En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Janko J 1 es un grupo simple esporádico de orden
J 1 es uno de los 26 grupos esporádicos y fue descrito originalmente por Zvonimir Janko en 1965. Es el único grupo de Janko cuya existencia fue probada por el propio Janko y fue el primer grupo esporádico que se encontró desde el descubrimiento de los grupos de Mathieu en el siglo XIX. Su descubrimiento lanzó la teoría moderna de los grupos esporádicos .
En 1986, Robert A. Wilson demostró que J 1 no puede ser un subgrupo del grupo monstruo . [1] Por lo tanto, es uno de los 6 grupos esporádicos llamados parias .
La representación compleja fiel más pequeña de J 1 tiene dimensión 56. [2] J 1 puede caracterizarse abstractamente como el único grupo simple con subgrupos abelianos 2-Sylow y con una involución cuyo centralizador es isomorfo al producto directo del grupo de orden dos y el grupo alternante A 5 de orden 60, es decir, el grupo icosaédrico rotacional . Esa era la concepción original de Janko del grupo. De hecho, Janko y Thompson estaban investigando grupos similares a los grupos de Ree 2 G 2 (3 2 n +1 ), y demostraron que si un grupo simple G tiene 2-subgrupos abelianos de Sylow y un centralizador de una involución de la forma Z /2 Z × PSL 2 ( q ) para q una potencia prima de al menos 3, entonces o q es una potencia de 3 y G tiene el mismo orden que un grupo de Ree (más tarde se demostró que G debe ser un grupo de Ree en este caso) o q es 4 o 5. Nótese que PSL 2 ( 4 )= PSL 2 ( 5 )= A 5 . Este último caso excepcional condujo al grupo de Janko J 1 .
J 1 no tiene automorfismos externos y su multiplicador de Schur es trivial.
J 1 está contenido en el grupo O'Nan como el subgrupo de elementos fijados por un automorfismo externo de orden 2.
Janko encontró una representación modular en términos de matrices ortogonales de 7 × 7 en el campo de once elementos , con generadores dados por
y
Y tiene orden 7 y Z tiene orden 5. Janko (1966) atribuyó a WA Coppel el reconocimiento de esta representación como una incrustación en el grupo simple de Dickson G 2 (11) (que tiene una representación de 7 dimensiones sobre el campo con 11 elementos).
J 1 es el grupo de automorfismos del grafo de Livingstone , un grafo transitivo de distancia con 266 vértices y 1463 aristas. El estabilizador de un vértice es PSL 2 (11), y el estabilizador de una arista es 2×A 5 .
Esta representación de permutación se puede construir implícitamente comenzando con el subgrupo PSL 2 (11) y adjuntando 11 involuciones t 0 ,..., t X . PSL 2 (11) permuta estas involuciones bajo la representación excepcional de 11 puntos, por lo que se pueden identificar con puntos en el biplano de Payley . Las siguientes relaciones (combinadas) son suficientes para definir J 1 : [3]
También hay un par de generadores a, b tales que
J 1 es, pues, un grupo de Hurwitz , una imagen homomórfica finita del grupo de triángulos (2,3,7) .
Janko (1966) encontró las 7 clases de conjugación de subgrupos maximales de J 1 que se muestran en la tabla. Los subgrupos simples maximales de orden 660 proporcionan a J 1 una representación de permutación de grado 266. Encontró que hay 2 clases de conjugación de subgrupos isomorfos al grupo alternante A 5 , ambos encontrados en los subgrupos simples de orden 660. J 1 tiene subgrupos propios simples no abelianos de solo 2 tipos de isomorfismo.
La notación A . B significa un grupo con un subgrupo normal A con cociente B , y D 2 n es el grupo diedro de orden 2 n .
El mayor orden de cualquier elemento del grupo es 19. Los órdenes y tamaños de la clase de conjugación se encuentran en el ATLAS.
