Álgebra de von Neumann única
En matemáticas , hasta el isomorfismo, hay exactamente dos factores hiperfinitos de tipo II que actúan de forma separada ; uno infinito y otro finito. Murray y von Neumann demostraron que hasta el isomorfismo, existe una única álgebra de von Neumann que es un factor de tipo II 1 y también hiperfinito ; se llama factor hiperfinito de tipo II 1. Hay un número incontable de otros factores de tipo II 1. Connes demostró que el infinito también es único.
Construcciones
- El álgebra de grupos de von Neumann de un grupo discreto con la propiedad de clase de conjugación infinita es un factor de tipo II 1 , y si el grupo es ameno y contable el factor es hiperfinito. Hay muchos grupos con estas propiedades, ya que cualquier grupo localmente finito es ameno. Por ejemplo, el álgebra de grupos de von Neumann del grupo simétrico infinito de todas las permutaciones de un conjunto infinito contable que fijan todos los elementos excepto un número finito da el factor hiperfinito de tipo II 1 .
- El factor hiperfinito tipo II 1 también surge de la construcción del espacio de medida de grupo para acciones ergódicas de preservación de medida libre de grupos contables susceptibles en espacios de probabilidad.
- El producto tensorial infinito de un número contable de factores de tipo I n con respecto a sus estados trazales es el factor hiperfinito de tipo II 1. Cuando n = 2, a esto también se le llama a veces álgebra de Clifford de un espacio de Hilbert separable infinito.
- Si p es cualquier proyección finita distinta de cero en un álgebra hiperfinita de von Neumann A de tipo II, entonces pAp es el factor hiperfinito de tipo II 1. De manera equivalente, el grupo fundamental de A es el grupo de números reales positivos . Esto a menudo puede ser difícil de ver directamente. Sin embargo, es obvio cuando A es el producto tensorial infinito de factores de tipo I n , donde n recorre todos los números enteros mayores que 1 infinitas veces: simplemente tome p equivalente a un producto tensorial infinito de proyecciones p n en el que el estado trazal es o .
Propiedades
El factor hiperfinito II 1 R es el único factor de dimensión infinita más pequeño en el siguiente sentido: está contenido en cualquier otro factor de dimensión infinita, y cualquier factor de dimensión infinita contenido en R es isomorfo a R.
El grupo de automorfismo externo de R es un grupo simple infinito con un número contable de clases de conjugación, indexadas por pares que consisten en un entero positivo p y una raíz p compleja de 1.
Las proyecciones del factor hiperfinito II 1 forman una geometría continua .
El factor tipo II hiperfinito infinito
Si bien existen otros factores de tipo II ∞ , existe uno hiperfinito único, salvo isomorfismo, que consiste en aquellas matrices cuadradas infinitas con entradas en el factor hiperfinito de tipo II 1 que definen operadores acotados .
Véase también
Referencias
- A. Connes, Clasificación de factores inyectivos, Annals of Mathematics, 2.ª serie, vol. 104, n.º 1 (julio de 1976), págs. 73-115
- FJ Murray, J. von Neumann, On rings of operator IV Ann. of Math. (2), 44 (1943) pp. 716–808. Esto demuestra que todos los factores aproximadamente finitos de tipo II 1 son isomorfos.
