Árbol homogéneo

En la teoría descriptiva de conjuntos , se dice que un árbol sobre un conjunto de productos es homogéneo si existe un sistema de medidas tal que se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle Y\times Z}$ ${\displaystyle \langle \mu _{s}\mid s\in {}^{<\omega }Y\rangle }$

• ${\displaystyle \mu _{s}}$es una medida contablemente aditiva en . ${\displaystyle \{t\mid \langle s,t\rangle \in T\}}$
• Las medidas son en cierto sentido compatibles bajo restricción de secuencias: si , entonces . ${\displaystyle s_{1}\subseteq s_{2}}$ ${\displaystyle \mu _{s_{1}}(X)=1\iff \mu _{s_{2}}(\{t\mid t\upharpoonright lh(s_{1})\in X\})=1}$
• Si está en la proyección de , la ultrapotencia de está bien fundada. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \langle \mu _{x\upharpoonright n}\mid n\in \omega \rangle }$

Se produce una definición equivalente cuando la condición final se reemplaza por la siguiente:

• Hay tales que si está en la proyección de y , entonces hay tales que . Esta condición puede considerarse como una especie de condición de completitud contable en el sistema de medidas. ${\displaystyle \langle \mu _{s}\mid s\in {}^{\omega }Y\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [T]}$ ${\displaystyle \forall n\in \omega \,\mu _{x\upharpoonright n}(X_{n})=1}$ ${\displaystyle f\in {}^{\omega }Z}$ ${\displaystyle \forall n\in \omega \,f\upharpoonright n\in X_{n}}$

${\displaystyle T}$Se dice que es -homogéneo si cada uno es -completo. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \mu _{s}}$ ${\displaystyle \kappa }$

Los árboles homogéneos están involucrados en la prueba de determinación proyectiva de Martin y Steel .

Referencias

• Martin, Donald A. y John R. Steel (enero de 1989). "Una prueba de determinación proyectiva". Revista de la Sociedad Matemática Americana . 2 (1). Revista de la Sociedad Matemática Americana, vol. 2, núm. 1: 71–125. doi : 10.2307/1990913 . JSTOR  1990913.