Identidad de Engel

La identidad de Engel , llamada así en honor a Friedrich Engel , es una ecuación matemática que se cumple para todos los elementos de un anillo de Lie , en el caso de un anillo de Lie de Engel, o para todos los elementos de un grupo , en el caso de un grupo de Engel . La identidad de Engel es la condición definitoria de un grupo de Engel .

Definición formal

Un anillo de Lie se define como un anillo no asociativo con multiplicación que es anticonmutativo y satisface la identidad de Jacobi con respecto al corchete de Lie , definido para todos los elementos del anillo . El anillo de Lie se define como un anillo de Lie n-Engel si y solo si ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle [x,y]}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

• Para todos en , la identidad n-Engel ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle [x,[x,\ldots ,[x,[x,y]]\ldots ]]=0}$(n copias de ), se satisface. ^[1] ${\displaystyle x}$

En el caso de un grupo , en la definición anterior, utilice la definición [ x , y ] = x ⁻¹ • y ⁻¹ • x • y y reemplace por , donde es el elemento identidad del grupo . ^[2] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle G}$

Véase también

• Representación adjunta
• Efim Zelmanov
• Teorema de Engel

Referencias

1. Traustason, Gunnar (1993). "Álgebras de Engel Lie". Quart. J. Math. Oxford . 44 (3): 355–384. doi :10.1093/qmath/44.3.355.
2. Traustason, Gunnar. «Grupos Engel (una encuesta)» (PDF) .