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Material hiperelástico

Curvas de tensión-deformación para varios modelos de materiales hiperelásticos.

Un material hiperelástico o elástico de Green [1] es un tipo de modelo constitutivo de material idealmente elástico para el cual la relación tensión-deformación se deriva de una función de densidad de energía de deformación . El material hiperelástico es un caso especial de un material elástico de Cauchy .

Para muchos materiales, los modelos elásticos lineales no describen con precisión el comportamiento observado del material. El ejemplo más común de este tipo de material es el caucho, cuya relación tensión - deformación puede definirse como no linealmente elástica, isotrópica e incompresible . La hiperelasticidad proporciona un medio para modelar el comportamiento tensión-deformación de tales materiales. [2] El comportamiento de los elastómeros vulcanizados sin relleno a menudo se ajusta estrechamente al ideal hiperelástico. Los elastómeros rellenos y los tejidos biológicos [3] [4] también se modelan a menudo mediante la idealización hiperelástica. Además de usarse para modelar materiales físicos, los materiales hiperelásticos también se usan como medios ficticios, por ejemplo, en el tercer método de contacto del medio .

Ronald Rivlin y Melvin Mooney desarrollaron los primeros modelos hiperelásticos, los sólidos neo-hookeanos y de Mooney-Rivlin . Desde entonces se han desarrollado muchos otros modelos hiperelásticos. Otros modelos de materiales hiperelásticos ampliamente utilizados incluyen el modelo de Ogden y el modelo de Arruda-Boyce .

Modelos de materiales hiperelásticos

Modelo de Saint Venant-Kirchhoff

El modelo de material hiperelástico más simple es el modelo de Saint Venant–Kirchhoff, que es simplemente una extensión del modelo de material elástico geométricamente lineal al régimen geométricamente no lineal. Este modelo tiene la forma general y la forma isotrópica respectivamente donde es la contracción del tensor, es la segunda tensión de Piola–Kirchhoff, es un tensor de rigidez de cuarto orden y es la deformación de Green lagrangiana dada por y son las constantes de Lamé , y es el tensor unitario de segundo orden.

La función de densidad de energía de tensión para el modelo de Saint Venant-Kirchhoff es

y la segunda tensión de Piola-Kirchhoff se puede derivar de la relación

Clasificación de modelos de materiales hiperelásticos

Los modelos de materiales hiperelásticos se pueden clasificar como:

  1. descripciones fenomenológicas del comportamiento observado
  2. modelos mecanicistas derivados de argumentos sobre la estructura subyacente del material
  3. Híbridos de modelos fenomenológicos y mecanicistas

En general, un modelo hiperelástico debería satisfacer el criterio de estabilidad de Drucker . Algunos modelos hiperelásticos satisfacen la hipótesis de Valanis-Landel, que establece que la función de energía de deformación puede descomponerse en la suma de funciones independientes de los estiramientos principales :

Relaciones tensión-deformación

Materiales hiperelásticos compresibles

Primera tensión de Piola-Kirchhoff

Si es la función de densidad de energía de deformación, el primer tensor de tensión de Piola-Kirchhoff se puede calcular para un material hiperelástico como donde es el gradiente de deformación . En términos de la deformación de Green lagrangiana ( ) En términos del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho ( )

Segunda prueba de Piola-Kirchhoff

Si es el segundo tensor de tensión de Piola-Kirchhoff entonces En términos de la deformación de Green lagrangiana En términos del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho La relación anterior también se conoce como fórmula de Doyle-Ericksen en la configuración del material.

Estrés de Cauchy

De manera similar, la tensión de Cauchy se da por En términos de la deformación de Green lagrangiana En términos del tensor de deformación de Cauchy-Green derecho Las expresiones anteriores son válidas incluso para medios anisotrópicos (en cuyo caso, se entiende que la función potencial depende implícitamente de cantidades direccionales de referencia como las orientaciones iniciales de las fibras). En el caso especial de isotropía, la tensión de Cauchy se puede expresar en términos del tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo de la siguiente manera: [7]

Materiales hiperelásticos incompresibles

Para un material incompresible . La restricción de incompresibilidad es, por lo tanto , . Para garantizar la incompresibilidad de un material hiperelástico, la función de deformación-energía se puede escribir en la forma: donde la presión hidrostática funciona como un multiplicador de Lagrangian para hacer cumplir la restricción de incompresibilidad. La primera tensión de Piola-Kirchhoff ahora se convierte en Este tensor de tensión se puede convertir posteriormente en cualquiera de los otros tensores de tensión convencionales, como el tensor de tensión de Cauchy que se da por

Expresiones para el estrés de Cauchy

Materiales hiperelásticos isotrópicos compresibles

Para materiales hiperelásticos isotrópicos , la tensión de Cauchy se puede expresar en términos de los invariantes del tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo (o tensor de deformación de Cauchy-Green derecho ). Si la función de densidad de energía de deformación es entonces (Consulte la página sobre el tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo para conocer las definiciones de estos símbolos).

Prueba 1

El segundo tensor de tensión de Piola-Kirchhoff para un material hiperelástico viene dado por donde es el tensor de deformación de Cauchy-Green derecho y es el gradiente de deformación . La tensión de Cauchy viene dada por donde . Sean los tres invariantes principales de . Entonces Las derivadas de los invariantes del tensor simétrico son Por lo tanto, podemos escribir Sustituyendo en la expresión para la tensión de Cauchy se obtiene Usando el tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo y notando que , podemos escribir Para un material incompresible y por lo tanto . Entonces Por lo tanto, la tensión de Cauchy viene dada por donde es una presión indeterminada que actúa como un multiplicador de Lagrange para imponer la restricción de incompresibilidad.

Si, además , tenemos y por lo tanto En ese caso la tensión de Cauchy se puede expresar como

Prueba 2

El gradiente de deformación isocórico se define como , lo que da como resultado que el gradiente de deformación isocórico tenga un determinante de 1, en otras palabras, no tenga estiramiento de volumen. Usando esto, se puede definir posteriormente el tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo isocórico . Los invariantes de son El conjunto de invariantes que se usan para definir el comportamiento distorsionante son los dos primeros invariantes del tensor de deformación de Cauchy-Green izquierdo isocórico (que son idénticos a los del tensor de estiramiento de Cauchy-Green derecho), y se suman al conjunto para describir el comportamiento volumétrico.

Para expresar la tensión de Cauchy en términos de los invariantes, recordemos que La regla de la cadena de diferenciación nos da Recordemos que la tensión de Cauchy está dada por En términos de los invariantes tenemos Introduciendo las expresiones para las derivadas de en términos de , tenemos o, En términos de la parte desviatoria de , podemos escribir Para un material incompresible y por lo tanto . Entonces la tensión de Cauchy está dada por donde es un término multiplicador de Lagrange indeterminado similar a la presión. Además, si , tenemos y por lo tanto la tensión de Cauchy se puede expresar como

Prueba 3

Para expresar la tensión de Cauchy en términos de los estiramientos, recuerde que La regla de la cadena da La tensión de Cauchy viene dada por Sustituir la expresión para la derivada de conduce a Utilizando la descomposición espectral de tenemos Observe también que Por lo tanto, la expresión para la tensión de Cauchy se puede escribir como Para un material incompresible y, por tanto , . Siguiendo a Ogden [1] p. 485, podemos escribir Se requiere cierto cuidado en esta etapa porque, cuando se repite un valor propio, en general solo es diferenciable de Gateaux , pero no de Fréchet . [8] [9] Una derivada tensorial rigurosa solo se puede encontrar resolviendo otro problema de valor propio.

Si expresamos la tensión en términos de diferencias entre componentes, si además de la incompresibilidad tenemos entonces una posible solución al problema requiere y podemos escribir las diferencias de tensión como

Materiales hiperelásticos isotrópicos incompresibles

Para materiales hiperelásticos isotrópicos incompresibles , la función de densidad de energía de deformación es . La tensión de Cauchy se obtiene entonces mediante donde es una presión indeterminada. En términos de diferencias de tensión Si además , entonces Si , entonces

Consistencia con elasticidad lineal

La consistencia con elasticidad lineal se utiliza a menudo para determinar algunos de los parámetros de los modelos de materiales hiperelásticos. Estas condiciones de consistencia se pueden determinar comparando la ley de Hooke con la hiperelasticidad linealizada a pequeñas deformaciones.

Condiciones de consistencia para modelos hiperelásticos isotrópicos

Para que los materiales hiperelásticos isotrópicos sean consistentes con la elasticidad lineal isotrópica , la relación tensión-deformación debe tener la siguiente forma en el límite de deformación infinitesimal : donde son las constantes de Lamé . La función de densidad de energía de deformación que corresponde a la relación anterior es [1] Para un material incompresible y tenemos Para que cualquier función de densidad de energía de deformación se reduzca a las formas anteriores para deformaciones pequeñas, se deben cumplir las siguientes condiciones [1]

Si el material es incompresible, las condiciones anteriores pueden expresarse de la siguiente forma. Estas condiciones pueden utilizarse para encontrar relaciones entre los parámetros de un modelo hiperelástico dado y los módulos de esfuerzo cortante y de volumen.

Condiciones de consistencia para materiales incompresiblesYo 1materiales a base de caucho

Muchos elastómeros se modelan adecuadamente mediante una función de densidad de energía de deformación que depende únicamente de . Para tales materiales tenemos . Las condiciones de consistencia para materiales incompresibles para pueden entonces expresarse como La segunda condición de consistencia anterior puede derivarse observando que Estas relaciones pueden entonces sustituirse en la condición de consistencia para materiales hiperelásticos incompresibles isotrópicos.

Referencias

  1. ^ abcde RW Ogden, 1984, Deformaciones elásticas no lineales , ISBN  0-486-69648-0 , Dover.
  2. ^ Muhr, AH (2005). "Modelado del comportamiento de tensión-deformación del caucho". Química y tecnología del caucho . 78 (3): 391–425. doi :10.5254/1.3547890.
  3. ^ Gao, H; Ma, X; Qi, N; Berry, C; Griffith, BE; Luo, X (2014). "Un modelo de válvula mitral humana no lineal de deformación finita con interacción fluido-estructura". Int J Numer Methods Biomed Eng . 30 (12): 1597–613. doi :10.1002/cnm.2691. PMC 4278556 . PMID  25319496. 
  4. ^ Jia, F; Ben Amar, M; Billoud, B; Charrier, B (2017). "Morfoelasticidad en el desarrollo del alga parda Ectocarpus siliculosus: del redondeo celular a la ramificación". Interfaz JR Soc . 14 (127): 20160596. doi :10.1098/rsif.2016.0596. PMC 5332559 . PMID  28228537. 
  5. ^ Arruda, EM; Boyce, MC (1993). "Un modelo tridimensional para el comportamiento de gran estiramiento de materiales elásticos de caucho" (PDF) . J. Mech. Phys. Solids . 41 : 389–412. doi :10.1016/0022-5096(93)90013-6. S2CID  136924401.
  6. ^ Buche, MR; Silberstein, MN (2020). "Teoría constitutiva mecánica estadística de redes de polímeros: los vínculos inextricables entre distribución, comportamiento y conjunto". Phys. Rev. E . 102 (1): 012501. arXiv : 2004.07874 . Bibcode :2020PhRvE.102a2501B. doi :10.1103/PhysRevE.102.012501. PMID  32794915. S2CID  215814600.
  7. ^ Y. Basar, 2000, Mecánica continua no lineal de sólidos, Springer, pág. 157.
  8. ^ Fox y Kapoor, Tasas de cambio de valores propios y vectores propios , AIAA Journal , 6 (12) 2426–2429 (1968)
  9. ^ Friswell MI. Las derivadas de valores propios repetidos y sus vectores propios asociados. Revista de vibración y acústica (ASME) 1996; 118:390–397.

Véase también