de 2 ⁿ por n +1 con filas indexadas por elementos de GF(2) ⁿ y columnas indexadas por números enteros 0... n , y entradas

${\displaystyle B_{x,i}=\#\left\lbrace c\in C\mid d(c,x)=i\right\rbrace .}$

La suma de las filas de B es M veces el vector de distribución interna ( A ₀ ,..., A _n ).

Un código C es regular si las filas de B correspondientes a las palabras de código de C son todas iguales.

Referencias

• Hill, Raymond (1986). Un primer curso de teoría de la codificación . Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. Oxford University Press . Págs. 165–173. ISBN. 0-19-853803-0.
• Pless, Vera (1982). Introducción a la teoría de códigos correctores de errores . Serie Wiley-Interscience en Matemáticas discretas. John Wiley & Sons . pp. 103–119. ISBN 0-471-08684-3.
• JH van Lint (1992). Introducción a la teoría de la codificación . GTM . Vol. 86 (2.ª ed.). Springer-Verlag . ISBN. 3-540-54894-7.Capítulos 3.5 y 4.3.