Grupo cuántico compacto

Estructura abstracta en matemáticas.

En matemáticas , los grupos cuánticos compactos son generalizaciones de grupos compactos , donde el álgebra conmutativa de funciones continuas de valores complejos en un grupo compacto se generaliza a una estructura abstracta en un álgebra unital no necesariamente conmutativa , que desempeña el papel de " álgebra de funciones continuas de valores complejos en el grupo cuántico compacto". ^[1] ${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} ^{*}}$

La motivación básica de esta teoría proviene de la siguiente analogía. El espacio de funciones de valores complejos en un espacio topológico compacto de Hausdorff forma un álgebra C* conmutativa . Por otro lado, según el teorema de Gelfand , un álgebra C* conmutativa es isomorfa al álgebra C* de funciones continuas de valores complejos en un espacio topológico compacto de Hausdorff, y el espacio topológico está determinado únicamente por el álgebra C* hasta el homeomorfismo .

SL Woronowicz ^[2] introdujo el importante concepto de grupos cuánticos matriciales compactos , a los que inicialmente llamó pseudogrupos compactos . Los grupos cuánticos matriciales compactos son estructuras abstractas en las que las "funciones continuas" de la estructura están dadas por elementos de un álgebra C*. La geometría de un grupo cuántico de matriz compacta es un caso especial de geometría no conmutativa .

Formulación

Para un grupo topológico compacto , G , existe un homomorfismo de álgebra C*

${\displaystyle \Delta :C(G)\to C(G)\otimes C(G)}$

donde C ( G ) ⊗ C ( G ) es el producto tensorial de álgebra C* mínimo (la compleción del producto tensor algebraico de C ( G ) y C ( G ) ), tal que

${\displaystyle \Delta (f)(x,y)=f(xy)}$

para todos , y para todos , donde ${\displaystyle f\in C(G)}$ ${\displaystyle x,y\in G}$

${\displaystyle (f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)}$

para todos y todas . También existe un mapeo multiplicativo lineal. ${\displaystyle f,g\in C(G)}$ ${\displaystyle x,y\in G}$

${\displaystyle \kappa :C(G)\to C(G)}$,

tal que

${\displaystyle \kappa (f)(x)=f(x^{-1})}$

para todos y todas . Estrictamente hablando, esto no convierte a C ( G ) en un álgebra de Hopf , a menos que G sea finito. ${\displaystyle f\in C(G)}$ ${\displaystyle x\in G}$

Por otro lado, se puede utilizar una representación de dimensión finita de G para generar una *-subálgebra de C ( G ) que también es una *-álgebra de Hopf. Específicamente, si

${\displaystyle g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}}$

es una representación n -dimensional de G , entonces

${\displaystyle u_{ij}\in C(G)}$

para todo i , j y

${\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}}$

para todo i , j . De ello se deduce que el álgebra * generada por para todo i , j y para todo i , j es un álgebra * de Hopf: la unidad está determinada por ${\displaystyle u_{ij}}$ ${\displaystyle \kappa (u_{ij})}$

${\displaystyle \epsilon (u_{ij})=\delta _{ij}}$

para todos (donde está el delta de Kronecker ), la antípoda es κ , y la unidad está dada por ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

${\displaystyle 1=\sum _{k}u_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _{k}\kappa (u_{1k})u_{k1}.}$

Grupos cuánticos de matriz compacta

Como generalización, un grupo cuántico matricial compacto se define como un par ( C , u ) , donde C es un álgebra C* y

${\displaystyle u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

es una matriz con entradas en C tal que

• La *-subálgebra, C ₀ , de C , que es generada por los elementos de la matriz de u , es densa en C ;
• Existe un homomorfismo de álgebra C*, llamado comultiplicación, Δ : C → C ⊗ C (aquí C ⊗ C es el producto tensorial de álgebra C* - la compleción del producto tensorial algebraico de C y C ) tal que

${\displaystyle \forall i,j:\qquad \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj};}$

• Existe un mapa antimultiplicativo lineal, llamado coinverso, κ  : C ₀ → C ₀ tal que para todos y donde I es el elemento identidad de C . Dado que κ es antimultiplicativo, κ ( vw ) = κ ( w ) κ ( v ) para todos . ${\displaystyle \kappa (\kappa (v*)*)=v}$ ${\displaystyle v\in C_{0}}$ ${\displaystyle \sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,}$ ${\displaystyle v,w\in C_{0}}$

Como consecuencia de la continuidad, la comultiplicación en C es coasociativa.

En general, C es una biálgebra y C ₀ es un álgebra de Hopf *.

Informalmente, C puede considerarse como el *-álgebra de funciones continuas de valores complejos sobre el grupo cuántico de matriz compacta, y u puede considerarse como una representación de dimensión finita del grupo cuántico de matriz compacta.

Grupos cuánticos compactos

Para las álgebras C* A y B que actúan sobre los espacios de Hilbert H y K respectivamente, su producto tensorial mínimo se define como la terminación normal del producto tensorial algebraico A ⊗ B en B ( H ⊗ K ) ; la compleción de la norma también se denota por A ⊗ B .

Un grupo cuántico compacto ^{[3] [4]} se define como un par ( C , Δ) , donde C es un álgebra C* unital y

• Δ : C → C ⊗ C es un homomorfismo unital * que satisface (Δ ⊗ id) Δ = (id ⊗ Δ) Δ ;
• los conjuntos {( C ⊗ 1) Δ( C )} y {(1 ⊗ C ) Δ( C )} son densos en C ⊗ C .

Representaciones

Una representación del grupo cuántico de matriz compacta viene dada por una representación central del álgebra * de Hopf ^[5] Además, una representación, v , se llama unitaria si la matriz para v es unitaria, o de manera equivalente, si

${\displaystyle \forall i,j:\qquad \kappa (v_{ij})=v_{ji}^{*}.}$

Ejemplo

Un ejemplo de grupo cuántico de matriz compacta es SU _μ (2) , ^[6] donde el parámetro μ es un número real positivo.

Primera definición

SU _μ (2) = ( C (SU _μ (2)), u ) , donde C (SU _μ (2)) es el álgebra C* generada por α y γ , sujeta a

${\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,\ \alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,\ \alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,\ \alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,}$

y

${\displaystyle u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

de modo que la comultiplicación está determinada por y el coinverso está determinado por . Tenga en cuenta que u es una representación, pero no una representación unitaria . u es equivalente a la representación unitaria ${\displaystyle \Delta (\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\gamma \otimes \gamma ^{*},\Delta (\gamma )=\alpha \otimes \gamma +\gamma \otimes \alpha ^{*}}$ ${\displaystyle \kappa (\alpha )=\alpha ^{*},\kappa (\gamma )=-\mu ^{-1}\gamma ,\kappa (\gamma ^{*})=-\mu \gamma ^{*},\kappa (\alpha ^{*})=\alpha }$

${\displaystyle v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).}$

Segunda definición

SU _μ (2) = ( C (SU _μ (2)), w ) , donde C (SU _μ (2)) es el álgebra C* generada por α y β , sujeta a

${\displaystyle \beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,\ \alpha \beta =\mu \beta \alpha ,\ \alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,\ \alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,}$

y

${\displaystyle w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

de modo que la comultiplicación está determinada por y el coinverso está determinado por ,. Tenga en cuenta que w es una representación unitaria. Las realizaciones se pueden identificar equiparando . ${\displaystyle \Delta (\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\mu \beta \otimes \beta ^{*},\Delta (\beta )=\alpha \otimes \beta +\beta \otimes \alpha ^{*}}$ ${\displaystyle \kappa (\alpha )=\alpha ^{*},\kappa (\beta )=-\mu ^{-1}\beta ,\kappa (\beta ^{*})=-\mu \beta ^{*}}$ ${\displaystyle \kappa (\alpha ^{*})=\alpha }$ ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\mu }}\beta }$

Caso límite

Si μ = 1 , entonces SU _μ (2) es igual al grupo compacto concreto SU(2) .

Referencias

1. Bánica, Teo (2023). Introducción a los grupos cuánticos . Saltador. ISBN 978-3-031-23816-1.
2. Woronowicz, SL "Pseudogrupos de matrices compactas", Commun. Matemáticas. Física. 111 (1987), 613-665
3. Woronowicz, SL "Grupos cuánticos compactos". Notas de http://www.fuw.edu.pl/~slworono/PDF-y/CQG3.pdf
4. van Daele, A. y Maes, Ann. "Notas sobre grupos cuánticos compactos", arXiv:math/9803122
5. una representación correlativa de una coalgebra coassiativa regional A es una matriz cuadrada

   ${\displaystyle v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

   con entradas en A (de modo que v ∈ M( n , A ) ) tales que

   ${\displaystyle \forall i,j:\qquad \Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}}$

   ${\displaystyle \forall i,j:\qquad \epsilon (v_{ij})=\delta _{ij}.}$

6. van Daele, A. y Wang, S. "Grupos cuánticos universales" Int. J. Matemáticas. (1996), 255-263.