El grupo de renormalización numérica ( NRG ) es una técnica ideada por Kenneth Wilson para resolver ciertos problemas de muchos cuerpos donde la física cuántica de impurezas juega un papel clave.
El grupo de renormalización numérica es un procedimiento inherentemente no perturbativo, que se utilizó originalmente para resolver el modelo de Kondo . [1] El modelo de Kondo es un modelo teórico simplificado que describe un sistema de impurezas magnéticas de espín 1/2 que se acoplan a electrones de conducción metálica (por ejemplo, impurezas de hierro en oro). Este problema es notoriamente difícil de abordar teóricamente, ya que las técnicas perturbativas fallan a baja energía. Sin embargo, Wilson pudo demostrar por primera vez utilizando el grupo de renormalización numérica que el estado fundamental del modelo de Kondo es un estado singlete. Pero quizás lo más importante es que las nociones de renormalización , puntos fijos y flujo del grupo de renormalización se introdujeron en el campo de la teoría de la materia condensada; es por esto que Wilson ganó el Premio Nobel en 1982. El comportamiento completo del modelo de Kondo, incluido tanto el régimen de "momento local" de alta temperatura como el régimen de "acoplamiento fuerte" de baja temperatura, son capturados por el grupo de renormalización numérica; Se ha demostrado que una escala de energía exponencialmente pequeña T K (no accesible desde la teoría de perturbación directa ) rige todas las propiedades a bajas energías, y que todos los observables físicos, como la resistividad, la termodinámica, la dinámica, etc., exhiben una escala universal. Esta es una característica de muchos problemas en la física de la materia condensada y es un tema central de la física cuántica de impurezas en particular. En el ejemplo original del modelo Kondo, el momento local de la impureza está completamente apantallado por debajo de T K por los electrones de conducción a través del célebre efecto Kondo ; y una consecuencia famosa es que dichos materiales exhiben un mínimo de resistividad a bajas temperaturas, contrariamente a las expectativas basadas puramente en la contribución estándar de los fonones , donde se predice que la resistividad disminuye monótonamente con la temperatura.
La existencia misma de momentos locales en sistemas reales presupone, por supuesto, fuertes correlaciones electrón-electrón. El modelo de impureza de Anderson describe un nivel cuántico con una repulsión de Coulomb in situ entre electrones (en lugar de un espín), que está acoplada por túnel a los electrones de conducción metálicos. En el régimen de impureza de ocupación individual, se puede derivar el modelo de Kondo a partir del modelo de Anderson, pero este último contiene otras leyes físicas asociadas con las fluctuaciones de carga. El grupo de renormalización numérica fue ampliado para abordar el modelo de Anderson (capturando así tanto la física de Kondo como la física de fluctuación de valencia) por HR Krishnamurthy et al. [2] en 1980. De hecho, se han realizado varios avances importantes desde entonces: Bulla et al. han compilado una revisión moderna exhaustiva [3].
El grupo de renormalización numérica es un procedimiento iterativo, que es un ejemplo de una técnica de grupo de renormalización .
La técnica consiste en dividir primero la banda de conducción en intervalos logarítmicos (es decir, intervalos que se hacen más pequeños exponencialmente a medida que nos acercamos a la energía de Fermi). Se conserva un estado de la banda de conducción de cada intervalo, que es la combinación totalmente simétrica de todos los estados de ese intervalo. La banda de conducción ha sido ahora "discretizada logarítmicamente". El hamiltoniano está ahora en condiciones de ser transformado en la llamada forma de cadena lineal, en la que la impureza está acoplada a un solo estado de la banda de conducción, que está acoplado a otro estado de la banda de conducción y así sucesivamente. Fundamentalmente, estos acoplamientos disminuyen exponencialmente a lo largo de la cadena, de modo que, aunque el hamiltoniano transformado es para una cadena infinita, se puede considerar una cadena de longitud finita y aún así obtener resultados útiles.
La única restricción de la banda de conducción es que no interactúa. Los desarrollos recientes [4] hacen posible mapear una banda de conducción multicanal general con mezcla de canales a una cadena de Wilson, y aquí está la implementación en Python.
Una vez que el hamiltoniano está en forma de cadena lineal, se puede comenzar el proceso iterativo. Primero se considera la impureza aislada, que tendrá un conjunto característico de niveles de energía. Luego se considera agregar el primer orbital de banda de conducción a la cadena. Esto provoca una división en los niveles de energía para la impureza aislada. Luego se considera el efecto de agregar más orbitales a lo largo de la cadena, lo que divide aún más los niveles de energía derivados hasta ahora. Debido a que los acoplamientos disminuyen a lo largo de la cadena, las divisiones sucesivas causadas por la adición de orbitales a la cadena disminuyen.
Cuando se ha añadido un número determinado de orbitales a la cadena, tenemos un conjunto de niveles de energía para esa cadena finita. Obviamente, este no es el verdadero conjunto de niveles de energía para la cadena infinita, pero es una buena aproximación al verdadero conjunto en el rango de temperaturas donde: las divisiones posteriores causadas por la adición de más orbitales son insignificantes, y tenemos suficientes orbitales en la cadena para dar cuenta de las divisiones que son relevantes en este rango de temperaturas. El resultado de esto es que los resultados derivados para una cadena de cualquier longitud particular son válidos solo en un rango de temperaturas particular, un rango que se mueve hacia temperaturas más bajas a medida que aumenta la longitud de la cadena. Esto significa que al considerar los resultados en muchas longitudes de cadena diferentes, uno puede construir una imagen del comportamiento del sistema en un amplio rango de temperaturas.
El hamiltoniano de una cadena lineal de longitud finita es un ejemplo de hamiltoniano eficaz. No es el hamiltoniano completo del sistema de cadena lineal infinita, pero en un cierto rango de temperaturas da resultados similares al hamiltoniano completo.