Número poligonal

En matemáticas , un número poligonal es un número que cuenta los puntos dispuestos en forma de polígono regular . Estos son un tipo de números figurativos bidimensionales .

Definición y ejemplos

El número 10, por ejemplo, se puede organizar en forma de triángulo (ver número triangular ):

Pero el 10 no se puede ordenar como un cuadrado . El número 9, en cambio, sí se puede ordenar (ver número cuadrado ):

Algunos números, como el 36, se pueden organizar tanto en forma de cuadrado como de triángulo (ver número cuadrado triangular ):

Por convención, 1 es el primer número poligonal para cualquier número de lados. La regla para ampliar el polígono al siguiente tamaño es extender dos brazos adyacentes en un punto y luego agregar los lados adicionales requeridos entre esos puntos. En los siguientes diagramas, cada capa adicional se muestra en rojo.

Números triangulares

Números cuadrados

También se pueden construir polígonos con mayor número de lados, como pentágonos y hexágonos, según esta regla, aunque los puntos ya no formarán una red perfectamente regular como la anterior.

Números pentagonales

Números hexagonales

Fórmula

Si $s$ es el número de lados de un polígono, la fórmula para el $n$ -ésimo número $s -gonal$ $P (s, n)$ es

P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}

P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n

El número $n-$ ésimo $s$ -gonal también está relacionado con los números triangulares $T n$ de la siguiente manera: ^[1]

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.

De este modo:

{\begin{aligned}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\,,\\P(s+1,n)-P(s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,,\\P(s+k,n)-P(s,n)&=kT_{n-1}=k{\frac {n(n-1)}{2}}\,.\end{aligned}}

Para un número $s -gonal dado$ $P (s, n) = x$ , se puede encontrar $n$ mediante

n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+{(s-4)}^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}

y uno puede encontrar $s$ por

s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {xn}{n-1}}

Todo número hexagonal es también un número triangular

Aplicando la fórmula anterior:

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n

Para el caso de 6 lados da:

P(6,n)=4T_{n-1}+n

pero desde entonces:

T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}

resulta que:

P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-1)}{2}}=T_{2n-1}

Esto demuestra que el $n$ -ésimo número hexagonal $P (6, n)$ es también el $(2 n - 1)$ -ésimo número triangular $T 2 n -1$ . Podemos hallar cada número hexagonal simplemente tomando los números triangulares impares: ^[1]

1 , 3, 6 , 10, 15 , 21, 28 , 36, 45 , 55, 66 , ...

Tabla de valores

Los primeros 6 valores de la columna "suma de recíprocos", para números triangulares a octogonales, provienen de una solución publicada al problema general, que también da una fórmula general para cualquier número de lados, en términos de la función digamma . ^[2]

La Enciclopedia en línea de secuencias de enteros evita los términos que utilizan prefijos griegos (por ejemplo, "octagonal") en favor de términos que utilizan numerales (es decir, "8-gonal").

Una propiedad de esta tabla se puede expresar mediante la siguiente identidad (ver A086270):

2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(s-k,n),

con

k=0,1,2,3,...,s-3.

Combinaciones

Algunos números, como el 36, que es cuadrado y triangular, pertenecen a dos conjuntos poligonales. El problema de determinar, dados dos conjuntos de este tipo, todos los números que pertenecen a ambos puede resolverse reduciendo el problema a la ecuación de Pell . El ejemplo más simple de esto es la sucesión de números cuadrados y triangulares .

La siguiente tabla resume el conjunto de números $s$ -gonales $y t$ -gonales para valores pequeños de $s$ y $t$ .

En algunos casos, como $s = 10$ y $t = 4$ , no hay números en ambos conjuntos excepto 1.

El problema de encontrar números que pertenezcan a tres conjuntos poligonales es más difícil. Una búsqueda por computadora de números pentagonales, cuadrados y triangulares ha dado como resultado únicamente el valor trivial de 1, aunque todavía no se ha encontrado una prueba de que no existan otros números de ese tipo. ^[4]

El número 1225 es hecatonicositetragonal ( $s = 124$ ), hexacontagonal ( $s = 60$ ), icosienneagonal ( $s = 29$ ), hexagonal, cuadrado y triangular.

Véase también

Notas

^ ab Conway, John H. ; Guy, Richard (6 de diciembre de 2012). El libro de los números . Springer Science & Business Media. págs. 38–41. ISBN 978-1-4612-4072-3.
^ abcdefgh "Sumas de recíprocos de números poligonales y un teorema de Gauss" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2011-06-15 . Consultado el 2010-06-13 .
^ "Más allá del problema de Basilea: sumas de recíprocos de números figurados" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 29 de mayo de 2013 . Consultado el 13 de mayo de 2010 .
^ Weisstein, Eric W. "Número triangular cuadrado pentagonal". MathWorld .

Referencias

El Diccionario Penguin de números curiosos e interesantes , David Wells ( Penguin Books , 1997) [ ISBN 0-14-026149-4 ].
Números poligonales en PlanetMath
Weisstein, Eric W. "Números poligonales". MathWorld .
F. Tapson (1999). Diccionario de estudio de matemáticas de Oxford (2.ª edición). Oxford University Press. Págs. 88-89. ISBN. 0-19-914-567-9.

Enlaces externos

"Número poligonal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Números poligonales: todos los números poligonales s entre 1 y 1000 en los que se puede hacer clic para 2<=s<=337
Números poligonales en la cuadrícula espiral de Ulam en YouTube
Función de conteo de números poligonales: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853