La geometría descriptiva es la rama de la geometría que permite la representación de objetos tridimensionales en dos dimensiones mediante el uso de un conjunto específico de procedimientos. Las técnicas resultantes son importantes para la ingeniería , la arquitectura , el diseño y el arte . [1] La base teórica de la geometría descriptiva la proporcionan las proyecciones geométricas planas . La primera publicación conocida sobre la técnica fue "Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt" ( Observación de la medición con el compás y el nivel de burbuja ), publicada en Linien, Núremberg: 1525, por Alberto Durero . El arquitecto italiano Guarino Guarini también fue un pionero de la geometría proyectiva y descriptiva, como se desprende de su Placita Philosophica (1665), Euclides Adauctus (1671) y Architettura Civile (1686, no publicada hasta 1737), anticipándose al trabajo de Gaspard Monge (1746-1818), a quien se le suele atribuir la invención de la geometría descriptiva. [2] [3] Gaspard Monge suele ser considerado el "padre de la geometría descriptiva" debido a sus avances en la resolución de problemas geométricos. Sus primeros descubrimientos fueron en 1765 mientras trabajaba como dibujante para fortificaciones militares, aunque sus hallazgos se publicaron más tarde. [4]
Los protocolos de Monge permiten dibujar un objeto imaginario de tal manera que pueda ser modelado en tres dimensiones. Todos los aspectos geométricos del objeto imaginario se representan en tamaño real, escala y forma, y pueden visualizarse como se ven desde cualquier posición en el espacio. Todas las imágenes se representan en una superficie bidimensional.
La geometría descriptiva utiliza la técnica de creación de imágenes mediante proyectores imaginarios paralelos que emanan de un objeto imaginario y que intersecan un plano de proyección imaginario en ángulos rectos. Los puntos de intersección acumulados crean la imagen deseada.
Aparte de la ortográfica, seis vistas principales estándar (frontal, lateral derecha, lateral izquierda, superior, inferior y posterior), la geometría descriptiva intenta producir cuatro vistas de solución básicas: la longitud real de una línea (es decir, tamaño completo, no escorzada), la vista de punto (vista final) de una línea, la forma real de un plano (es decir, tamaño completo a escala o no escorzada) y la vista de borde de un plano (es decir, vista de un plano con la línea de visión perpendicular a la línea de visión asociada con la línea de visión para producir la forma real de un plano). Estas a menudo sirven para determinar la dirección de proyección para la vista posterior. Mediante el proceso de paso tortuoso de 90°, proyectar en cualquier dirección desde la vista de punto de una línea produce su vista de longitud real ; proyectar en una dirección paralela a una vista de línea de longitud real produce su vista de punto, proyectar la vista de punto de cualquier línea en un plano produce la vista de borde del plano; proyectar en una dirección perpendicular a la vista de borde de un plano producirá la vista de forma real (a escala). Estos diversos puntos de vista pueden utilizarse para ayudar a resolver problemas de ingeniería planteados por los principios de geometría sólida.
El estudio de la geometría descriptiva tiene un valor heurístico, ya que promueve la visualización y las capacidades analíticas espaciales, así como la capacidad intuitiva de reconocer la dirección de la mirada para presentar mejor un problema geométrico para su solución. Ejemplos representativos:
Todavía no se ha adoptado un estándar para presentar vistas de modelado por computadora análogas a las proyecciones secuenciales ortográficas. En las ilustraciones que aparecen a continuación se presenta un candidato para ello. Las imágenes de las ilustraciones se crearon utilizando gráficos informáticos de ingeniería tridimensionales.
El modelado tridimensional por ordenador produce un espacio virtual "detrás del tubo", por así decirlo, y puede producir cualquier vista de un modelo desde cualquier dirección dentro de este espacio virtual. Lo hace sin necesidad de vistas ortográficas adyacentes y, por lo tanto, puede parecer que vuelve obsoleto el protocolo tortuoso y escalonado de la geometría descriptiva. Sin embargo, dado que la geometría descriptiva es la ciencia de la representación legítima o permisible de imágenes de espacios tridimensionales o más , en un plano, es un estudio indispensable para mejorar las posibilidades del modelado por ordenador.
Dadas las coordenadas X, Y y Z de P, R, S y U, las proyecciones 1 y 2 se dibujan a escala en los planos XY y XZ, respectivamente.
Para obtener una vista verdadera (la longitud en la proyección es igual a la longitud en el espacio 3D) de una de las líneas: SU en este ejemplo, la proyección 3 se dibuja con la línea de articulación H 2,3 paralela a S 2 U 2 . Para obtener una vista final de SU, la proyección 4 se dibuja con la línea de articulación H 3,4 perpendicular a S 3 U 3 . La distancia perpendicular d da la distancia más corta entre PR y SU.
Para obtener los puntos Q y T en estas líneas que dan esta distancia más corta, se dibuja la proyección 5 con la línea de articulación H 4,5 paralela a P 4 R 4 , lo que hace que tanto P 5 R 5 como S 5 U 5 sean vistas verdaderas (cualquier proyección de una vista final es una vista verdadera). Proyectar la intersección de estas líneas, Q 5 y T 5 de nuevo a la proyección 1 (líneas y etiquetas magenta) permite leer sus coordenadas en los ejes X, Y y Z.
Las soluciones generales son una clase de soluciones dentro de la geometría descriptiva que contienen todas las posibles soluciones a un problema. La solución general está representada por un único objeto tridimensional, normalmente un cono, cuyas direcciones de los elementos son la dirección de visualización (proyección) deseada para cualquiera de un número infinito de vistas de la solución.
Por ejemplo: para encontrar la solución general tal que aparezcan dos líneas oblicuas de longitud desigual en posiciones generales (¿por ejemplo, cohetes en vuelo?):
En los ejemplos, la solución general para cada solución característica deseada es un cono, cada elemento del cual produce una de un número infinito de vistas de solución. Cuando se desean dos o más características de, por ejemplo, las enumeradas anteriormente (y para las cuales existe una solución), la proyección en la dirección de cualquiera de los dos elementos de las intersecciones (un elemento, si los conos son tangentes) entre los dos conos produce la vista de solución deseada. Si los conos no se intersecan, no existe una solución. Los ejemplos siguientes están anotados para mostrar los principios geométricos descriptivos utilizados en las soluciones. TL = Longitud real; EV = Vista de borde.
Las figuras 1 a 3 a continuación muestran (1) geometría descriptiva, soluciones generales y (2) simultáneamente, un estándar potencial para presentar dichas soluciones en formatos de diseño ortográfico y de múltiples vistas.
El estándar potencial emplea dos vistas ortográficas estándar adyacentes (aquí, Frontal y Superior) con una "línea de plegado" estándar entre ellas. Como no hay necesidad posterior de "dar un giro indirecto de 90° alrededor del objeto, en secuencias estándar de dos pasos para llegar a una vista de solución (es posible ir directamente a la vista de solución), este protocolo más corto se tiene en cuenta en el diseño. Cuando el protocolo de un paso reemplaza al protocolo de dos pasos, se utilizan líneas de "doble plegado". En otras palabras, cuando uno cruza las líneas dobles no está haciendo un giro indirecto de 90° sino un giro no ortodireccional directamente a la vista de solución. Como la mayoría de los paquetes de gráficos de computadora de ingeniería generan automáticamente las seis vistas principales del modelo de caja de vidrio, así como una vista isométrica, estas vistas a veces se agregan por curiosidad heurística.
