En matemáticas , un grupo reductivo es un tipo de grupo algebraico lineal sobre un cuerpo . Una definición es que un grupo algebraico lineal conexo G sobre un cuerpo perfecto es reductivo si tiene una representación que tiene un núcleo finito y es una suma directa de representaciones irreducibles . Los grupos reductivos incluyen algunos de los grupos más importantes en matemáticas, como el grupo lineal general GL ( n ) de matrices invertibles , el grupo ortogonal especial SO ( n ) y el grupo simpléctico Sp (2n ) . Los grupos algebraicos simples y (de manera más general) los grupos algebraicos semisimples son reductivos.
Claude Chevalley demostró que la clasificación de los grupos reductivos es la misma sobre cualquier cuerpo algebraico cerrado . En particular, los grupos algebraicos simples se clasifican mediante diagramas de Dynkin , como en la teoría de los grupos de Lie compactos o las álgebras de Lie semisimples complejas . Los grupos reductivos sobre un cuerpo arbitrario son más difíciles de clasificar, pero para muchos cuerpos como los números reales R o un cuerpo de números , la clasificación se entiende bien. La clasificación de los grupos simples finitos dice que la mayoría de los grupos simples finitos surgen como el grupo G ( k ) de k - puntos racionales de un grupo algebraico simple G sobre un cuerpo finito k , o como variantes menores de esa construcción.
Los grupos reductivos tienen una rica teoría de representación en varios contextos. En primer lugar, se pueden estudiar las representaciones de un grupo reductivo G sobre un cuerpo k como un grupo algebraico, que son acciones de G sobre espacios vectoriales k . Pero también se pueden estudiar las representaciones complejas del grupo G ( k ) cuando k es un cuerpo finito, o las representaciones unitarias de dimensión infinita de un grupo reductivo real, o las representaciones automórficas de un grupo algebraico adélico . La teoría de la estructura de los grupos reductivos se utiliza en todas estas áreas.
Un grupo algebraico lineal sobre un cuerpo k se define como un esquema de subgrupo cerrado y suave de GL ( n ) sobre k , para algún entero positivo n . De manera equivalente, un grupo algebraico lineal sobre k es un esquema de grupo afín suave sobre k .
Un grupo algebraico lineal conexo sobre un cuerpo algebraicamente cerrado se denomina semisimple si cada subgrupo normal resoluble conexo suave de es trivial. De manera más general, un grupo algebraico lineal conexo sobre un cuerpo algebraicamente cerrado se denomina reductivo si el mayor subgrupo normal unipotente conexo suave de es trivial. [1] Este subgrupo normal se denomina radical unipotente y se denota . (Algunos autores no requieren que los grupos reductivos sean conexos). Un grupo sobre un cuerpo arbitrario k se denomina semisimple o reductivo si el cambio de base es semisimple o reductivo, donde es un cierre algebraico de k . (Esto es equivalente a la definición de grupos reductivos en la introducción cuando k es perfecto. [2] ) Cualquier toro sobre k , como el grupo multiplicativo G m , es reductivo.
Sobre cuerpos de característica cero otra definición equivalente de grupo reductivo es un grupo conexo que admite una representación semisimple fiel que permanece semisimple sobre su clausura algebraica [3] página 424 .
Un grupo algebraico lineal G sobre un cuerpo k se llama simple (o k - simple ) si es semisimple, no trivial, y cada subgrupo normal conexo suave de G sobre k es trivial o igual a G. [4] (Algunos autores llaman a esta propiedad "casi simple" . ) Esto difiere ligeramente de la terminología para grupos abstractos, en que un grupo algebraico simple puede tener un centro no trivial (aunque el centro debe ser finito). Por ejemplo, para cualquier entero n al menos 2 y cualquier cuerpo k , el grupo SL ( n ) sobre k es simple, y su centro es el esquema de grupo μ n de raíces n- ésimas de la unidad.
Una isogenia central de grupos reductivos es un homomorfismo sobreyectivo con núcleo, un esquema de subgrupo central finito . Todo grupo reductivo sobre un cuerpo admite una isogenia central a partir del producto de un toro y algunos grupos simples. Por ejemplo, sobre cualquier cuerpo k ,
Es un poco extraño que la definición de un grupo reductivo sobre un cuerpo implique el paso a la clausura algebraica. Para un cuerpo perfecto k , esto se puede evitar: un grupo algebraico lineal G sobre k es reductivo si y solo si cada k -subgrupo normal unipotente conexo suave de G es trivial. Para un cuerpo arbitrario, la última propiedad define un grupo pseudo-reductivo , que es algo más general.
Un grupo reductivo G sobre un cuerpo k se llama partido si contiene un toro maximal partido T sobre k (es decir, un toro partido en G cuyo cambio de base a es un toro maximal en ). Es equivalente a decir que T es un toro partido en G que es maximal entre todos los k -toros en G . [5] Este tipo de grupos son útiles porque su clasificación se puede describir a través de datos combinatorios llamados datos raíz.
Un ejemplo fundamental de un grupo reductivo es el grupo lineal general de matrices invertibles n × n sobre un cuerpo k , para un número natural n . En particular, el grupo multiplicativo G m es el grupo GL (1), y por lo tanto su grupo G m ( k ) de puntos k -racionales es el grupo k * de elementos no nulos de k bajo multiplicación. Otro grupo reductivo es el grupo lineal especial SL ( n ) sobre un cuerpo k , el subgrupo de matrices con determinante 1. De hecho, SL ( n ) es un grupo algebraico simple para n al menos 2.
Un grupo simple importante es el grupo simpléctico Sp (2 n ) sobre un cuerpo k , el subgrupo de GL (2 n ) que conserva una forma bilineal alternada no degenerada sobre el espacio vectorial k 2 n . Asimismo, el grupo ortogonal O ( q ) es el subgrupo del grupo lineal general que conserva una forma cuadrática no degenerada q sobre un espacio vectorial sobre un cuerpo k . El grupo algebraico O ( q ) tiene dos componentes conexos , y su componente identidad SO ( q ) es reductivo, de hecho simple para q de dimensión n al menos 3. (Para k de característica 2 y n impar, el esquema de grupo O ( q ) es de hecho conexo pero no suave sobre k . El grupo simple SO ( q ) siempre se puede definir como el subgrupo conexo suave máximo de O ( q ) sobre k .) Cuando k está algebraicamente cerrado, dos formas cuadráticas cualesquiera (no degeneradas) de la misma dimensión son isomorfas, y por lo tanto es razonable llamar a este grupo SO ( n ). Para un cuerpo general k , diferentes formas cuadráticas de dimensión n pueden producir grupos simples no isomorfos SO ( q ) sobre k , aunque todos tienen el mismo cambio de base en el cierre algebraico .
El grupo y sus productos se denominan toros algebraicos . Son ejemplos de grupos reductivos, ya que se incrustan en a través de la diagonal y, a partir de esta representación, su radical unipotente es trivial. Por ejemplo, se incrusta en a partir de la función
Nótese que la normalidad del radical unipotente implica que el grupo cociente es reductivo. Por ejemplo,
Todo grupo de Lie compacto conexo tiene una complejización , que es un grupo algebraico reductivo complejo. De hecho, esta construcción da una correspondencia biunívoca entre grupos de Lie compactos conexos y grupos reductivos complejos, hasta el isomorfismo. Para un grupo de Lie compacto K con complejización G , la inclusión de K en el grupo reductivo complejo G ( C ) es una equivalencia de homotopía , con respecto a la topología clásica en G ( C ). Por ejemplo, la inclusión del grupo unitario U ( n ) en GL ( n , C ) es una equivalencia de homotopía.
Para un grupo reductivo G sobre un cuerpo de característica cero, todas las representaciones de dimensión finita de G (como un grupo algebraico) son completamente reducibles , es decir, son sumas directas de representaciones irreducibles. [6] Esa es la fuente del nombre "reductivo". Nótese, sin embargo, que la reducibilidad completa falla para grupos reductivos en característica positiva (aparte de los toros). En más detalle: un esquema de grupo afín G de tipo finito sobre un cuerpo k se llama linealmente reductivo si sus representaciones de dimensión finita son completamente reducibles. Para k de característica cero, G es linealmente reductivo si y solo si el componente identidad G o de G es reductivo. [7] Para k de característica p >0, sin embargo, Masayoshi Nagata demostró que G es linealmente reductivo si y solo si G o es de tipo multiplicativo y G / G o tiene orden primo a p . [8]
La clasificación de los grupos algebraicos reductivos se realiza en función del sistema de raíces asociado , como en las teorías de álgebras de Lie semisimples complejas o grupos de Lie compactos. Aquí se muestra cómo aparecen las raíces de los grupos reductivos.
Sea G un grupo reductivo dividido sobre un cuerpo k , y sea T un toro maximal dividido en G ; por lo que T es isomorfo a ( G m ) n para algún n , con n llamado el rango de G . Cada representación de T (como un grupo algebraico) es una suma directa de representaciones unidimensionales. [9] Un peso para G significa una clase de isomorfismo de representaciones unidimensionales de T , o equivalentemente un homomorfismo T → G m . Los pesos forman un grupo X ( T ) bajo producto tensorial de representaciones, con X ( T ) isomorfo al producto de n copias de los números enteros , Z n .
La representación adjunta es la acción de G por conjugación sobre su álgebra de Lie . Una raíz de G significa un peso distinto de cero que ocurre en la acción de T ⊂ G sobre . El subespacio de correspondiente a cada raíz es unidimensional, y el subespacio de fijado por T es exactamente el álgebra de Lie de T . [10] Por lo tanto, el álgebra de Lie de G se descompone en junto con subespacios unidimensionales indexados por el conjunto Φ de raíces:
Por ejemplo, cuando G es el grupo GL ( n ), su álgebra de Lie es el espacio vectorial de todas las matrices n × n sobre k . Sea T el subgrupo de matrices diagonales en G . Entonces la descomposición en el espacio raíz se expresa como la suma directa de las matrices diagonales y los subespacios unidimensionales indexados por las posiciones fuera de la diagonal ( i , j ). Escribiendo L 1 ,..., L n para la base estándar para la red de pesos X ( T ) ≅ Z n , las raíces son los elementos L i − L j para todo i ≠ j desde 1 hasta n .
Las raíces de un grupo semisimple forman un sistema de raíces ; se trata de una estructura combinatoria que puede clasificarse completamente. De manera más general, las raíces de un grupo reductivo forman un dato raíz , una ligera variación. [11] El grupo de Weyl de un grupo reductivo G significa el grupo cociente del normalizador de un toro maximal por el toro, W = N G ( T )/ T . El grupo de Weyl es de hecho un grupo finito generado por reflexiones. Por ejemplo, para el grupo GL ( n ) (o SL ( n )), el grupo de Weyl es el grupo simétrico S n .
Hay un número finito de subgrupos de Borel que contienen un toro máximo dado, y se permutan simplemente de manera transitiva por el grupo de Weyl (actuando por conjugación ). [12] La elección de un subgrupo de Borel determina un conjunto de raíces positivas Φ + ⊂ Φ, con la propiedad de que Φ es la unión disjunta de Φ + y −Φ + . Explícitamente, el álgebra de Lie de B es la suma directa del álgebra de Lie de T y los espacios de raíces positivas:
Por ejemplo, si B es el subgrupo de Borel de matrices triangulares superiores en GL ( n ), entonces esta es la descomposición obvia del subespacio de matrices triangulares superiores en . Las raíces positivas son L i − L j para 1 ≤ i < j ≤ n .
Una raíz simple significa una raíz positiva que no es una suma de otras dos raíces positivas. Escriba Δ para el conjunto de raíces simples. El número r de raíces simples es igual al rango del subgrupo conmutador de G , llamado rango semisimple de G (que es simplemente el rango de G si G es semisimple). Por ejemplo, las raíces simples para GL ( n ) (o SL ( n )) son L i − L i +1 para 1 ≤ i ≤ n − 1.
Los sistemas de raíces se clasifican según el diagrama de Dynkin correspondiente, que es un grafo finito (con algunas aristas dirigidas o múltiples). El conjunto de vértices del diagrama de Dynkin es el conjunto de raíces simples. En resumen, el diagrama de Dynkin describe los ángulos entre las raíces simples y sus longitudes relativas, con respecto a un producto interno invariante del grupo de Weyl en la red de pesos. Los diagramas de Dynkin conectados (que corresponden a los grupos simples) se muestran a continuación.
Para un grupo reductivo dividido G sobre un cuerpo k , un punto importante es que una raíz α determina no solo un subespacio unidimensional del álgebra de Lie de G , sino también una copia del grupo aditivo G a en G con el álgebra de Lie dada, llamado subgrupo raíz U α . El subgrupo raíz es la única copia del grupo aditivo en G que está normalizado por T y que tiene el álgebra de Lie dada. [10] El grupo completo G es generado (como un grupo algebraico) por T y los subgrupos raíz, mientras que el subgrupo de Borel B es generado por T y los subgrupos raíz positivos. De hecho, un grupo semisimple dividido G es generado solo por los subgrupos raíz.
Para un grupo reductivo dividido G sobre un cuerpo k , los subgrupos conexos suaves de G que contienen un subgrupo de Borel B de G están en correspondencia biunívoca con los subconjuntos del conjunto Δ de raíces simples (o equivalentemente, los subconjuntos del conjunto de vértices del diagrama de Dynkin). Sea r el orden de Δ, el rango semisimple de G . Cada subgrupo parabólico de G es conjugado a un subgrupo que contiene a B por algún elemento de G ( k ). Como resultado, hay exactamente 2 r clases de conjugación de subgrupos parabólicos en G sobre k . [13] Explícitamente, el subgrupo parabólico correspondiente a un subconjunto dado S de Δ es el grupo generado por B junto con los subgrupos raíz U −α para α en S . Por ejemplo, los subgrupos parabólicos de GL ( n ) que contienen el subgrupo de Borel B anterior son los grupos de matrices invertibles con cero entradas debajo de un conjunto dado de cuadrados a lo largo de la diagonal, tales como:
Por definición, un subgrupo parabólico P de un grupo reductivo G sobre un cuerpo k es un subgrupo k liso tal que la variedad cociente G / P es propia sobre k , o equivalentemente proyectiva sobre k . Por lo tanto, la clasificación de los subgrupos parabólicos equivale a una clasificación de las variedades homogéneas proyectivas para G (con grupo estabilizador liso; esto no es una restricción para k de característica cero). Para GL ( n ), estas son las variedades bandera , que parametrizan secuencias de subespacios lineales de dimensiones dadas a 1 ,..., a i contenidos en un espacio vectorial fijo V de dimensión n :
Para el grupo ortogonal o el grupo simpléctico, las variedades homogéneas proyectivas tienen una descripción similar a las variedades de banderas isótropas con respecto a una forma cuadrática o forma simpléctica dada. Para cualquier grupo reductivo G con un subgrupo de Borel B , G / B se denomina variedad bandera o variedad bandera de G .
Chevalley demostró en 1958 que los grupos reductivos sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado se clasifican hasta el isomorfismo por datos de raíz. [14] En particular, los grupos semisimples sobre un cuerpo algebraicamente cerrado se clasifican hasta las isogenias centrales por su diagrama de Dynkin, y los grupos simples corresponden a los diagramas conexos. Así, hay grupos simples de tipos A n , B n , C n , D n , E 6 , E 7 , E 8 , F 4 , G 2 . Este resultado es esencialmente idéntico a las clasificaciones de grupos de Lie compactos o álgebras de Lie semisimples complejas, por Wilhelm Killing y Élie Cartan en los años 1880 y 1890. En particular, las dimensiones, centros y otras propiedades de los grupos algebraicos simples se pueden leer a partir de la lista de grupos de Lie simples . Es notable que la clasificación de los grupos reductivos sea independiente de la característica. A modo de comparación, hay muchas más álgebras de Lie simples en característica positiva que en característica cero.
Los grupos excepcionales G de tipo G 2 y E 6 habían sido construidos anteriormente, al menos en la forma del grupo abstracto G ( k ), por LE Dickson . Por ejemplo, el grupo G 2 es el grupo de automorfismos de un álgebra de octoniones sobre k . Por el contrario, los grupos de Chevalley de tipo F 4 , E 7 , E 8 sobre un cuerpo de característica positiva eran completamente nuevos.
De manera más general, la clasificación de los grupos reductivos divididos es la misma sobre cualquier cuerpo. [15] Un grupo semisimple G sobre un cuerpo k se llama simplemente conexo si cada isogenia central de un grupo semisimple a G es un isomorfismo. (Para G semisimple sobre los números complejos , estar simplemente conexo en este sentido es equivalente a que G ( C ) esté simplemente conexo en la topología clásica.) La clasificación de Chevalley da que, sobre cualquier cuerpo k , hay un único grupo semisimple dividido simplemente conexo G con un diagrama de Dynkin dado, con grupos simples correspondientes a los diagramas conexos. En el otro extremo, un grupo semisimple es de tipo adjunto si su centro es trivial. Los grupos semisimples divididos sobre k con un diagrama de Dynkin dado son exactamente los grupos G / A , donde G es el grupo simplemente conexo y A es un esquema de k -subgrupos del centro de G .
Por ejemplo, los grupos simples divididos simplemente conexos sobre un cuerpo k correspondientes a los diagramas de Dynkin "clásicos" son los siguientes:
El grupo de automorfismos externo de un grupo reductivo G dividido sobre un cuerpo k es isomorfo al grupo de automorfismos del dato raíz de G. Además, el grupo de automorfismos de G se divide como un producto semidirecto :
donde Z es el centro de G . [16] Para un grupo semisimple simplemente conexo dividido G sobre un cuerpo, el grupo de automorfismo externo de G tiene una descripción más simple: es el grupo de automorfismo del diagrama de Dynkin de G .
Un esquema de grupo G sobre un esquema S se llama reductivo si el morfismo G → S es suave y afín, y cada fibra geométrica es reductiva. (Para un punto p en S , la fibra geométrica correspondiente significa el cambio de base de G a un cierre algebraico del cuerpo de residuos de p .) Extendiendo el trabajo de Chevalley, Michel Demazure y Grothendieck mostraron que los esquemas de grupo reductivos divididos sobre cualquier esquema no vacío S se clasifican por datos raíz. [17] Esta afirmación incluye la existencia de grupos de Chevalley como esquemas de grupo sobre Z , y dice que cada grupo reductivo dividido sobre un esquema S es isomorfo al cambio de base de un grupo de Chevalley de Z a S .
En el contexto de los grupos de Lie en lugar de los grupos algebraicos, un grupo reductivo real es un grupo de Lie G tal que existe un grupo algebraico lineal L sobre R cuyo componente identidad (en la topología de Zariski ) es reductivo, y un homomorfismo G → L ( R ) cuyo núcleo es finito y cuya imagen es abierta en L ( R ) (en la topología clásica). También es estándar asumir que la imagen de la representación adjunta Ad( G ) está contenida en Int( g C ) = Ad( L 0 ( C )) (lo cual es automático para G conexo). [18]
En particular, todo grupo de Lie semisimple conexo (lo que significa que su álgebra de Lie es semisimple) es reductivo. Además, el grupo de Lie R es reductivo en este sentido, ya que puede verse como el componente identidad de GL (1, R ) ≅ R *. El problema de clasificar los grupos reductivos reales se reduce en gran medida a clasificar los grupos de Lie simples. Estos se clasifican por su diagrama de Satake ; o uno puede simplemente referirse a la lista de grupos de Lie simples (hasta recubrimientos finitos).
Se han desarrollado teorías útiles de representaciones admisibles y representaciones unitarias para grupos reductivos reales en esta generalidad. Las principales diferencias entre esta definición y la definición de un grupo algebraico reductivo tienen que ver con el hecho de que un grupo algebraico G sobre R puede ser conexo como un grupo algebraico mientras que el grupo de Lie G ( R ) no lo es, y lo mismo ocurre con los grupos simplemente conexos.
Por ejemplo, el grupo lineal proyectivo PGL (2) está conectado como un grupo algebraico sobre cualquier cuerpo, pero su grupo de puntos reales PGL (2, R ) tiene dos componentes conectados. El componente identidad de PGL (2, R ) (a veces llamado PSL (2, R )) es un grupo reductivo real que no puede verse como un grupo algebraico. De manera similar, SL (2) está simplemente conectado como un grupo algebraico sobre cualquier cuerpo, pero el grupo de Lie SL (2, R ) tiene un grupo fundamental isomorfo a los enteros Z , y por lo tanto SL (2, R ) tiene espacios de recubrimiento no triviales . Por definición, todos los recubrimientos finitos de SL (2, R ) (como el grupo metapléctico ) son grupos reductivos reales. Por otra parte, la cubierta universal de SL (2, R ) no es un grupo reductivo real, aunque su álgebra de Lie es reductiva , es decir, el producto de un álgebra de Lie semisimple y un álgebra de Lie abeliana.
Para un grupo reductivo real conexo G , la variedad cociente G / K de G por un subgrupo compacto maximalista K es un espacio simétrico de tipo no compacto. De hecho, todo espacio simétrico de tipo no compacto surge de esta manera. Estos son ejemplos centrales en la geometría de Riemann de variedades con curvatura seccional no positiva . Por ejemplo, SL (2, R )/ SO (2) es el plano hiperbólico , y SL (2, C )/ SU (2) es el 3-espacio hiperbólico.
Para un grupo reductivo G sobre un cuerpo k que es completo con respecto a una valoración discreta (tal como los números p-ádicos Q p ), el edificio afín X de G desempeña el papel del espacio simétrico. Es decir, X es un complejo simplicial con una acción de G ( k ), y G ( k ) conserva una métrica CAT(0) en X , el análogo de una métrica con curvatura no positiva. La dimensión del edificio afín es el k -rango de G . Por ejemplo, el edificio de SL (2, Q p ) es un árbol .
Para un grupo reductivo dividido G sobre un cuerpo k , las representaciones irreducibles de G (como un grupo algebraico) están parametrizadas por los pesos dominantes , que se definen como la intersección de la red de pesos X ( T ) ≅ Z n con un cono convexo (una cámara de Weyl ) en R n . En particular, esta parametrización es independiente de la característica de k . Con más detalle, fije un toro maximal dividido y un subgrupo de Borel, T ⊂ B ⊂ G . Entonces B es el producto semidirecto de T con un subgrupo unipotente conexo suave U . Defina un vector de peso más alto en una representación V de G sobre k como un vector distinto de cero v tal que B mapea la línea abarcada por v en sí misma. Entonces B actúa sobre esa línea a través de su grupo cociente T , por algún elemento λ de la red de pesos X ( T ). Chevalley demostró que cada representación irreducible de G tiene un único vector de peso máximo hasta escalares; el "peso máximo" correspondiente λ es dominante; y cada peso dominante λ es el peso máximo de una única representación irreducible L (λ) de G , hasta el isomorfismo. [19]
Queda el problema de describir la representación irreducible con el mayor peso dado. Para k de característica cero, existen respuestas esencialmente completas. Para un peso dominante λ, defina el módulo de Schur ∇(λ) como el k -espacio vectorial de secciones del fibrado de líneas G -equivariante en la variedad bandera G / B asociada a λ; esta es una representación de G . Para k de característica cero, el teorema de Borel-Weil dice que la representación irreducible L (λ) es isomorfa al módulo de Schur ∇(λ). Además, la fórmula del carácter de Weyl da el carácter (y en particular la dimensión) de esta representación.
Para un grupo reductivo dividido G sobre un cuerpo k de característica positiva, la situación es mucho más sutil, porque las representaciones de G no son típicamente sumas directas de irreducibles. Para un peso dominante λ, la representación irreducible L (λ) es el único submódulo simple (el zócalo ) del módulo de Schur ∇(λ), pero no necesita ser igual al módulo de Schur. La dimensión y el carácter del módulo de Schur están dados por la fórmula del carácter de Weyl (como en la característica cero), de George Kempf . [20] Las dimensiones y caracteres de las representaciones irreducibles L (λ) son en general desconocidos, aunque se ha desarrollado un gran cuerpo de teoría para analizar estas representaciones. Un resultado importante es que la dimensión y el carácter de L (λ) son conocidos cuando la característica p de k es mucho mayor que el número de Coxeter de G , por Henning Andersen , Jens Jantzen y Wolfgang Soergel (probando la conjetura de Lusztig en ese caso). Su fórmula de caracteres para p grande se basa en los polinomios de Kazhdan–Lusztig , que son combinatoriamente complejos. [21] Para cualquier primo p , Simon Riche y Geordie Williamson conjeturaron los caracteres irreducibles de un grupo reductivo en términos de los polinomios p -Kazhdan-Lusztig, que son incluso más complejos, pero al menos son computables. [22]
Como se ha comentado anteriormente, la clasificación de los grupos reductivos divididos es la misma en cualquier cuerpo. Por el contrario, la clasificación de grupos reductivos arbitrarios puede ser difícil, dependiendo del cuerpo base. Algunos ejemplos entre los grupos clásicos son:
Como resultado, el problema de clasificar grupos reductivos sobre k incluye esencialmente el problema de clasificar todas las formas cuadráticas sobre k o todas las álgebras simples centrales sobre k . Estos problemas son fáciles para k algebraicamente cerrados, y se entienden para algunos otros campos como los campos numéricos, pero para campos arbitrarios hay muchas preguntas abiertas.
Un grupo reductivo sobre un cuerpo k se denomina isótropo si tiene un rango k mayor que 0 (es decir, si contiene un toro dividido no trivial), y anisotrópico en caso contrario . Para un grupo semisimple G sobre un cuerpo k , las siguientes condiciones son equivalentes:
Para k perfecto, también es equivalente decir que G ( k ) contiene un elemento unipotente distinto de 1. [25]
Para un grupo algebraico lineal conexo G sobre un cuerpo local k de característica cero (como los números reales), el grupo G ( k ) es compacto en la topología clásica (basada en la topología de k ) si y solo si G es reductivo y anisotrópico. [26] Ejemplo: el grupo ortogonal SO ( p , q ) sobre R tiene rango real min( p , q ), y por lo tanto es anisotrópico si y solo si p o q es cero. [23]
Un grupo reductivo G sobre un cuerpo k se llama cuasi-dividido si contiene un subgrupo de Borel sobre k . Un grupo reductivo dividido es cuasi-dividido. Si G está cuasi-dividido sobre k , entonces dos subgrupos de Borel cualesquiera de G son conjugados por algún elemento de G ( k ). [27] Ejemplo: el grupo ortogonal SO ( p , q ) sobre R está dividido si y solo si | p − q | ≤ 1, y está cuasi-dividido si y solo si | p − q | ≤ 2. [23]
Para un grupo semisimple dividido simplemente conexo G sobre un cuerpo k , Robert Steinberg dio una presentación explícita del grupo abstracto G ( k ). [28] Se genera mediante copias del grupo aditivo de k indexado por las raíces de G (los subgrupos raíz), con relaciones determinadas por el diagrama de Dynkin de G .
Para un grupo semisimple dividido simplemente conexo G sobre un cuerpo perfecto k , Steinberg también determinó el grupo de automorfismos del grupo abstracto G ( k ). Cada automorfismo es el producto de un automorfismo interno , un automorfismo diagonal (es decir, la conjugación por un punto adecuado de un toro maximal), un automorfismo de grafo (que corresponde a un automorfismo del diagrama de Dynkin) y un automorfismo de cuerpo (que proviene de un automorfismo del cuerpo k ). [29]
Para un grupo algebraico k -simple G , el teorema de simplicidad de Tits dice que el grupo abstracto G ( k ) está cerca de ser simple, bajo supuestos suaves. Es decir, supongamos que G es isótropo sobre k , y supongamos que el cuerpo k tiene al menos 4 elementos. Sea G ( k ) + el subgrupo del grupo abstracto G ( k ) generado por k -puntos de copias del grupo aditivo G a sobre k contenido en G . (Por el supuesto de que G es isótropo sobre k , el grupo G ( k ) + no es trivial, e incluso denso según Zariski en G si k es infinito.) Entonces el grupo cociente de G ( k ) + por su centro es simple (como un grupo abstracto). [30] La prueba utiliza la maquinaria de pares BN de Jacques Tits .
Las excepciones para cuerpos de orden 2 o 3 son bien entendidas. Para k = F 2 , el teorema de simplicidad de Tits sigue siendo válido excepto cuando G es una división de tipo A 1 , B 2 o G 2 , o no división (es decir, unitaria) de tipo A 2 . Para k = F 3 , el teorema se cumple excepto para G de tipo A 1 . [31]
Para un grupo k -simple G , para entender el grupo completo G ( k ), se puede considerar el grupo de Whitehead W ( k , G )= G ( k )/ G ( k ) + . Para G simplemente conexo y cuasi-dividido, el grupo de Whitehead es trivial, y por lo tanto el grupo completo G ( k ) es simple módulo su centro. [32] De manera más general, el problema de Kneser-Tits pregunta para qué grupos k -simples isótropos es trivial el grupo de Whitehead. En todos los ejemplos conocidos, W ( k , G ) es abeliano.
Para un grupo k -simple anisotrópico G , el grupo abstracto G ( k ) puede estar lejos de ser simple. Por ejemplo, sea D un álgebra de división con centro en un cuerpo p -ádico k . Supóngase que la dimensión de D sobre k es finita y mayor que 1. Entonces G = SL (1, D ) es un grupo k -simple anisotrópico . Como se mencionó anteriormente, G ( k ) es compacto en la topología clásica. Dado que también está totalmente desconectado , G ( k ) es un grupo profinito (pero no finito). Como resultado, G ( k ) contiene infinitos subgrupos normales de índice finito . [33]
Sea G un grupo algebraico lineal sobre los números racionales Q . Entonces G puede extenderse a un esquema de grupo afín G sobre Z , y esto determina un grupo abstracto G ( Z ). Un grupo aritmético significa cualquier subgrupo de G ( Q ) que sea conmensurable con G ( Z ). (La aritmeticidad de un subgrupo de G ( Q ) es independiente de la elección de la Z -estructura). Por ejemplo, SL ( n , Z ) es un subgrupo aritmético de SL ( n , Q ).
Para un grupo de Lie G , una red en G significa un subgrupo discreto Γ de G tal que la variedad G /Γ tiene volumen finito (con respecto a una medida invariante en G ). Por ejemplo, un subgrupo discreto Γ es una red si G /Γ es compacto. El teorema de aritmeticidad de Margulis dice, en particular: para un grupo de Lie simple G de rango real al menos 2, cada red en G es un grupo aritmético.
En la búsqueda de clasificar grupos reductivos que no necesitan ser divididos, un paso es el índice de Tits , que reduce el problema al caso de grupos anisotrópicos. Esta reducción generaliza varios teoremas fundamentales en álgebra. Por ejemplo, el teorema de descomposición de Witt dice que una forma cuadrática no degenerada sobre un cuerpo está determinada hasta el isomorfismo por su índice de Witt junto con su núcleo anisotrópico. Del mismo modo, el teorema de Artin-Wedderburn reduce la clasificación de álgebras simples centrales sobre un cuerpo al caso de álgebras de división. Generalizando estos resultados, Tits mostró que un grupo reductivo sobre un cuerpo k está determinado hasta el isomorfismo por su índice de Tits junto con su núcleo anisotrópico, un grupo k semisimple anisotrópico asociado .
Para un grupo reductivo G sobre un cuerpo k , el grupo absoluto de Galois Gal( k s / k ) actúa (continuamente) sobre el diagrama de Dynkin "absoluto" de G , es decir, el diagrama de Dynkin de G sobre una clausura separable k s (que también es el diagrama de Dynkin de G sobre una clausura algebraica ). El índice de Tits de G consiste en el dato raíz de G k s , la acción de Galois sobre su diagrama de Dynkin y un subconjunto invariante de Galois de los vértices del diagrama de Dynkin. Tradicionalmente, el índice de Tits se dibuja rodeando las órbitas de Galois en el subconjunto dado.
Existe una clasificación completa de los grupos cuasi-split en estos términos. Es decir, para cada acción del grupo absoluto de Galois de un cuerpo k en un diagrama de Dynkin, existe un único grupo cuasi-split semisimple simplemente conexo H sobre k con la acción dada. (Para un grupo cuasi-split, cada órbita de Galois en el diagrama de Dynkin está rodeada por un círculo). Además, cualquier otro grupo semisimple simplemente conexo G sobre k con la acción dada es una forma interna del grupo cuasi-split H , lo que significa que G es el grupo asociado a un elemento del conjunto de cohomología de Galois H 1 ( k , H / Z ), donde Z es el centro de H . En otras palabras, G es el giro de H asociado a algún H / Z -torsor sobre k , como se analiza en la siguiente sección.
Ejemplo: Sea q una forma cuadrática no degenerada de dimensión par 2 n sobre un cuerpo k de característica distinta de 2, con n ≥ 5. (Estas restricciones se pueden evitar.) Sea G el grupo simple SO ( q ) sobre k . El diagrama de Dynkin absoluto de G es de tipo D n , y por tanto su grupo de automorfismos es de orden 2, intercambiando las dos "patas" del diagrama D n . La acción del grupo de Galois absoluto de k en el diagrama de Dynkin es trivial si y solo si el discriminante con signo d de q en k */( k *) 2 es trivial. Si d no es trivial, entonces está codificado en la acción de Galois en el diagrama de Dynkin: el subgrupo de índice 2 del grupo de Galois que actúa como identidad es . El grupo G se divide si y solo si q tiene un índice de Witt n , el máximo posible, y G se divide casi por completo si y solo si q tiene un índice de Witt de al menos n − 1. [23]
Un torsor para un esquema de grupo afín G sobre un cuerpo k significa un esquema afín X sobre k con una acción de G tal que es isomorfo a la acción de sobre sí mismo por traslación izquierda. Un torsor también puede verse como un fibrado G principal sobre k con respecto a la topología fppf sobre k , o la topología étale si G es suave sobre k . El conjunto puntiagudo de clases de isomorfismo de G -torsores sobre k se llama H 1 ( k , G ), en el lenguaje de la cohomología de Galois.
Los torsores surgen siempre que uno busca clasificar formas de un objeto algebraico dado Y sobre un cuerpo k , es decir, objetos X sobre k que se vuelven isomorfos a Y sobre la clausura algebraica de k . Es decir, tales formas (hasta el isomorfismo) están en correspondencia biunívoca con el conjunto H 1 ( k , Aut ( Y )). Por ejemplo, las formas cuadráticas (no degeneradas) de dimensión n sobre k se clasifican por H 1 ( k , O ( n )), y las álgebras simples centrales de grado n sobre k se clasifican por H 1 ( k , PGL ( n )). Además, las k -formas de un grupo algebraico dado G (a veces llamadas "giros" de G ) se clasifican por H 1 ( k , Aut ( G )). Estos problemas motivan el estudio sistemático de los G -torsores, especialmente para grupos reductivos G .
Cuando sea posible, se espera clasificar los G -torsores usando invariantes cohomológicos , que son invariantes que toman valores en la cohomología de Galois con grupos de coeficientes abelianos M , H a ( k , M ). En esta dirección, Steinberg demostró la "Conjetura I" de Serre : para un grupo algebraico lineal conexo G sobre un cuerpo perfecto de dimensión cohomológica como máximo 1, H 1 ( k , G ) = 1. [34] (El caso de un cuerpo finito se conocía anteriormente, como el teorema de Lang ). De ello se deduce, por ejemplo, que todo grupo reductivo sobre un cuerpo finito está cuasi-dividido.
La conjetura II de Serre predice que para un grupo semisimple simplemente conexo G sobre un cuerpo de dimensión cohomológica como máximo 2, H 1 ( k , G ) = 1. La conjetura es conocida para un cuerpo de números totalmente imaginario (que tiene dimensión cohomológica 2). De manera más general, para cualquier cuerpo de números k , Martin Kneser , Günter Harder y Vladimir Chernousov (1989) demostraron el principio de Hasse : para un grupo semisimple simplemente conexo G sobre k , la función
es biyectiva. [35] Aquí v recorre todos los lugares de k , y k v es el cuerpo local correspondiente (posiblemente R o C ). Además, el conjunto puntiagudo H 1 ( k v , G ) es trivial para todo cuerpo local no arquimídeo k v , y por tanto sólo importan los lugares reales de k . El resultado análogo para un cuerpo global k de característica positiva fue demostrado anteriormente por Harder (1975): para todo grupo semisimple simplemente conexo G sobre k , H 1 ( k , G ) es trivial (ya que k no tiene lugares reales). [36]
En el caso ligeramente diferente de un grupo adjunto G sobre un cuerpo de números k , el principio de Hasse se cumple en una forma más débil: la función natural
es inyectiva. [37] Para G = PGL ( n ), esto equivale al teorema de Albert–Brauer–Hasse–Noether , que dice que un álgebra simple central sobre un cuerpo numérico está determinada por sus invariantes locales.
Basándonos en el principio de Hasse, la clasificación de grupos semisimples sobre cuerpos de números es bien entendida. Por ejemplo, hay exactamente tres formas Q del grupo excepcional E 8 , que corresponden a las tres formas reales de E 8 .
