gradiente potencial

Tasa de cambio local del potencial con respecto al desplazamiento

En física y química , un gradiente de potencial es la tasa de cambio local del potencial con respecto al desplazamiento , es decir, derivada espacial o gradiente . Esta cantidad ocurre frecuentemente en ecuaciones de procesos físicos porque conduce a alguna forma de flujo .

Definición

Una dimensión

La definición más simple de un gradiente de potencial F en una dimensión es la siguiente: ^[1]

${\displaystyle F={\frac {\phi _{2}-\phi _{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta \phi }{\Delta x}}\,\!}$

donde ϕ ( x ) es algún tipo de potencial escalar y x es el desplazamiento (no la distancia ) en la dirección x , los subíndices etiquetan dos posiciones diferentes x ₁ , x ₂ y potenciales en esos puntos, ϕ ₁ = ϕ ( x ₁ ) , ϕ ₂ = ϕ ( x ₂ ) . En el límite de los desplazamientos infinitesimales , la razón de diferencias se convierte en una razón de diferenciales :

${\displaystyle F={\frac {{\rm {d}}\phi }{{\rm {d}}x}}.\,\!}$

La dirección del gradiente de potencial eléctrico es de a . ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Tres dimensiones

En tres dimensiones , las coordenadas cartesianas dejan claro que el gradiente de potencial resultante es la suma de los gradientes de potencial en cada dirección:

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\,\!}$

donde e _x , e _y , e _z son vectores unitarios en las direcciones x, y, z . Esto se puede escribir de forma compacta en términos del operador de gradiente ∇ ,

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \phi .\,\!}$

aunque esta forma final se cumple en cualquier sistema de coordenadas curvilíneo , no sólo cartesiano.

Esta expresión representa una característica importante de cualquier campo vectorial conservador F , es decir, F tiene un potencial correspondiente ϕ . ^[2]

Usando el teorema de Stokes , esto se expresa de manera equivalente como

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}\,\!}$

lo que significa que el rizo , denotado ∇×, del campo vectorial desaparece.

Física

gravitación newtoniana

En el caso del campo gravitacional g , que puede demostrarse que es conservador, ^[3] es igual al gradiente de potencial gravitacional Φ :

${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \Phi .\,\!}$

Hay signos opuestos entre el campo gravitacional y el potencial, porque el gradiente de potencial y el campo tienen direcciones opuestas: a medida que aumenta el potencial, la intensidad del campo gravitacional disminuye y viceversa.

Electromagnetismo

En electrostática , el campo eléctrico E es independiente del tiempo t , por lo que no hay inducción de un campo magnético B dependiente del tiempo mediante la ley de inducción de Faraday :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\boldsymbol {0}}\,,}$

lo que implica que E es el gradiente del potencial eléctrico V , idéntico al campo gravitacional clásico: ^[4]

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla V.\,\!}$

En electrodinámica , el campo E depende del tiempo e induce un campo B también dependiente del tiempo (nuevamente según la ley de Faraday), por lo que la curvatura de E no es cero como antes, lo que implica que el campo eléctrico ya no es el gradiente de potencial eléctrico. Debe añadirse un término dependiente del tiempo: ^[5]

${\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla V+{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,\!}$

donde A es el potencial del vector electromagnético . De hecho, esta última expresión potencial reduce la ley de Faraday a una identidad.

Mecánica de fluidos

En mecánica de fluidos , el campo de velocidades v describe el movimiento del fluido. Un flujo irrotacional significa que el campo de velocidad es conservador o, de manera equivalente, el campo pseudovectorial de vorticidad ω es cero:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} ={\boldsymbol {0}}.}$

Esto permite definir el potencial de velocidad simplemente como:

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \phi }$

Química

En una media celda electroquímica , en la interfaz entre el electrolito (una solución iónica ) y el electrodo metálico , la diferencia de potencial eléctrico estándar es: ^[6]

${\displaystyle \Delta \phi _{(M,M^{+z})}=\Delta \phi _{(M,M^{+z})}^{\ominus }+{\frac {RT}{zeN_{\text{A}}}}\ln a_{M^{+z}}\,\!}$

donde R = constante del gas , T = temperatura de la solución, z = valencia del metal, e = carga elemental , N _A = constante de Avogadro y a _{M ^+z} es la actividad de los iones en solución. Las cantidades con superíndice ⊖ indican que la medición se toma en condiciones estándar . El gradiente de potencial es relativamente abrupto, ya que existe un límite casi definido entre el metal y la solución, de ahí el término de interfaz. ^{[ se necesita aclaración ]}

Biología

En biología , un gradiente de potencial es la diferencia neta de carga eléctrica a través de una membrana celular .

No unicidad de potenciales

Dado que los gradientes en los potenciales corresponden a campos físicos , no hay diferencia si se agrega una constante (la borra el operador de gradiente ∇ , que incluye la diferenciación parcial ). Esto significa que no hay manera de saber cuál "es" el "valor absoluto" del potencial: el valor cero del potencial es completamente arbitrario y puede elegirse en cualquier lugar por conveniencia (incluso "en el infinito"). Esta idea también se aplica a los potenciales vectoriales y se explota en la teoría de campos clásica y también en la teoría de campos de calibre .

Los valores absolutos de los potenciales no son físicamente observables, sólo lo son los gradientes y las diferencias de potencial dependientes de la trayectoria. Sin embargo, el efecto Aharonov-Bohm es un efecto de la mecánica cuántica que ilustra que los potenciales electromagnéticos distintos de cero a lo largo de un circuito cerrado (incluso cuando los campos E y B son cero en toda la región) conducen a cambios en la fase de la función de onda de una partícula cargada eléctricamente en la región, por lo que los potenciales parecen tener un significado mensurable.

Teoría potencial

Las ecuaciones de campo , como las leyes de Gauss para la electricidad , el magnetismo y la gravedad , se pueden escribir en la forma:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =X\rho }$

donde ρ es la densidad de carga eléctrica , la densidad monopolar (si existen) o la densidad de masa y X es una constante (en términos de constantes físicas G , ε 0 , μ 0 y otros factores numéricos).

Los gradientes de potencial escalar conducen a la ecuación de Poisson :

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \phi )=X\rho \quad \Rightarrow \quad \nabla ^{2}\phi =X\rho }$

Se ha desarrollado una teoría general de potenciales para resolver esta ecuación del potencial. El gradiente de esa solución da el campo físico, resolviendo la ecuación de campo.

Ver también

• Tensores en coordenadas curvilíneas

Referencias

1. Principios esenciales de la física, PM Whelan, MJ Hodgeson, segunda edición, 1978, John Murray, ISBN  0-7195-3382-1
2. Análisis vectorial (segunda edición), MR Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (EE. UU.), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 
3. Dinámica y relatividad, JR Forshaw, AG Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8 
4. Electromagnetismo (segunda edición), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9 
5. Introducción a la electrodinámica (tercera edición), DJ Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3 
6. Química física, PW Atkins, Oxford University Press, 1978, ISBN 0-19-855148-7