Grupo simple esporádico
En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Mathieu M 11 es un grupo simple esporádico de orden
- 2 4 · 3 2 · 5 · 11 = 11 · 10 · 9 · 8 = 7920.
Historia y propiedades
M 11 es uno de los 26 grupos esporádicos y fue introducido por Mathieu (1861, 1873). Es el grupo esporádico más pequeño y, junto con los otros cuatro grupos de Mathieu, el primero en ser descubierto. El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismos externos son triviales .
M 11 es un grupo de permutaciones transitivo de 4 elementos sobre 11 objetos. Admite muchos conjuntos generadores de permutaciones, como el par (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11), (3,7,11,8)(4,10,5,6) de permutaciones utilizado por el sistema de álgebra computacional GAP .
Representaciones
M 11 tiene una representación de permutación claramente 4-transitiva en 11 puntos. El estabilizador de puntos a veces se denota por M 10 y es una extensión no dividida de la forma A 6 .2 (una extensión del grupo de orden 2 por el grupo alternante A 6 ). Esta acción es el grupo de automorfismos de un sistema de Steiner S(4,5,11). La acción inducida en pares de puntos no ordenados da una acción de rango 3 en 55 puntos.
M 11 tiene una representación de permutación 3-transitiva en 12 puntos con estabilizador de puntos PSL 2 (11). Las representaciones de permutación en 11 y 12 puntos pueden verse dentro del grupo de Mathieu M 12 como dos incrustaciones diferentes de M 11 en M 12 , intercambiadas por un automorfismo externo.
La representación de permutación en 11 puntos da una representación compleja irreducible en 10 dimensiones. Esta es la dimensión más pequeña posible de una representación compleja fiel, aunque también existen otras dos representaciones de este tipo en 10 dimensiones que forman un par complejo conjugado.
M 11 tiene dos representaciones irreducibles de 5 dimensiones sobre el cuerpo con 3 elementos, relacionadas con las restricciones de las representaciones de 6 dimensiones de la doble cobertura de M 12 . Estas tienen la dimensión más pequeña de todas las representaciones lineales fieles de M 11 sobre cualquier cuerpo.
Subgrupos máximos
Hay 5 clases de conjugación de subgrupos máximos de M 11 como sigue:
- M 10 , orden 720, estabilizador de un punto en representación de grado 11
- PSL(2,11), orden 660, estabilizador de un punto en representación de grado 12
- M 9 :2, orden 144, estabilizador de una partición 9 y 2.
- S 5 , orden 120, órbitas de 5 y 6
- Estabilizador de bloque en el sistema Steiner S(4,5,11)
- Q : S 3 , orden 48, órbitas de 8 y 3
- Centralizador de una cuádruple transposición
- Isomorfo a GL(2,3).
Clases de conjugación
El orden máximo de cualquier elemento en M 11 es 11. Se muestran estructuras de ciclo para las representaciones de grado 11 y 12.
Referencias
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Enlaces externos
- MathWorld: Grupos de Mathieu
- Atlas de representaciones de grupos finitos: M11
