En álgebra , los términos izquierda y derecha denotan el orden de una operación binaria (generalmente, pero no siempre, llamada " multiplicación ") en estructuras algebraicas no conmutativas . Una operación binaria ∗ generalmente se escribe en forma infija :
El argumento s se coloca en el lado izquierdo y el argumento t está en el lado derecho. Incluso si se omite el símbolo de la operación, el orden de s y t sí importa (a menos que ∗ sea conmutativo).
Una propiedad bilateral se cumple en ambos lados. Una propiedad unilateral está relacionada con uno (no especificado) de dos lados.
Aunque los términos son similares, la distinción izquierda-derecha en el lenguaje algebraico no está relacionada ni con los límites izquierdo y derecho en cálculo , ni con los límites izquierdo y derecho en geometría .
Una operación binaria ∗ puede considerarse como una familia de operadores unarios mediante curry :
dependiendo de t como parámetro, esta es la familia de operaciones correctas . Similarmente,
define la familia de operaciones izquierdas parametrizadas con s .
Si para alguna e , la operación izquierda Le es la operación de identidad , entonces e se llama identidad izquierda . De manera similar, si R e = id , entonces e es una identidad correcta.
En la teoría de anillos , un subanillo que es invariante bajo cualquier multiplicación por la izquierda en un anillo se llama ideal izquierdo . De manera similar, un subanillo invariante de multiplicación correcto es un ideal correcto.
Sobre anillos no conmutativos , la distinción izquierda-derecha se aplica a los módulos , es decir, para especificar el lado donde aparece un escalar (elemento de módulo) en la multiplicación escalar .
La distinción no es puramente sintáctica porque se obtienen dos reglas de asociatividad diferentes (la fila más baja de la tabla) que vinculan la multiplicación en un módulo con la multiplicación en un anillo.
Un bimódulo es simultáneamente un módulo izquierdo y derecho, con dos operaciones de multiplicación escalares diferentes , obedeciendo sobre ellas una condición de asociatividad. [ impreciso ]
En la teoría de categorías, el uso de "izquierda" y "derecha" tiene cierta semejanza algebraica, pero se refiere a los lados izquierdo y derecho de los morfismos . Ver funtores adjuntos .