En matemáticas , y en particular en álgebra universal , el concepto de grupo n -ario (también llamado grupo n o grupo multiario ) es una generalización del concepto de grupo a un conjunto G con una operación n -aria en lugar de una binaria. operación. [1] Por operación n -aria se entiende cualquier aplicación f: G n → G de la n -ésima potencia cartesiana de G a G . Los axiomas para un grupo n -ario se definen de tal manera que se reducen a los de un grupo en el caso n = 2 . Los primeros trabajos sobre estas estructuras fueron realizados en 1904 por Kasner y en 1928 por Dörnte; [2] La primera explicación sistemática de (lo que entonces se llamaba) grupos poliádicos fue dada en 1940 por Emil Leon Post en un famoso artículo de 143 páginas en Transactions of the American Mathematical Society . [3]
El axioma más fácil de generalizar es la ley asociativa. La asociatividad ternaria es la identidad polinómica ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) , es decir, la igualdad de los tres posibles corchetes de la cadena abcde en la que tres símbolos consecutivos están entre corchetes. (Aquí se entiende que las ecuaciones son válidas para todas las elecciones de elementos a , b , c , d , e en G. ) En general, la asociatividad n -aria es la igualdad de los n posibles corchetes de una cadena que consta de n + ( n − 1) = 2 n − 1 símbolos distintos con n símbolos consecutivos entre corchetes. Un conjunto G que está cerrado bajo una operación asociativa n -aria se llama semigrupo n -ario. Un conjunto G que está cerrado bajo cualquier operación n -aria (no necesariamente asociativa) se llama grupoide n -ario .
El axioma inverso se generaliza de la siguiente manera: en el caso de operaciones binarias la existencia de un inverso significa que ax = b tiene una solución única para x , y de la misma manera xa = b tiene una solución única. En el caso ternario generalizamos esto a abx = c , axb = c y xab = c , cada uno con soluciones únicas, y el caso n -ario sigue un patrón similar de existencia de soluciones únicas y obtenemos un cuasigrupo n -ario.
Un grupo n -ario es un semigrupo n -ario que también es un cuasigrupo n -ario .
En el caso 2-ario , puede haber cero o un elemento de identidad: el conjunto vacío es un grupo 2-ario, ya que el conjunto vacío es a la vez un semigrupo y un cuasigrupo, y todo grupo 2-ario habitado es un grupo. En n grupos -arios para n ≥ 3 puede haber cero, uno o muchos elementos de identidad.
Un grupoide n -ario ( G , f ) con f = ( x 1 ◦ x 2 ◦ ⋯ ◦ x n ) , donde ( G , ◦) es un grupo, se llama reducible o derivado del grupo ( G , ◦). En 1928, Dörnte [2] publicó los primeros resultados principales: Un grupoide n -ario que es reducible es un grupo n -ario , sin embargo, para todo n > 2 existen grupos n -arios habitados que no son reducibles. En algunos grupos n -arios existe un elemento e (llamado identidad n -aria o elemento neutro) tal que cualquier cadena de n -elementos que consta de todos los e , excepto un lugar, se asigna al elemento en ese lugar . Por ejemplo, en un grupo cuaternario con identidad e , eeae = a para cada a .
Un grupo n -ario que contiene un elemento neutro es reducible. Por tanto, un grupo n -ario que no es reducible no contiene tales elementos. Existen n grupos -arios con más de un elemento neutro. Si el conjunto de todos los elementos neutros de un grupo n -ario no está vacío, forma un subgrupo n -ario . [4]
Algunos autores incluyen una identidad en la definición de un grupo n -ario pero, como se mencionó anteriormente, dichas operaciones n -arias son simplemente operaciones binarias repetidas. Los grupos con operaciones intrínsecamente n -arias no tienen un elemento de identidad. [5]
Los axiomas de asociatividad y las soluciones únicas en la definición de un grupo n -ario son más fuertes de lo necesario. Bajo el supuesto de asociatividad n -aria basta postular la existencia de la solución de ecuaciones con la incógnita al inicio o al final de la cuerda, o en un lugar distinto de los extremos; por ejemplo, en el caso 6-ario , xabcde = f y abcdex = f , o una expresión como abxcde = f . Entonces se puede demostrar que la ecuación tiene una solución única para x en cualquier lugar de la cuerda. [3] El axioma de asociatividad también se puede dar en una forma más débil. [1] : 17
El siguiente es un ejemplo de un grupo ternario de tres elementos, uno de cuatro de esos grupos [6]
El concepto de un grupo n -ario se puede generalizar aún más al de un grupo ( n , m ) , también conocido como grupo con valores vectoriales , que es un conjunto G con un mapa f : G n → G m donde n > m , sujeto a axiomas similares a los de un grupo n -ario, excepto que el resultado del mapa es una palabra que consta de m letras en lugar de una sola letra. Entonces un grupo ( n ,1) es un grupo n -ario . Los grupos ( n , m ) fueron introducidos por G Ĉupona en 1983. [7]
