En el área de las matemáticas llamada teoría de grupos combinatorios , el grafo de clase lateral de Schreier es un grafo asociado a un grupo G , un conjunto generador S= { s i : i en I } de G y un subgrupo H ≤ G. El grafo de Schreier codifica la estructura abstracta de un grupo módulo una relación de equivalencia formada por la clase lateral .
El nombre del gráfico se debe a Otto Schreier , quien utilizó el término " Nebengruppenbild ". [1] Una definición equivalente se realizó en un artículo temprano de Todd y Coxeter. [2]
El grafo de Schreier de un grupo G, un subgrupo H y un conjunto generador S⊆G se denota por Sch(G,H,S) o Sch(H\G,S) . Sus vértices son las clases laterales derechas Hg = { hg : h en H } para g en G , y sus aristas tienen la forma ( Hg , Hgs ) para g en G y s en S .
En términos más generales, si X es un G-conjunto , el grafo de Schreier de la acción de G sobre X (con respecto a S⊆G) se denota por Sch(G,X,S) o Sch(X,S). Sus vértices son los elementos de X, y sus aristas tienen la forma (x,xs) para x en X y s en S. Esto incluye la definición original del grafo de clase lateral de Schreier, ya que H\G es naturalmente un G-conjunto con respecto a la multiplicación por la derecha. Desde una perspectiva algebraico-topológica , el grafo Sch(X,S) no tiene vértice distinguido, mientras que Sch(G,H,S) tiene el vértice distinguido H y, por lo tanto, es un grafo puntiagudo .
El gráfico de Cayley del propio grupo G es el gráfico de clase lateral de Schreier para H = {1 G } (Gross y Tucker 1987, pág. 73).
Un árbol de expansión de un gráfico lateral de Schreier corresponde a una transversal de Schreier, como en el lema del subgrupo de Schreier (Conder 2003).
El libro "Categorías y grupoides" que se menciona a continuación relaciona esto con la teoría de morfismos de recubrimiento de grupoides . Un subgrupo H de un grupo G determina un morfismo de recubrimiento de grupoides y si S es un conjunto generador para G, entonces su imagen inversa bajo p es el grafo de Schreier de ( G , S ).
El gráfico es útil para comprender la enumeración de clases laterales y el algoritmo de Todd-Coxeter .
Los gráficos de coconjuntos se pueden utilizar para formar representaciones de permutaciones grandes de grupos y fueron utilizados por Graham Higman para demostrar que los grupos alternados de grado suficientemente grande son grupos de Hurwitz (Conder 2003).
Los gráficos centrales de Stallings [3] son retracciones de los gráficos de Schreier de grupos libres y son una herramienta esencial para realizar cálculos con subgrupos de un grupo libre.
Cada gráfico transitivo de vértice es un gráfico de clase lateral.
