En geometría , el teorema de geometrización de Thurston o teorema de hiperbolización implica que las variedades de Haken atoroidales cerradas son hiperbólicas y, en particular, satisfacen la conjetura de Thurston .
Una forma del teorema de hiperbolización establece: si M es una variedad de Haken atoroidal irreducible compacta cuyo límite tiene característica de Euler cero , entonces el interior de M tiene una estructura hiperbólica completa de volumen finito.
El teorema de rigidez de Mostow implica que si una variedad de dimensión al menos 3 tiene una estructura hiperbólica de volumen finito, entonces es esencialmente única.
Las condiciones de que la variedad M sea irreducible y atoroidal son necesarias, ya que las variedades hiperbólicas tienen estas propiedades. Sin embargo, la condición de que la variedad sea Haken es innecesariamente fuerte. La conjetura de hiperbolización de Thurston establece que una 3-variedad atoroidal irreducible cerrada con un grupo fundamental infinito es hiperbólica, y esto se deduce de la prueba de Perelman de la conjetura de geometrización de Thurston.
Thurston (1982, 2.3) demostró que si una variedad compacta 3 es prima, homotópicamente atoroidal y tiene un borde no vacío, entonces tiene una estructura hiperbólica completa a menos que sea homeomorfa a una cierta variedad ( T 2 ×[0,1])/ Z /2 Z con borde T 2 .
Una estructura hiperbólica en el interior de una variedad 3-orientable compacta tiene volumen finito si y sólo si todos los componentes del contorno son toros, excepto la variedad T 2 ×[0,1] que tiene una estructura hiperbólica pero ninguna de volumen finito (Thurston 1982, p. 359).
Thurston nunca publicó una prueba completa de su teorema por razones que explicó en (Thurston 1994), aunque partes de su argumento están contenidas en Thurston (1986, 1998a, 1998b). Wall (1984) y Morgan (1984) dieron resúmenes de la prueba de Thurston. Otal (1996) dio una prueba en el caso de variedades que se fibrilan sobre el círculo, y Otal (1998) y Kapovich (2009) dieron pruebas para el caso genérico de variedades que no se fibrilan sobre el círculo. El teorema de geometrización de Thurston también se desprende de la prueba de Perelman usando el flujo de Ricci de la conjetura de geometrización de Thurston más general .
El argumento original de Thurston para este caso fue resumido por Sullivan (1981). Otal (1996) dio una prueba en el caso de variedades que se desplazan a lo largo del círculo.
El teorema de geometrización de Thurston en este caso especial establece que si M es una 3-variedad que se fibrila sobre el círculo y cuya monodromía es un pseudo- difeomorfismo de Anosov, entonces el interior de M tiene una métrica hiperbólica completa de volumen finito.
Otal (1998) y Kapovich (2009) dieron pruebas del teorema de Thurston para el caso genérico de variedades que no se fibrilan en el círculo.
La idea de la prueba es cortar una variedad de Haken M a lo largo de una superficie incompresible, para obtener una nueva variedad N . Por inducción se supone que el interior de N tiene una estructura hiperbólica, y el problema es modificarlo para que pueda extenderse hasta el límite de N y pegarse. Thurston demostró que esto se sigue de la existencia de un punto fijo para un mapa del espacio de Teichmuller llamado mapa de desollado . El núcleo de la prueba del teorema de geometrización es demostrar que si N no es un fibrado de intervalos sobre una superficie y M es un atoroidal, entonces el mapa de desollado tiene un punto fijo. (Si N es un fibrado de intervalos, entonces el mapa de desollado no tiene un punto fijo, por lo que se necesita un argumento separado cuando M se deshilacha sobre el círculo). McMullen (1990) dio una nueva prueba de la existencia de un punto fijo del mapa de desollado.