En matemáticas , el grupo S de Serre es el grupo proalgebraico cuyas representaciones corresponden a motivos CM sobre el cierre algebraico de los racionales, o a estructuras racionales polarizables de Hodge con grupos abelianos de Mumford-Tate . Es un límite proyectivo de toros de dimensión finita, por lo que en particular es abeliano. Fue introducido por Serre (1968). Es un subgrupo del grupo Taniyama .
Hay dos grupos diferentes pero relacionados llamados grupo Serre, uno el componente conectado de la identidad en el otro. Este artículo trata principalmente sobre el grupo conectado, generalmente llamado grupo Serre pero a veces llamado grupo Serre conectado. Además se pueden definir grupos de Serre de campos numéricos algebraicos , y el grupo de Serre es el límite inverso de los grupos de Serre de campos numéricos .
El grupo Serre es el límite proyectivo de los grupos Serre de S L de extensiones finitas de Galois de los racionales, y cada uno de estos grupos S L es un toro, por lo que está determinado por su módulo de caracteres, un módulo Z libre finito con un acción del grupo finito de Galois Gal( L / Q ). Si L * es el grupo algebraico con L *( A ) las unidades de A ⊗ L , entonces L * es un toro con la misma dimensión que L , y sus caracteres se pueden identificar con funciones integrales sobre Gal( L / Q ). El grupo de Serre S L es un cociente de este toroide L *, por lo que puede describirse explícitamente en términos del módulo X *( S L ) de caracteres racionales. Este módulo de caracteres racionales se puede identificar con las funciones integrales λ sobre Gal( L / Q ) tales que
para todo σ en Gal ( L / Q ), donde ι es una conjugación compleja. El grupo Galois actúa sobre ello.
El grupo S completo de Serre se puede describir de manera similar en términos de su módulo X *( S ) de caracteres racionales. Este módulo de caracteres racionales se puede identificar con las funciones integrales localmente constantes λ en Gal( Q / Q ) tales que
para todo σ en Gal ( Q / Q ), donde ι es una conjugación compleja.