En geometría algebraica y álgebra conmutativa , los teoremas de planitud genérica y de libertad genérica establecen que, bajo ciertas hipótesis, un haz de módulos en un esquema es plano o libre . Se deben a Alexander Grothendieck .
La planitud genérica establece que si Y es un esquema localmente noetheriano integral, u : X → Y es un morfismo de esquemas de tipo finito, y F es un módulo O X coherente , entonces existe un subconjunto abierto no vacío U de Y tal que la restricción de F a u −1 ( U ) es plana sobre U . [1]
Como Y es integral, U es un subconjunto denso y abierto de Y . Esto se puede aplicar para deducir una variante de planitud genérica que es verdadera cuando la base no es integral. [2] Supóngase que S es un esquema noetheriano, u : X → S es un morfismo de tipo finito, y F es un módulo O X coherente . Entonces existe una partición de S en subconjuntos localmente cerrados S 1 , ..., S n con la siguiente propiedad: Dar a cada S i su estructura de esquema reducida, denotar por X i el producto de fibra X × S S i , y denotar por F i la restricción F ⊗ O S O S i ; entonces cada F i es plano.
La planicidad genérica es una consecuencia del lema de libertad genérica. La libertad genérica establece que si A es un dominio integral noetheriano , B es un A -álgebra de tipo finito y M es un B -módulo de tipo finito, entonces existe un elemento f distinto de cero de A tal que M f es un A f -módulo libre . [3] La libertad genérica se puede extender a la situación graduada: si B está graduado por los números naturales, A actúa en grado cero y M es un B -módulo graduado , entonces f puede elegirse de modo que cada componente graduado de M f sea libre. [4]
La libertad genérica se demuestra utilizando la técnica de dévissage de Grothendieck . Otra versión de la libertad genérica se puede demostrar utilizando el lema de normalización de Noether .