Grupo parcialmente ordenado

Grupo con un pedido parcial compatible

En álgebra abstracta , un grupo parcialmente ordenado es un grupo ( G , +) equipado con un orden parcial "≤" que es invariante a la traducción ; en otras palabras, "≤" tiene la propiedad de que, para todos a , b y g en G , si a ≤ b entonces a + g ≤ b + g y g + a ≤ g + b .

Un elemento x de G se llama positivo si 0 ≤ x . El conjunto de elementos 0 ≤ x se suele denotar con G ⁺ y se denomina cono positivo de G .

Por invariancia de traslación, tenemos a ≤ b si y solo si 0 ≤ - a + b . Por lo tanto, podemos reducir el orden parcial a una propiedad monádica: a ≤ b si y solo si - a + b ∈ G ⁺ .

Para el grupo general G , la existencia de un cono positivo especifica un orden en G . Un grupo G es un grupo parcialmente ordenable si y solo si existe un subconjunto H (que es G ⁺ ) de G tal que:

• 0 ∈ H
• Si a ∈ H y b ∈ H entonces a + b ∈ H
• si a ∈ H entonces - x + a + x ∈ H para cada x de G
• Si a ∈ H y - a ∈ H entonces a = 0

Se dice que un grupo parcialmente ordenado G con cono positivo G ^{+ no está} perforado si n · g ∈ G ⁺ para algún entero positivo n implica g ∈ G ⁺ . Que no esté perforado significa que no hay ningún "hueco" en el cono positivo G ⁺ .

Si el orden en el grupo es un orden lineal , entonces se dice que es un grupo ordenado linealmente . Si el orden en el grupo es un orden reticular , es decir, dos elementos cualesquiera tienen un límite superior mínimo, entonces es un grupo ordenado reticularmente (abreviado l-grupo , aunque generalmente escrito con una escritura l: ℓ-grupo).

Un grupo de Riesz es un grupo parcialmente ordenado no perforado con una propiedad ligeramente más débil que la de un grupo ordenado en red. Es decir, un grupo de Riesz satisface la propiedad de interpolación de Riesz : si x ₁ , x ₂ , y ₁ , y ₂ son elementos de G y x _i ≤ y _j , entonces existe z ∈ G tal que x _i ≤ z ≤ y _j .

Si G y H son dos grupos parcialmente ordenados, una función de G a H es un morfismo de grupos parcialmente ordenados si es a la vez un homomorfismo de grupo y una función monótona . Los grupos parcialmente ordenados, junto con esta noción de morfismo, forman una categoría .

Los grupos parcialmente ordenados se utilizan en la definición de valoraciones de campos .

Ejemplos

• Los números enteros con su orden habitual
• Un espacio vectorial ordenado es un grupo parcialmente ordenado
• Un espacio de Riesz es un grupo ordenado en red
• Un ejemplo típico de un grupo parcialmente ordenado es Z ⁿ , donde la operación de grupo es la suma de componentes, y escribimos ( a ₁ ,..., a _n ) ≤ ( b ₁ ,..., b _n ) si y solo si a _i ≤ b _i (en el orden usual de números enteros) para todo i = 1,..., n .
• En términos más generales, si G es un grupo parcialmente ordenado y X es un conjunto, entonces el conjunto de todas las funciones desde X hasta G es nuevamente un grupo parcialmente ordenado: todas las operaciones se realizan componente por componente. Además, cada subgrupo de G es un grupo parcialmente ordenado: hereda el orden de G.
• Si A es un C*-álgebra de dimensión aproximadamente finita , o más generalmente, si A es un C*-álgebra unital finita estable, entonces K 0 ( A ) es un grupo abeliano parcialmente ordenado . (Elliott, 1976)

Propiedades

Arquímedes

La propiedad arquimediana de los números reales se puede generalizar a grupos parcialmente ordenados.

Propiedad: Un grupo parcialmente ordenado se llama arquimediano cuando para cualquier , si y para todos entonces . Equivalentemente, cuando , entonces para cualquier , existe algún tal que . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a,b\in G}$ ${\displaystyle e\leq a\leq b}$ ${\displaystyle a^{n}\leq b}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle a=e}$ ${\displaystyle a\neq e}$ ${\displaystyle b\in G}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b<a^{n}}$

Cerrado integralmente

Un grupo parcialmente ordenado G se llama integralmente cerrado si para todos los elementos a y b de G , si a ⁿ ≤ b para todo n natural entonces a ≤ 1. ^[1]

Esta propiedad es algo más fuerte que el hecho de que un grupo parcialmente ordenado sea arquimediano , aunque que un grupo ordenado en red sea integralmente cerrado y arquimediano es equivalente. ^[2] Existe un teorema que dice que todo grupo dirigido integralmente cerrado ya es abeliano . Esto tiene que ver con el hecho de que un grupo dirigido es integrable en un grupo completo ordenado en red si y solo si es integralmente cerrado. ^[1]

Véase también

• Grupo ordenado cíclicamente  : grupo con un orden cíclico respetado por la operación del grupo.
• Grupo ordenado linealmente  : Grupo con orden total invariante traslacionalmente; es decir, si a ≤ b, entonces ca ≤ cb
• Campo ordenado  – Objeto algebraico con una estructura ordenada
• Anillo pedido  – anillo con un pedido total compatiblePáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Espacio vectorial ordenado  – Espacio vectorial con un orden parcial
• Anillo parcialmente pedido  – Anillo con un pedido parcial compatible
• Espacio parcialmente ordenado  – Espacio topológico parcialmente ordenado

Nota

1. Vidrio (1999)
2. Birkhoff (1942)

Referencias

• M. Anderson y T. Feil, Grupos ordenados en red: una introducción , D. Reidel, 1988.
• Birkhoff, Garrett (1942). "Grupos ordenados en red". Anales de Matemáticas . 43 (2): 313. doi :10.2307/1968871. ISSN  0003-486X.
• MR Darnel, La teoría de grupos ordenados en red , Apuntes de clase en Matemáticas puras y aplicadas 187, Marcel Dekker, 1995.
• L. Fuchs, Sistemas algebraicos parcialmente ordenados , Pergamon Press, 1963.
• Glass, AMW (1982). Grupos de permutación ordenada . doi :10.1017/CBO9780511721243. ISBN 9780521241908.
• Glass, AMW (1999). Grupos parcialmente ordenados. ISBN 981449609X.
• VM Kopytov y AI Kokorin (trad. de D. Louvish), Grupos completamente ordenados , Halsted Press (John Wiley & Sons), 1974.
• VM Kopytov y N. Ya. Medvedev, Grupos ordenados a la derecha , Escuela Siberiana de Álgebra y Lógica, Oficina de Consultores, 1996.
• Kopytov, VM; Medvedev, N. Ya. (1994). La teoría de los grupos ordenados en red . doi :10.1007/978-94-015-8304-6. ISBN 978-90-481-4474-7.
• RB Mura y A. Rhemtulla, Grupos ordenables , Apuntes de clase en Matemáticas puras y aplicadas 27, Marcel Dekker, 1977.
• Redes y estructuras algebraicas ordenadas . Universitext. 2005. doi :10.1007/b139095. ISBN 1-85233-905-5., capítulo 9.
• Elliott, George A. (1976). "Sobre la clasificación de límites inductivos de sucesiones de álgebras de dimensión finita semisimples". Journal of Algebra . 38 : 29–44. doi :10.1016/0021-8693(76)90242-8.

Lectura adicional

Everett, CJ; Ulam, S. (1945). "Sobre grupos ordenados". Transacciones de la American Mathematical Society . 57 (2): 208–216. doi : 10.2307/1990202 . JSTOR  1990202.

Enlaces externos

• Kopytov, VM (2001) [1994], "Grupo parcialmente ordenado", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kopytov, VM (2001) [1994], "Grupo ordenado en red", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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