En la teoría de grafos topológicos , un grafo de cinta es una forma de representar incrustaciones de grafos , equivalente en potencia a los sistemas de rotación con signo o a los mapas codificados de grafos . [1] Es conveniente para las visualizaciones de incrustaciones, porque puede representar superficies no orientadas sin autointersecciones (a diferencia de las incrustaciones de toda la superficie en el espacio euclidiano tridimensional ) y porque omite las partes de la superficie que están lejos del grafo, lo que permite agujeros a través de los cuales se puede ver el resto de la incrustación. Los grafos de cinta también se denominan grafos gordos . [2]
En una representación de gráfico de cinta, cada vértice de un gráfico está representado por un disco topológico, y cada borde está representado por un rectángulo topológico con dos extremos opuestos pegados a los bordes de los discos de vértices (posiblemente al mismo disco entre sí). [3]
Se puede obtener una representación de gráfico de cinta a partir de una incrustación de un gráfico en una superficie (y una métrica en la superficie) eligiendo un número suficientemente pequeño y representando cada vértice y borde por sus vecindarios en la superficie . [ 1] [4] Para valores pequeños de , los rectángulos de los bordes se vuelven largos y delgados como cintas , lo que le da el nombre a la representación.
En la otra dirección, a partir de un gráfico de cinta se pueden encontrar las caras de su incrustación correspondiente como los componentes del límite de la superficie topológica formada por el gráfico de cinta. Se puede recuperar la superficie misma pegando un disco topológico al gráfico de cinta a lo largo de cada componente del límite. La partición de la superficie en discos de vértices, discos de aristas y discos de caras dada por el gráfico de cinta y este proceso de pegado es una representación diferente pero relacionada de la incrustación llamada descomposición de bandas . [5] La superficie sobre la que está incrustado el gráfico puede determinarse por si es orientable (verdadero si cualquier ciclo en el gráfico tiene un número par de giros) y por su característica de Euler .
Las incrustaciones que se pueden representar mediante gráficos de cinta son aquellas en las que un gráfico está incrustado en una variedad 2- (sin límite) y en las que cada cara de la incrustación es un disco topológico. [1]
Se dice que dos representaciones de gráficos de cinta son equivalentes (y definen incrustaciones de gráficos homeomorfas ) si están relacionadas entre sí por un homeomorfismo del espacio topológico formado por la unión de los discos de vértices y los rectángulos de arista que preserva la identificación de estas características. [3] Las representaciones de gráficos de cinta pueden ser equivalentes incluso si no es posible deformar una en la otra dentro del espacio 3D: esta noción de equivalencia considera solo la topología intrínseca de la representación, y no cómo está incrustada.
Sin embargo, los gráficos de cinta también se aplican en la teoría de nudos , [4] y en esta aplicación también se pueden utilizar nociones más débiles de equivalencia que tienen en cuenta la incrustación 3D.
