Triángulo ideal

Tipo de triángulo hiperbólico

Tres triángulos ideales en el modelo del disco de Poincaré que crean un pentágono ideal

Dos triángulos ideales en el modelo de semiplano de Poincaré

En geometría hiperbólica, un triángulo ideal es un triángulo hiperbólico cuyos tres vértices son todos puntos ideales . Los triángulos ideales también se denominan a veces triángulos triplemente asintóticos o triángulos triplemente asintóticos . Los vértices a veces se denominan vértices ideales . Todos los triángulos ideales son congruentes .

Propiedades

Los triángulos ideales tienen las siguientes propiedades:

• Todos los triángulos ideales son congruentes entre sí.
• Los ángulos interiores de un triángulo ideal son todos cero.
• Un triángulo ideal tiene perímetro infinito.
• Un triángulo ideal es el triángulo más grande posible en geometría hiperbólica.

En el plano hiperbólico estándar (una superficie donde la curvatura gaussiana constante es −1) también tenemos las siguientes propiedades:

• Cualquier triángulo ideal tiene área π. ^[1]

Distancias en un triangulo ideal

Dimensiones relacionadas con un triángulo ideal y su círculo inscrito, representadas en el modelo de Beltrami-Klein (izquierda) y el modelo de disco de Poincaré (derecha)

• El círculo inscrito en un triángulo ideal tiene radio

${\displaystyle r=\ln {\sqrt {3}}={\frac {1}{2}}\ln 3=\operatorname {artanh} {\frac {1}{2}}=2\operatorname {artanh} (2-{\sqrt {3}})=}$ ${\displaystyle =\operatorname {arsinh} {\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}=\operatorname {arcosh} {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\approx 0.549}$. ^[2]

La distancia desde cualquier punto del triángulo al lado más cercano del triángulo es menor o igual al radio r anterior, con igualdad solo para el centro del círculo inscrito.

• El círculo inscrito se encuentra con el triángulo en tres puntos de tangencia, formando un triángulo de contacto equilátero con longitud lateral ^[2] donde es la proporción áurea . ${\displaystyle d=\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{{\sqrt {5}}-1}}\right)=2\ln \varphi \approx 0.962}$ ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Un círculo con radio d alrededor de un punto dentro del triángulo se encontrará o intersectará al menos dos lados del triángulo.

• La distancia desde cualquier punto de un lado del triángulo a otro lado del triángulo es igual o menor que , con igualdad solo para los puntos de tangencia descritos anteriormente. ${\displaystyle a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881}$

a es también la altitud del triángulo de Schweikart .

Condición de triángulo delgado

La condición del triángulo δ-delgado utilizada en el espacio δ-hiperbólico

Como el triángulo ideal es el mayor triángulo posible en geometría hiperbólica, las medidas anteriores son los máximos posibles para cualquier triángulo hiperbólico . Este hecho es importante en el estudio del espacio δ-hiperbólico .

Modelos

En el modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico, un triángulo ideal está delimitado por tres círculos que intersecan el círculo límite en ángulos rectos.

En el modelo de semiplano de Poincaré , un triángulo ideal se modela mediante un arbelos , la figura entre tres semicírculos tangentes entre sí .

En el modelo de Beltrami-Klein del plano hiperbólico, un triángulo ideal se modela mediante un triángulo euclidiano circunscrito por el círculo límite. Nótese que en el modelo de Beltrami-Klein, los ángulos en los vértices de un triángulo ideal no son cero, porque el modelo de Beltrami-Klein, a diferencia de los modelos de disco de Poincaré y de semiplano, no es conforme , es decir, no conserva los ángulos.

Grupo de triángulos ideales reales

El grupo de triángulos ideales real es el grupo de reflexión generado por las reflexiones del plano hiperbólico a través de los lados de un triángulo ideal. Algebraicamente, es isomorfo al producto libre de tres grupos de orden dos (Schwartz 2001).

Referencias

1. Thurston, Dylan (otoño de 2012). «274 Curves on Surfaces, Lecture 5» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 9 de enero de 2022. Consultado el 23 de julio de 2013 .
2. "¿Cuál es el radio del círculo inscrito de un triángulo ideal?" . Consultado el 9 de diciembre de 2015 .

Bibliografía

• Schwartz, Richard Evan (2001). "Grupos de triángulos ideales, toros dentados y análisis numérico". Anales de Matemáticas . Ser. 2. 153 (3): 533–598. arXiv : math.DG/0105264 . doi :10.2307/2661362. JSTOR  2661362. MR  1836282.