Los huesos de Napier son un dispositivo de cálculo operado manualmente creado por John Napier de Merchiston , Escocia, para el cálculo de productos y cocientes de números. El método se basaba en la multiplicación reticular , y también se denominaba rabdología , una palabra inventada por Napier. Napier publicó su versión en 1617. [1] Fue impresa en Edimburgo y dedicada a su patrón Alexander Seton .
Utilizando las tablas de multiplicar incrustadas en las barras, la multiplicación se puede reducir a operaciones de suma y la división a restas . El uso avanzado de las barras puede extraer raíces cuadradas . Los huesos de Napier no son lo mismo que los logaritmos , con los que también se asocia el nombre de Napier, sino que se basan en tablas de multiplicar diseccionadas.
El dispositivo completo suele incluir una placa base con un borde; el usuario coloca las varillas de Napier y el borde para realizar la multiplicación o división. El borde izquierdo de la placa está dividido en nueve cuadrados, que contienen los números del 1 al 9. En el diseño original de Napier, las varillas están hechas de metal, madera o marfil y tienen una sección transversal cuadrada. Cada varilla está grabada con una tabla de multiplicar en cada una de las cuatro caras. En algunos diseños posteriores, las varillas son planas y tienen dos tablas o solo una grabadas en ellas, y están hechas de plástico o cartón grueso . Un juego de estos huesos podría estar encerrado en un estuche de transporte.
La cara de una varilla está marcada con nueve cuadrados. Cada cuadrado, excepto el superior, está dividido en dos mitades por una línea diagonal desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha. Los cuadrados contienen una tabla de multiplicar simple . El primero contiene un solo dígito , que Napier llamó "simple". Los otros contienen los múltiplos del simple, es decir, el doble del simple, el triple del simple y así sucesivamente hasta el noveno cuadrado que contiene nueve veces el número del cuadrado superior. Los números de un solo dígito se escriben en el triángulo inferior derecho dejando el otro triángulo en blanco, mientras que los números de dos dígitos se escriben con un dígito a cada lado de la diagonal.
Si las tablas se sostienen sobre varillas de un solo lado, se necesitan 40 varillas para multiplicar números de 4 dígitos; dado que los números pueden tener dígitos repetidos, se necesitan cuatro copias de la tabla de multiplicar para cada uno de los dígitos del 0 al 9. Si se utilizan varillas cuadradas, las 40 tablas de multiplicar se pueden inscribir en 10 varillas. Napier proporcionó detalles de un esquema para organizar las tablas de modo que ninguna varilla tenga dos copias de la misma tabla, lo que permite que cada número posible de cuatro dígitos se represente con 4 de las 10 varillas. Un juego de 20 varillas, que consta de dos copias idénticas de las 10 varillas de Napier, permite el cálculo con números de hasta ocho dígitos, y un juego de 30 varillas se puede utilizar para números de 12 dígitos.
La multiplicación más sencilla , un número de varios dígitos por un número de un solo dígito, se realiza colocando las barras que representan el número de varios dígitos en el marco contra el borde izquierdo. El resultado se lee en la fila correspondiente al número de un solo dígito que está marcado a la izquierda del marco, con una pequeña cantidad de adición requerida, como se explica en los ejemplos a continuación.
Al multiplicar un número de varios dígitos por otro número de varios dígitos, el número mayor se coloca en las varillas del marco. El dispositivo produce un resultado intermedio para la multiplicación por cada uno de los dígitos del número menor. Estos se anotan y el resultado final se calcula con lápiz y papel.
Para demostrar cómo utilizar los huesos de Napier para la multiplicación, se explican a continuación tres ejemplos de dificultad creciente.
El primer ejemplo calcula 425 × 6 .
Los dados de Napier para el 4, el 2 y el 5 se colocan en el tablero, en secuencia . Estos dados muestran la cifra más grande que se multiplicará. Los números que se encuentran más abajo en cada columna o dado son los dígitos que se encuentran en las tablas de multiplicación ordinarias para el entero correspondiente, ubicados encima y debajo de una línea diagonal. (Por ejemplo, los dígitos que se muestran en la séptima fila del dado 4 son 2 ⁄ 8 , que representan 7 × 4 = 28 .) En el ejemplo siguiente para 425 × 6 , los dados se representan aquí como rojo (4), amarillo (2) y azul (5).
La columna más a la izquierda, que precede a los huesos que se muestran coloreados, puede representar el hueso 1. (Se debe entender que hay un espacio en blanco o un cero en la esquina superior izquierda de cada dígito, separado por una línea diagonal, ya que 1 × 1 = 01 , 1 × 2 = 02 , 1 x 3 = 03 , etc.) Se elige un número pequeño, generalmente del 2 al 9, por el cual multiplicar el número grande. En este ejemplo, el número pequeño por el cual multiplicar el mayor es 6. La fila horizontal en la que se encuentra este número es la única fila necesaria para realizar los cálculos restantes y ahora se puede ver de forma aislada.
Para el cálculo, los dígitos separados por líneas verticales (es decir, emparejados entre líneas diagonales, cruzando de un hueso al siguiente) se suman para formar los dígitos del producto. El número final (más a la derecha) en esa fila nunca requerirá suma, ya que siempre está aislado por la última línea diagonal y siempre será el dígito final del producto. En este ejemplo, hay cuatro dígitos, ya que hay cuatro grupos de valores de huesos que se encuentran entre líneas diagonales. Los dígitos del producto se ubicarán en el orden en que se calcularon de izquierda a derecha. Aparte del primer dígito y el último, los dígitos del producto serán cada uno la suma de dos valores tomados de dos huesos diferentes.
Los valores de los huesos se suman, como se describió anteriormente, para encontrar los dígitos del producto. En este diagrama, el tercer dígito del producto de los huesos amarillos y azules tiene sus valores correspondientes coloreados en verde. Cada suma se escribe en el espacio que aparece a continuación. La secuencia de las sumas de izquierda a derecha produce la cifra 2550. Por lo tanto, la solución de multiplicar 425 por 6 es 2550.
Al multiplicar por dígitos individuales más grandes, es común que al sumar una columna diagonal, la suma de los números dé como resultado un número que sea 10 o mayor.
El segundo ejemplo calcula 6785 × 8 .
Al igual que en el ejemplo 1, se colocan en el tablero las fichas correspondientes al número más grande. En este ejemplo, las fichas 6, 7, 8 y 5 se colocaron en el orden correcto, como se muestra a continuación.
En la primera columna se encuentra el número por el que se multiplica el número mayor. En este ejemplo, el número era 8. Solo se utilizará la fila 8 para los cálculos restantes, por lo que se ha despejado el resto del tablero para explicar con claridad los pasos restantes.
Al igual que antes, se evalúa cada columna diagonal, comenzando por el lado derecho. Si la suma de una columna diagonal es igual o mayor a 10, la posición de las "decenas" de esta suma debe trasladarse y sumarse junto con los números de la columna izquierda adyacente, como se muestra a continuación.
Después de evaluar cada columna diagonal, los números calculados se leen de izquierda a derecha para producir una respuesta final; en este ejemplo, se produjo 54280.
Por lo tanto: La solución de multiplicar 6785 por 8 es 54280.
El tercer ejemplo calcula 825 × 913 .
Se colocan en el tablero los dados correspondientes al número inicial. En este ejemplo, los dados 8, 2 y 5 se colocaron en el orden correcto, como se muestra a continuación.
Para multiplicar por un número de varios dígitos, se revisan varias filas. En este ejemplo, se han eliminado del tablero las filas correspondientes al 9, 1 y 3 para mayor claridad.
Cada fila se evalúa individualmente y cada columna diagonal se suma como se explicó en los ejemplos anteriores. Las sumas se leen de izquierda a derecha, lo que produce los números necesarios para los cálculos de suma a mano que siguen. Para este ejemplo, la fila 9, la fila 1 y la fila 3 se evaluaron por separado para producir los resultados que se muestran a continuación.
Comenzando con el dígito más a la derecha del segundo número, las sumas se colocan desde las filas en orden secuencial como se ve de derecha a izquierda una debajo de la otra mientras se utiliza un 0 como marcador de posición.
2475 825 0 7425 00
Las filas y los marcadores de posición se suman para producir una respuesta final.
2475 8250+ 742500 753225
En este ejemplo, la respuesta final obtenida fue 753225. Por lo tanto: La solución de multiplicar 825 por 913 es 753225.
La división se realiza de manera similar. Para dividir 46785399 por 96431, se colocan en el tablero las barras del divisor (96431), como se muestra en el gráfico siguiente. Utilizando el ábaco , se encuentran todos los productos del divisor de 1 a 9 leyendo los números que se muestran. Observe que el dividendo tiene ocho dígitos, mientras que los productos parciales (excepto el primero) tienen todos seis. Por lo tanto, los dos últimos dígitos de 46785399, es decir, el '99', se ignoran temporalmente, dejando el número 467853. Luego, se encuentra el mayor producto parcial que sea menor que el dividendo truncado. En este caso, 385724. Se deben anotar dos cosas, como se ve en el diagrama: dado que 385724 está en la fila '4' del ábaco, se marca un '4' como el dígito más a la izquierda del cociente; También se escribe el producto parcial, alineado a la izquierda, debajo del dividendo original. Se restan los dos términos, lo que da 8212999. Se repiten los mismos pasos: se trunca el número a seis dígitos, se elige el producto parcial inmediatamente menor que el número truncado, se escribe el número de fila como el siguiente dígito del cociente y se resta el producto parcial de la diferencia encontrada en la primera repetición. El proceso se muestra en el diagrama. El ciclo se repite hasta que el resultado de la resta sea menor que el divisor. El número que queda es el resto.
Entonces, en este ejemplo, lo que queda es un cociente de 485 con un residuo de 16364. El proceso generalmente se detiene aquí y la respuesta usa la forma fraccionaria 485+16364/96431 .
Para mayor precisión, se continúa con el ciclo para encontrar tantos decimales como se requiera. Se marca un punto decimal después del último dígito del cociente y se añade un cero al resto, lo que da 163640. Se continúa con el ciclo, añadiendo cada vez un cero al resultado después de la resta.
Para extraer la raíz cuadrada se utiliza un hueso adicional que se diferencia de los demás porque tiene tres columnas. La primera columna tiene los nueve primeros números cuadrados, la segunda tiene los nueve primeros números pares y la última tiene los números del 1 al 9.
Para encontrar la raíz cuadrada de 46785399, sus dígitos se agrupan de dos en dos comenzando desde la derecha de modo que se ve así:
Se elige primero el grupo más a la izquierda, en este caso el 46. Se elige el cuadrado más grande del hueso de la raíz cuadrada menor que 46, que es el 36 de la sexta fila. El primer dígito de la solución es 6, ya que se eligió la sexta fila.
Luego, se coloca en el tablero el número que está en la segunda columna de la sexta fila del hueso de la raíz cuadrada, 12.
El valor de la primera columna de la sexta fila, 36, se resta de 46, lo que deja 10.
El siguiente grupo de dígitos, 78, se agrega junto al 10; esto deja el resto 1078.
En esta etapa, el tablero y los cálculos intermedios deberían verse así:
Se "leen" los números de cada fila, ignorando la segunda y tercera columnas a partir de la raíz cuadrada; estas se registran. (Por ejemplo, la sexta fila se lee como: 0 ⁄ 6 1 ⁄ 2 3 ⁄ 6 → 756 ).
Al igual que en la multiplicación mostrada anteriormente, los números se leen de derecha a izquierda y se suman los números diagonales de arriba a la derecha a abajo a la izquierda ( 6 + 0 = 6 ; 3 + 2 = 5 ; 1 + 6 = 7 ).
Se encuentra el número mayor menor que el resto actual, 1078 (de la octava fila).
Al igual que antes, se agrega 8 para obtener el siguiente dígito de la raíz cuadrada y el valor de la octava fila, 1024, se resta del resto actual, 1078, para obtener 54. Se lee la segunda columna de la octava fila en el hueso de la raíz cuadrada, 16, y el número se coloca en el tablero de la siguiente manera.
El número actual en el tablero es 12. El primer dígito de 16 se suma a 12 y el segundo dígito de 16 se agrega al resultado. Por lo tanto, el tablero debe configurarse de la siguiente manera:
El tablero y los cálculos intermedios ahora se ven así.
Una vez más, se encuentra la fila con el valor más grande menor que el resto parcial actual, 5453. Esta vez, es la tercera fila con 4089.
El siguiente dígito de la raíz cuadrada es 3. Se repiten los mismos pasos que antes y se resta 4089 del resto actual, 5453, para obtener 1364 como el siguiente resto. Cuando se reorganiza el tablero, la segunda columna del hueso de la raíz cuadrada es 6, un solo dígito. Por lo tanto, se agrega 6 al número actual en el tablero, 136, para dejar 1366 en el tablero.
El proceso se repite de nuevo. Ahora, el valor más grande del tablero, menor que el resto actual, 136499, es 123021 de la novena fila.
A menudo no es necesario encontrar el valor de cada fila para obtener la respuesta. La fila que contiene la respuesta se puede adivinar observando el número de los primeros dados y comparándolo con los primeros dígitos del resto. Pero los diagramas muestran el valor de todas las filas para que sea más comprensible.
Se añade 9 al resultado y se resta 123021 del resto actual.
Si se han utilizado todos los dígitos y queda un resto, entonces se resuelve la parte entera, pero todavía es necesario encontrar un bit fraccionario.
Si se resuelve la parte entera, el resultado actual al cuadrado ( 6839 2 = 46771921 ) debe ser el cuadrado perfecto más grande menor que 46785899.
Esta idea se utiliza más adelante para entender cómo funciona la técnica, pero se pueden generar más dígitos.
De manera similar a encontrar la parte fraccionaria en una división larga , se agregan dos ceros al resto para obtener el nuevo resto 1347800. La segunda columna de la novena fila del hueso de la raíz cuadrada es 18 y el número actual en el tablero es 1366.
Se calcula que el valor en el tablero es 13678.
El tablero y los cálculos intermedios ahora se ven así.
La novena fila con 1231101 es el valor más grande menor que el resto, por lo que el primer dígito de la parte fraccionaria de la raíz cuadrada es 9.
El valor de la novena fila se resta del resto y se añaden algunos ceros más para obtener el nuevo resto 11669900. La segunda columna de la novena fila es 18 con 13678 en el tablero, por lo que
Se calcula que el valor en el tablero es 136798.
Se pueden continuar los pasos para encontrar tantos dígitos como se necesiten y si se logra la precisión necesaria. Si el resto es cero, significa que se encontró la raíz cuadrada exacta.
Una vez encontrado el número deseado de dígitos, es fácil determinar si es necesario redondearlo hacia arriba, es decir, cambiar el último dígito. No es necesario encontrar otro dígito para ver si es igual o mayor que 5. Se añade 25 a la raíz y se compara con el resto; si es menor o igual que el resto, entonces el siguiente dígito será al menos cinco y es necesario redondear hacia arriba. En el ejemplo anterior, 6839925 es menor que 11669900, por lo que la raíz debe redondearse hacia arriba a 6840,0.
Para encontrar la raíz cuadrada de un número que no es un entero, digamos 54782.917, todo es igual, excepto que los dígitos a la izquierda y a la derecha del punto decimal se agrupan de dos en dos.
Entonces 54782.917 se agruparía como
Luego la raíz cuadrada se puede encontrar utilizando el proceso mencionado anteriormente.
Durante el siglo XIX, los huesos de Napier fueron transformados para facilitar su lectura. Las varillas se hicieron con un ángulo de unos 65° para que los triángulos que había que añadir estuvieran alineados. En este caso, en cada cuadrado de la varilla la unidad está a la derecha y la decena (o el cero) a la izquierda.
Las varillas se hicieron de tal manera que las líneas verticales y horizontales fueran más visibles que la línea donde se tocaban las varillas, lo que facilitaba la lectura de los dos componentes de cada dígito del resultado. Así, en la imagen se ve inmediatamente que:
En 1891, Henri Genaille inventó una variante de los huesos de Napier que se conocieron como reglas de Genaille-Lucas . Al representar el acarreo gráficamente, los resultados de problemas de multiplicación simples se pueden leer directamente, sin cálculos mentales intermedios. [2]
El siguiente ejemplo calcula 52749 × 4 = 210996 .
Medios relacionados con los huesos de Napier en Wikimedia Commons