En matemáticas, una relación binaria idempotente es una relación binaria R en un conjunto X (un subconjunto del producto cartesiano X × X ) para el cual la composición de relaciones R ∘ R es la misma que R . [1] [2] Esta noción generaliza la de una función idempotente a las relaciones.
Como abreviatura, la notación xRy indica que un par ( x , y ) pertenece a una relación R . La composición de relaciones R ∘ R es la relación S definida al establecer xSz como verdadero para un par de elementos x y z en X siempre que exista y en X con xRy e yRz ambos verdaderos. R es idempotente si R = S .
De manera equivalente, la relación R es idempotente si y sólo si las dos propiedades siguientes son verdaderas:
Debido a que la idempotencia incorpora tanto la transitividad como la segunda propiedad anterior, es una propiedad más fuerte que la transitividad.
Por ejemplo, la relación < de los números racionales es idempotente. La relación de ordenación estricta es transitiva, y siempre que dos números racionales x y z obedecen a la relación x < z existe necesariamente otro número racional y entre ellos (por ejemplo, su media) con x < y e y < z .
En cambio, la misma relación de ordenación < sobre los números enteros no es idempotente. Sigue siendo transitiva, pero no obedece a la segunda propiedad de una relación idempotente. Por ejemplo, 1 < 2, pero no existe ningún otro número entero y entre 1 y 2.
Un producto externo de vectores lógicos forma una relación idempotente. Dicha relación puede estar contenida en una relación más compleja, en cuyo caso se denomina concepto en ese contexto más amplio. La descripción de las relaciones en términos de sus conceptos se denomina análisis formal de conceptos .
Las relaciones idempotentes se han utilizado como ejemplo para ilustrar la aplicación de la formalización mecanizada de las matemáticas utilizando el demostrador de teoremas interactivo Isabelle/HOL. Además de comprobar las propiedades matemáticas de las relaciones idempotentes finitas, en Isabelle/HOL se ha derivado un algoritmo para contar el número de relaciones idempotentes. [4] [5]
También se ha demostrado que las relaciones idempotentes definidas en espacios débilmente numerables y compactos satisfacen la "condición Γ": es decir, toda relación idempotente no trivial en dicho espacio contiene puntos para algún . Esto se utiliza para demostrar que ciertos subespacios de un producto incontable de espacios, conocidos como productos de Mahavier, no pueden ser metrizables cuando se definen mediante una relación idempotente no trivial. [6]
