En teoría de grupos , un tema del álgebra abstracta , los grupos de Mathieu son los cinco grupos simples esporádicos M 11 , M 12 , M 22 , M 23 y M 24 introducidos por Mathieu (1861, 1873). Son grupos de permutaciones múltiples transitivas en 11, 12, 22, 23 o 24 objetos. Son los primeros grupos esporádicos descubiertos.
A veces, la notación M 8 M 9 , M 10 , M 20 y M 21 se utiliza para grupos relacionados (que actúan sobre conjuntos de 9, 10, 20 y 21 puntos, respectivamente), es decir, los estabilizadores de puntos en los grupos más grandes. Si bien estos no son grupos simples esporádicos, son subgrupos de grupos más grandes y pueden usarse para construir los más grandes. John Conway ha demostrado que también se puede extender esta secuencia hacia arriba, obteniendo el grupoide de Mathieu M 13 que actúa sobre 13 puntos. M 21 es simple, pero no es un grupo esporádico, siendo isomorfo a PSL(3,4).
Mathieu (1861, p.271) introdujo el grupo M 12 como parte de una investigación de grupos de permutaciones múltiples transitivas y mencionó brevemente (en la página 274) el grupo M 24 , dando su orden. En Mathieu (1873) dio más detalles, incluidos conjuntos generadores explícitos para sus grupos, pero no fue fácil ver en sus argumentos que los grupos generados no son simplemente grupos alternos , y durante varios años la existencia de sus grupos fue controvertida. Miller (1898) incluso publicó un artículo afirmando erróneamente que demostraba que M 24 no existe, aunque poco después en (Miller 1900) señaló que su prueba era errónea y demostró que los grupos de Mathieu son simples. Witt (1938a, 1938b) finalmente despejó las dudas sobre la existencia de estos grupos, al construirlos como extensiones transitivas sucesivas de grupos de permutación, así como grupos de automorfismos de sistemas de Steiner .
Después de los grupos de Mathieu no se encontraron nuevos grupos esporádicos hasta 1965, cuando se descubrió el grupo J 1 .
Mathieu estaba interesado en encontrar grupos de permutaciones transitivas múltiples , que ahora se definirán. Para un número natural k , un grupo de permutaciones G que actúa sobre n puntos es k -transitivo si, dados dos conjuntos de puntos a 1 , ... a k y b 1 , ... b k con la propiedad de que todos los a i son distintos y todos los b i son distintos, hay un elemento de grupo g en G que asigna a i a b i para cada i entre 1 y k . Tal grupo se llama netamente k -transitivo si el elemento g es único (es decir, la acción sobre k -tuplas es regular , en lugar de simplemente transitiva).
M 24 es 5-transitivo, y M 12 es claramente 5-transitivo, siendo los otros grupos de Mathieu (simples o no) los subgrupos correspondientes a estabilizadores de m puntos y, en consecuencia, de menor transitividad ( M 23 es 4-transitivo, etc. .). Estos son los únicos dos grupos 5-transitivos que no son grupos simétricos ni grupos alternos (Cameron 1992, p. 139).
Los únicos grupos 4-transitivos son los grupos simétricos S k para k al menos 4, los grupos alternos A k para k al menos 6 y los grupos de Mathieu M 24 , M 23 , M 12 y M 11 . (Cameron 1999, p. 110) La prueba completa requiere la clasificación de grupos finitos simples , pero algunos casos especiales se conocen desde hace mucho más tiempo.
Es un resultado clásico de Jordan que los grupos simétricos y alternos (de grado k y k + 2 respectivamente), y M 12 y M 11 son los únicos grupos de permutación marcadamente k -transitivos para k al menos 4.
Ejemplos importantes de grupos transitivos múltiples son los grupos 2-transitivos y los grupos de Zassenhaus . Los grupos de Zassenhaus incluyen en particular el grupo lineal general proyectivo de una línea proyectiva sobre un campo finito, PGL(2, F q ), que es marcadamente 3-transitivo (ver relación cruzada ) en elementos.
Los grupos de Mathieu se pueden construir de varias maneras.
M 12 tiene un subgrupo simple de orden 660, un subgrupo máximo. Ese subgrupo es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo PSL 2 ( F 11 ) sobre el campo de 11 elementos . Con −1 escrito como a e infinito como b , dos generadores estándar son (0123456789a) y (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). Un tercer generador que da M 12 envía un elemento x de F 11 a 4 x 2 − 3 x 7 ; como una permutación que es (26a7)(3945).
Este grupo resulta no ser isomorfo a ningún miembro de las infinitas familias de grupos finitos simples y se llama esporádico. M 11 es el estabilizador de un punto en M 12 , y resulta ser también un grupo simple esporádico. M 10 , el estabilizador de dos puntos, no es esporádico, sino que es un grupo casi simple cuyo subgrupo conmutador es el grupo alterno A 6 . Por tanto, está relacionado con el excepcional automorfismo exterior de A 6 . El estabilizador de 3 puntos es el grupo unitario especial proyectivo PSU (3,2 2 ), que tiene solución. El estabilizador de 4 puntos es el grupo cuaternión .
Asimismo, M 24 tiene un subgrupo simple máximo de orden 6072 isomorfo a PSL 2 ( F 23 ). Un generador suma 1 a cada elemento del campo (dejando fijo el punto N en el infinito), es decir (0123456789ABCDEFGHIJKLM)( N ), y el otro es la permutación de orden inverso , (0N)(1M)(2B)(3F)( 4H)(59)(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). Un tercer generador que da M 24 envía un elemento x de F 23 a 4 x 4 − 3 x 15 (que envía cuadrados perfectos vía y cuadrados no perfectos vía ); El cálculo muestra que, como permutación, esto es (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF).
Los estabilizadores de 1 y 2 puntos, M 23 y M 22 también resultan ser grupos simples esporádicos. El estabilizador de 3 puntos es simple e isomorfo al grupo lineal especial proyectivo PSL 3 (4).
Estas construcciones fueron citadas por Carmichael (1956, págs. 151, 164, 263). Dixon y Mortimer (1996, p.209) atribuyen las permutaciones a Mathieu.
Existe hasta equivalencia un único sistema Steiner S (5,8,24) W 24 (el diseño de Witt ). El grupo M 24 es el grupo de automorfismo de este sistema Steiner; es decir, el conjunto de permutaciones que asignan cada bloque a algún otro bloque. Los subgrupos M 23 y M 22 se definen como los estabilizadores de un solo punto y de dos puntos respectivamente.
De manera similar, existe hasta equivalencia un único sistema Steiner S (5,6,12) W 12 , y el grupo M 12 es su grupo de automorfismos. El subgrupo M 11 es el estabilizador de un punto.
W 12 se puede construir a partir de la geometría afín en el espacio vectorial F 3 × F 3 , un sistema S (2,3,9).
Una construcción alternativa de W 12 es el 'Kitten' de Curtis (1984).
En el libro de Conway y Sloane se puede encontrar una introducción a la construcción de W 24 a través del Miracle Octad Generator de RT Curtis y el análogo de Conway para W 12 , el miniMOG .
El grupo M 24 es el grupo de automorfismos de permutación del código binario extendido de Golay W , es decir, el grupo de permutaciones en las 24 coordenadas que asignan W a sí mismo. Todos los grupos de Mathieu se pueden construir como grupos de permutaciones en el código binario Golay.
M 12 tiene índice 2 en su grupo de automorfismo, y M 12 :2 resulta ser isomorfo a un subgrupo de M 24 . M 12 es el estabilizador de un dodecad , una palabra clave de 12 1; M 12 :2 estabiliza una partición en 2 dodécadas complementarias.
Existe una conexión natural entre los grupos de Mathieu y los grupos de Conway más grandes , porque la red Leech se construyó en el código binario Golay y, de hecho, ambos se encuentran en espacios de dimensión 24. Los grupos de Conway, a su vez, se encuentran en el grupo Monster . Robert Griess se refiere a los 20 grupos esporádicos que se encuentran en Monster como la Familia Feliz , y a los grupos de Mathieu como la primera generación .
Los grupos de Mathieu pueden construirse a través de dibujos de niños , con el dibujo asociado a M 12 llamado sugerentemente "Monsieur Mathieu" por le Bruyn (2007).
