Modelo de Lieb-Liniger

Modelos físicos de un gas unidimensional de bosones

En física , el modelo de Lieb-Liniger describe un gas de partículas que se mueven en una dimensión y satisfacen las estadísticas de Bose-Einstein . Más específicamente, describe un gas de Bose unidimensional con interacciones delta de Dirac . El nombre de t se debe a Elliott H. Lieb y Werner Liniger  [de], quienes introdujeron el modelo en 1963. ^[1] El modelo fue desarrollado para comparar y probar la teoría de Nikolay Bogolyubov de un gas de Bose con interacción débil. ^[2]

Definición

Dados bosones que se mueven en una dimensión sobre el eje definido a partir de con condiciones de contorno periódicas , un estado del sistema de N cuerpos debe describirse mediante una función de onda de muchos cuerpos . El hamiltoniano de este modelo se introduce como ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [0,L]}$ ${\displaystyle \psi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{j},\dots ,x_{N})}$

${\displaystyle H=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}+2c\sum _{i=1}^{N}\sum _{j>i}^{N}\delta (x_{i}-x_{j})\ ,}$

donde es la función delta de Dirac . La constante denota la fuerza de la interacción, representa una interacción repulsiva y una interacción atractiva. ^[3] El límite del núcleo duro se conoce como el gas de Tonks-Girardeau . ^[3] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle c<0}$ ${\displaystyle c\to \infty }$

Para una colección de bosones, la función de onda no cambia bajo la permutación de dos partículas cualesquiera (simetría de permutación), es decir, para todos y satisface para todos . ${\displaystyle \psi (\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots )=\psi (\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots )}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (\dots ,x_{j}=0,\dots )=\psi (\dots ,x_{j}=L,\dots )}$ ${\displaystyle j}$

La función delta en el hamiltoniano da lugar a una condición de contorno cuando dos coordenadas, digamos y son iguales; esta condición es que cuando , la derivada satisface ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}\searrow x_{1}}$

${\displaystyle \left.\left({\frac {\partial }{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right)\psi (x_{1},x_{2})\right|_{x_{2}=x_{1}+}=c\psi (x_{1}=x_{2})}$.

Solución

Fig. 1: La energía del estado fundamental (por partícula) en función de la fuerza de interacción por densidad , de. ^[1] ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \gamma =Lc/N}$

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se resuelve mediante la construcción explícita de . Puesto que es simétrica, está completamente determinada por sus valores en el símplex , definido por la condición de que . ${\displaystyle H\psi =E\psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle 0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \dots ,\leq x_{N}\leq L}$

La solución se puede escribir en forma de ansatz de Bethe como ^[2]

${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{N})=\sum _{P}a(P)\exp \left(i\sum _{j=1}^{N}k_{Pj}x_{j}\right)}$,

con vectores de onda , donde la suma es sobre todas las permutaciones, , de los números enteros , y se asigna a . Los coeficientes , así como los de están determinados por la condición , y esto conduce a una energía total ${\displaystyle 0\leq k_{1}\leq k_{2}\leq \dots ,\leq k_{N}}$ ${\displaystyle N!}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 1,2,\dots ,N}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 1,2,\dots ,N}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots ,P_{N}}$ ${\displaystyle a(P)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H\psi =E\psi }$

${\displaystyle E=\sum _{j=1}^{N}\,k_{j}^{2}}$,

con las amplitudes dadas por

${\displaystyle a(P)=\prod _{1\leq i<j\leq N}\left(1+{\frac {ic}{k_{Pi}-k_{Pj}}}\right)\,.}$^[4]

Estas ecuaciones determinan en términos de . Estas conducen a las ecuaciones: ^[2] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle L\,k_{j}=2\pi I_{j}\ -2\sum _{i=1}^{N}\arctan \left({\frac {k_{j}-k_{i}}{c}}\right)\qquad \qquad {\text{for }}j=1,\,\dots ,\,N\ ,}$

donde son números enteros cuando es impar y cuando es par, toman valores . Para el estado fundamental, los de satisfacen ${\displaystyle I_{1}<I_{2}<\cdots <I_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\dots }$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I_{j+1}-I_{j}=1,\quad {\rm {for}}\ 1\leq j<N\qquad {\text{and }}I_{1}=-I_{N}.}$

Límite termodinámico

Referencias

1. Elliott H. Lieb y Werner Liniger, Análisis exacto de un gas de Bose en interacción. I. La solución general y el estado fundamental , Physical Review 130: 1605–1616, 1963
2. Lieb, Elliott (2008). "Modelo Lieb-Liniger de Bose Gas". Scholarpedia . 3 (12): 8712. doi : 10.4249/scholarpedia.8712 . ISSN  1941-6016.
3. Eckle, Hans-Peter (29 de julio de 2019). Modelos de materia cuántica: un primer curso sobre integrabilidad y el Bethe Ansatz. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-166804-3.
4. Dorlas, Teunis C. (1993). "Ortogonalidad y completitud de los estados propios de Bethe Ansatz del modelo no lineal de Schrödinger". Communications in Mathematical Physics . 154 (2): 347–376. Bibcode :1993CMaPh.154..347D. doi :10.1007/BF02097001. S2CID  122730941.