En el campo matemático de la teoría de grafos , el grafo de Hall-Janko , también conocido como grafo de Hall-Janko-Wales , es un grafo regular no dirigido de 36 con 100 vértices y 1800 aristas. [1]
Es un grafo fuertemente regular de rango 3 con parámetros (100,36,14,12) y una coclique máxima de tamaño 10. Este conjunto de parámetros no es único, sin embargo está determinado de manera única por sus parámetros como un grafo de rango 3. El grafo de Hall-Janko fue construido originalmente por D. Wales para establecer la existencia del grupo de Hall-Janko como un subgrupo de índice 2 de su grupo de automorfismos .
El gráfico de Hall-Janko se puede construir a partir de objetos en U 3 (3), el grupo simple de orden 6048: [2] [3]
- En U 3 (3) hay 36 subgrupos máximos simples de orden 168. Estos son los vértices de un subgrafo, el grafo U 3 (3). Un subgrupo 168 tiene 14 subgrupos máximos de orden 24, isomorfos a S 4 . Dos subgrupos 168 se denominan adyacentes cuando se intersecan en un subgrupo 24. El grafo U 3 (3) es fuertemente regular, con parámetros (36,14,4,6)
- Hay 63 involuciones (elementos de orden 2). Un subgrupo de 168 contiene 21 involuciones, que se definen como vecinas.
- Fuera de U 3 (3) sea un vértice 100 C , cuyos vecinos son los 36 subgrupos 168. Un subgrupo 168 tiene entonces 14 vecinos comunes con C y en total 1+14+21 vecinos.
- Se encuentra una involución en 12 de los 168 subgrupos. C y una involución no son adyacentes, con 12 vecinos comunes.
- Dos involuciones se definen como adyacentes cuando generan un subgrupo diedro de orden 8. [4] Una involución tiene 24 involuciones como vecinas.
El polinomio característico del grafo de Hall-Janko es . Por lo tanto, el grafo de Hall-Janko es un grafo integral : su espectro está formado exclusivamente por números enteros.
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Gráfico de Hall-Janko". MundoMatemático .
- ^ Andries E. Brouwer, "Gráfico de Hall-Janko".
- ^ Andries E. Brouwer, "Gráfico U3 (3)".
- ^ Robert A. Wilson, 'Los grupos simples finitos', Springer-Verlag (2009), pág. 224.
