Modelo armónico esférico geopotencial

Descripción teórica de la forma gravimétrica de la Tierra

En geofísica y geodesia física , un modelo geopotencial es el análisis teórico de la medición y el cálculo de los efectos del campo gravitacional de la Tierra (el geopotencial ). La Tierra no es exactamente esférica, principalmente debido a su rotación alrededor del eje polar que hace que su forma sea ligeramente achatada. Sin embargo, una expansión de la serie de armónicos esféricos captura el campo real con una fidelidad cada vez mayor.

Si se conociera perfectamente la forma de la Tierra junto con la densidad de masa exacta ρ = ρ( x , y , z ), se podría integrar numéricamente (cuando se combina con un núcleo de distancia recíproca ) para encontrar un modelo preciso para el campo gravitatorio de la Tierra. Sin embargo, la situación es, de hecho, la opuesta: al observar las órbitas de las naves espaciales y la Luna, el campo gravitatorio de la Tierra se puede determinar con bastante precisión. La mejor estimación de la masa de la Tierra se obtiene dividiendo el producto GM , tal como se determina a partir del análisis de la órbita de la nave espacial, por un valor para la constante gravitatoria G , determinada con una precisión relativa menor utilizando otros métodos físicos.

Fondo

De las ecuaciones definitorias ( 1 ) y ( 2 ) se desprende claramente (tomando las derivadas parciales del integrando) que fuera del cuerpo en el espacio vacío son válidas las siguientes ecuaciones diferenciales para el campo causado por el cuerpo:

Las funciones de la forma donde ( r , θ, φ) son las coordenadas esféricas que satisfacen la ecuación diferencial parcial ( 6 ) (la ecuación de Laplace ) se denominan funciones armónicas esféricas . ${\displaystyle \phi =R(r)\,\Theta (\theta )\,\Phi (\varphi )}$

Toman las formas:

donde se utilizan coordenadas esféricas ( r , θ, φ), expresadas aquí en términos cartesianos ( x, y, z ) como referencia:

Además, P ⁰ _n son los polinomios de Legendre y P ^m _n para 1 ≤ m ≤ n son las funciones de Legendre asociadas .

Los primeros armónicos esféricos con n = 0, 1, 2, 3 se presentan en la tabla siguiente. [Tenga en cuenta que la convención de signos difiere de la que aparece en la página sobre los polinomios de Legendre asociados, aquí mientras que allí .] ${\displaystyle P_{2}^{1}(x)=3x{\sqrt {1-x^{2}}}}$ ${\displaystyle P_{2}^{1}(x)=-3x{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Formulación

El modelo del potencial gravitacional de la Tierra es una suma

donde y las coordenadas ( 8 ) son relativas al sistema de referencia geodésico estándar extendido en el espacio con origen en el centro del elipsoide de referencia y con el eje z en la dirección del eje polar. ${\displaystyle \mu =GM}$

Los términos zonales se refieren a términos de la forma:

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{0}(\sin \theta )}{r^{n+1}}}\quad n=0,1,2,\dots }$

y los términos tesserales se refieren a términos de la forma:

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\cos m\varphi }{r^{n+1}}}\,,\quad 1\leq m\leq n\quad n=1,2,\dots }$

${\displaystyle {\frac {P_{n}^{m}(\sin \theta )\sin m\varphi }{r^{n+1}}}}$

Los términos zonales y tesserales para n  = 1 se omiten en ( 9 ). Los coeficientes para el término n = 1 con m = 0 y m = 1 corresponden a un término dipolar orientado arbitrariamente en la expansión multipolar. La gravedad no exhibe físicamente ningún carácter dipolar y, por lo tanto, la integral que caracteriza n  = 1 debe ser cero.

A continuación, a los diferentes coeficientes J _n , C _n ^m , S _n ^m , se les asignan los valores para los cuales se obtiene la mejor concordancia posible entre las órbitas de la nave espacial calculadas y las observadas.

Como P ⁰ _n ( x ) = − P ⁰ _n (− x ), los coeficientes no nulos J _n para n impar corresponden a una falta de simetría "norte-sur" con respecto al plano ecuatorial para la distribución de masa de la Tierra. Los coeficientes no nulos C _n ^m , S _n ^m corresponden a una falta de simetría rotacional alrededor del eje polar para la distribución de masa de la Tierra, es decir, a una "triaxialidad" de la Tierra.

Para valores grandes de n, los coeficientes anteriores (que se dividen por r ^{( n + 1)} en ( 9 )) toman valores muy grandes cuando, por ejemplo, se utilizan kilómetros y segundos como unidades. En la literatura es común introducir un "radio de referencia" arbitrario R cercano al radio de la Tierra y trabajar con coeficientes adimensionales.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {J_{n}}}&=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}},&{\tilde {C_{n}^{m}}}&=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}},&{\tilde {S_{n}^{m}}}&=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}\end{aligned}}}$

y escribir el potencial como

Derivación

Términos más amplios

El término dominante (después del término −μ/ r ) en ( 9 ) es el coeficiente J ₂ , el segundo factor de forma dinámico que representa la oblatización de la Tierra:

${\displaystyle u={\frac {J_{2}\ P_{2}^{0}(\sin \theta )}{r^{3}}}=J_{2}{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {1}{2}}(3\sin ^{2}\theta -1)=J_{2}{\frac {1}{r^{5}}}{\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})}$

Relativo al sistema de coordenadas

Figura 1: Los vectores unitarios. Esto es incorrecto. Debería haber una theta, no una lambda. ${\displaystyle {\hat {\varphi }}\ ,\ {\hat {\theta }}\ ,\ {\hat {r}}}$

En la figura 1 se ilustran los componentes de la fuerza causada por el " término J _{2 ":}

En el sistema de coordenadas rectangulares ( x, y, z ) con vectores unitarios ( x̂ ŷ ẑ ) los componentes de fuerza son:

Los componentes de la fuerza correspondientes al término " J ₃ "

${\displaystyle u={\frac {J_{3}P_{3}^{0}(\sin \theta )}{r^{4}}}=J_{3}{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(5\sin ^{2}\theta -3\right)=J_{3}{\frac {1}{r^{7}}}{\frac {1}{2}}z\left(5z^{2}-3r^{2}\right)}$

son

y

Los valores numéricos exactos de los coeficientes varían (un poco) entre los diferentes modelos de la Tierra, pero para los coeficientes más bajos todos coinciden casi exactamente.

Para el modelo JGM-3 (ver más abajo) los valores son:

µ = 398600,440 km ³ ⋅s ⁻²

J ₂ = 1,75553 × 10 ¹⁰ km ⁵ ⋅s ⁻²

J ₃ = −2,61913 × 10 ¹¹ km ⁶ ⋅s ⁻²

Por ejemplo, en un radio de 6600 km (unos 200 km por encima de la superficie de la Tierra) J ₃ /( J ₂ r ) es aproximadamente 0,002; es decir, la corrección de la " fuerza J ₂ " a partir del " término J ₃ " es del orden de 2 por mil. El valor negativo de J ₃ implica que, para una masa puntual en el plano ecuatorial de la Tierra, la fuerza gravitacional está ligeramente inclinada hacia el sur debido a la falta de simetría de la distribución de masas del "norte-sur" de la Tierra.

Algoritmos recursivos utilizados para la propagación numérica de órbitas de naves espaciales

Las órbitas de las naves espaciales se calculan mediante la integración numérica de la ecuación de movimiento . Para ello, se debe calcular la fuerza gravitacional, es decir, el gradiente del potencial. Se han diseñado algoritmos recursivos eficientes para calcular la fuerza gravitacional para cualquier y (el grado máximo de los términos zonales y tesserales) y dichos algoritmos se utilizan en el software estándar de propagación de órbitas. ${\displaystyle N_{z}}$ ${\displaystyle N_{t}}$

Modelos disponibles

Los primeros modelos terrestres de uso generalizado por la NASA y la ESRO / ESA fueron los "modelos terrestres Goddard" desarrollados por el Centro de Vuelos Espaciales Goddard (GSFC), denominados "GEM-1", "GEM-2", "GEM-3", etc. Más tarde, se pusieron a disposición los "modelos conjuntos de gravedad terrestre" denominados "JGM-1", "JGM-2", "JGM-3", desarrollados por el GSFC en cooperación con universidades y empresas privadas. Los modelos más nuevos generalmente proporcionaban términos de orden superior a sus precursores. El EGM96 utiliza N _z = N _t = 360, lo que da como resultado 130317 coeficientes. También está disponible un modelo EGM2008.

Para un satélite terrestre normal que requiere una precisión de determinación/predicción de órbita de unos pocos metros, el "JGM-3" truncado a N _z = N _t = 36 (1365 coeficientes) suele ser suficiente. Las imprecisiones derivadas del modelado de la resistencia aerodinámica y, en menor medida, de la presión de la radiación solar superarán las imprecisiones causadas por los errores del modelado gravitacional.

Los coeficientes adimensionales , , para los primeros términos zonales y tesserales (usando = ${\displaystyle {\tilde {J_{n}}}=-{\frac {J_{n}}{\mu \ R^{n}}}}$ ${\displaystyle {\tilde {C_{n}^{m}}}=-{\frac {C_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}}$ ${\displaystyle {\tilde {S_{n}^{m}}}=-{\frac {S_{n}^{m}}{\mu \ R^{n}}}}$ ${\displaystyle R}$6 378 .1363 km y = ${\displaystyle \mu }$398 600 .4415 km ³ /s ² ) del modelo JGM-3 son

Según JGM-3 se tiene entonces que J ₂ =0,108 263 5854 × 10 ⁻² × 6378,1363 ² ×398 600 .4415 km ⁵ /s ² =1,755 53 × 10 ¹⁰  km ⁵ /s ² y J ₃ =−0,253 243 5346 × 10 ⁻⁵ × 6378,1363 ³ ×398 600 .4415 km ⁶ /s ² =−2,619 13 × 10 ¹¹  km ⁶ /s ² .

Véase también

• Representación de armónicos esféricos del geoide

Referencias

Lectura adicional

• Teoría de vuelo de satélites artificiales terrestres de El'Yasberg , Programa israelí de traducciones científicas (1967)
• Lerch, FJ, Wagner, CA, Smith, DE, Sandson, ML, Brownd, JE, Richardson, JA, "Modelos de campo gravitacional para la Tierra (GEM1 y 2)", Informe X55372146, Centro de vuelo espacial Goddard, Greenbelt/Maryland, 1972
• Lerch, FJ, Wagner, CA, Putney, ML, Sandson, ML, Brownd, JE, Richardson, JA, Taylor, WA, "Modelos de campo gravitacional GEM3 y 4", Informe X59272476, Centro de vuelo espacial Goddard, Greenbelt/Maryland, 1972
• Lerch, FJ, Wagner, CA, Richardson, JA, Brownd, JE, "Modelos terrestres Goddard (5 y 6)", Informe X92174145, Centro de vuelo espacial Goddard, Greenbelt/Maryland, 1974
• Lerch, FJ, Wagner, CA, Klosko, SM, Belott, RP, Laubscher, RE, Raylor, WA, "Mejora del modelo de gravedad mediante la altimetría Geos3 (GEM10A y 10B)", Reunión anual de primavera de 1978 de la Unión Geofísica Estadounidense, Miami, 1978
• Lerch, FJ; Klosko, SM; Laubscher, RE; Wagner, CA (1979). "Mejora del modelo de gravedad utilizando Geos3 (GEM9 y 10)". Revista de investigación geofísica . 84 (B8): 3897–3916. doi :10.1029/JB084i/B08p03897.
• Lerch, FJ; Putney, BH; Wagner, CA; Klosko, SM (1981). "Modelos terrestres Goddard para aplicaciones oceanográficas (GEM 10B y 10C)". Marine-Geodesy . 5 (2): 145–187. doi :10.1080/15210608109379416.
• Lerch, FJ, Klosko, SM, Patel, GB, "Un modelo de gravedad refinado de Lageos (GEML2)", Memorando técnico de la NASA 84986, Centro de vuelo espacial Goddard, Greenbelt/Maryland, 1983
• Lerch, FJ, Nerem, RS, Putney, BH, Felsentreger, TL, Sanchez, BV, Klosko, SM, Patel, GB, Williamson, RG, Chinn, DS, Chan, JC, Rachlin, KE, Chandler, NL, McCarthy, JJ, Marshall, JA, Luthcke, SB, Pavlis, DW, Robbins, JW, Kapoor, S., Pavlis, EC, "Modelos geopotenciales de la Tierra a partir de seguimiento por satélite, altímetro y observaciones de gravedad superficial: GEMT3 y GEMT3S", Memorándum técnico de la NASA 104555, Centro de vuelo espacial Goddard, Greenbelt/Maryland, 1992
• Lerch, FJ; Nerem, RS; Putney, BH; Felsentreger, TL; Sanchez, BV; Marshall, JA; Klosko, SM; Patel, GB; Williamson, RG (1994). "Un modelo geopotencial a partir de datos de seguimiento por satélite, altímetro y gravedad superficial: GEMT3". Revista de investigación geofísica . 99 (B2): 2815–2839. doi :10.1029/93JB02759.
• Nerem, RS; Lerch, FJ; Marshall, JA; Pavlis, EC; Putney, BH (1994). "Desarrollos de modelos de gravedad para Topex/Poseidon: modelos de gravedad conjuntos 1 y 2". Revista de investigación geofísica . 99 (C12): 24421–24447. doi :10.1029/94JC01376.
• Tapley, BD; Watkins, MM; Ries, JC; Davis, GW; Eanes, RJ (1996). "El modelo de gravedad conjunta 3". J. Geophys. Res . 101 (B12). doi :10.1029/96JB01645.

Enlaces externos

• http://cddis.nasa.gov/lw13/docs/papers/sci_lemoine_1m.pdf Archivado el 19 de julio de 2011 en Wayback Machine.
• http://geodesy.geology.ohio-state.edu/course/refpapers/Tapley_JGR_JGM3_96.pdf Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine.