Funciones unisolventes

En matemáticas, un conjunto de n funciones f ₁ , f ₂ , ..., f _n es unisolvente (es decir, "únicamente soluble") en un dominio Ω si los vectores

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1})\\f_{1}(x_{2})\\\vdots \\f_{1}(x_{n})\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}f_{2}(x_{1})\\f_{2}(x_{2})\\\vdots \\f_{2}(x_{n})\end{bmatrix}},\dots ,{\begin{bmatrix}f_{n}(x_{1})\\f_{n}(x_{2})\\\vdots \\f_{n}(x_{n})\end{bmatrix}}}$

son linealmente independientes para cualquier elección de n puntos distintos x ₁ , x ₂ ... x _n en Ω. Equivalentemente, la colección es unisolvente si la matriz F con entradas f _i ( x _j ) tiene determinante distinto de cero : det( F ) ≠ 0 para cualquier elección de x _j distintos en Ω. La unisolvencia es una propiedad de los espacios vectoriales , no solo de conjuntos particulares de funciones. Es decir, un espacio vectorial de funciones de dimensión n es unisolvente si dada cualquier base (equivalentemente, un conjunto linealmente independiente de n funciones), la base es unisolvente (como un conjunto de funciones). Esto se debe a que dos bases cualesquiera están relacionadas por una matriz invertible (la matriz de cambio de base), por lo que una base es unisolvente si y solo si cualquier otra base es unisolvente.

Los sistemas de funciones unisolventes se utilizan ampliamente en interpolación ya que garantizan una solución única al problema de interpolación. El conjunto de polinomios de grado como máximo ⁠ ⁠ ${\displaystyle d}$ (que forman un espacio vectorial de dimensión ⁠ ⁠ ${\displaystyle d+1}$ ) son unisolventes por el teorema de unisolvencia .

Ejemplos

• 1, x , x ² es unisolvente en cualquier intervalo según el teorema de unisolvencia
• 1, x ² es unisolvente en [0, 1], pero no en [−1, 1]
• 1, cos( x ), cos(2 x ), ..., cos( nx ), sin( x ), sin(2 x ), ..., sin( nx ) es unsolvente en [− π ,  π ]
• Las funciones unisolventes se utilizan en problemas inversos lineales .

Insolvencia en el método de elementos finitos

Cuando se utilizan funciones "simples" para aproximar una función desconocida, como en el método de elementos finitos , es útil considerar un conjunto de funcionales que actúan sobre un espacio vectorial de funciones de dimensión finita , normalmente polinomios. A menudo, los funcionales se dan por evaluación en puntos del espacio euclidiano o algún subconjunto del mismo. ^{[1] [2]} ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle V_{h}}$

Por ejemplo, sea el espacio de polinomios univariados de grado o menor, y sea para definido por evaluación en puntos equidistantes en el intervalo unitario . En este contexto, la unisolvencia de con respecto a significa que es una base para , el espacio dual de . De manera equivalente, y quizás más intuitiva, unisolvencia aquí significa que dado cualquier conjunto de valores , existe un polinomio único tal que . Los resultados de este tipo se aplican ampliamente en la interpolación polinómica ; dada cualquier función en , al dejar , podemos encontrar un polinomio que interpola en cada uno de los puntos: . ${\displaystyle V_{h}={\big \{}p(x)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}x^{k}{\big \}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{k}(p):=f{\Big (}{\frac {k}{n}}{\Big )}}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle V_{h}}$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{n}}$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{n}}$ ${\displaystyle V_{h}^{*}}$ ${\displaystyle V_{h}}$ ${\displaystyle \{c_{k}\}_{k=1}^{n}}$ ${\displaystyle q(x)\in V_{h}}$ ${\displaystyle f_{k}(q)=q({\tfrac {k}{n}})=c_{k}}$ ${\displaystyle \phi \in C([0,1])}$ ${\displaystyle c_{k}=\phi ({\tfrac {k}{n}})}$ ${\displaystyle q\in V_{h}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \phi ({\tfrac {k}{n}})=q({\tfrac {k}{n}}),\ \forall k\in \{0,1,..,n\}}$

Dimensiones

Los sistemas de funciones unisolventes son mucho más comunes en una dimensión que en dimensiones superiores. En la dimensión d = 2 y superiores (Ω ⊂  R ^d ), las funciones f ₁ , f ₂ , ..., f _n no pueden ser unisolventes en Ω si existe un único conjunto abierto en el que todas sean continuas. Para ver esto, considere mover los puntos x ₁ y x ₂ a lo largo de trayectorias continuas en el conjunto abierto hasta que hayan intercambiado posiciones, de modo que x ₁ y x ₂ nunca se intersequen entre sí ni con ninguna de las otras x _i . El determinante del sistema resultante (con x ₁ y x ₂ intercambiados) es el negativo del determinante del sistema inicial. Dado que las funciones f _i son continuas, el teorema del valor intermedio implica que alguna configuración intermedia tiene determinante cero, por lo tanto, las funciones no pueden ser unisolventes.

Véase también

• Problema inverso

Referencias

1. Brenner, Susanne C.; Scott, L. Ridgway (2008). "La teoría matemática de los métodos de elementos finitos". Textos en Matemáticas Aplicadas . 15 . doi :10.1007/978-0-387-75934-0. ISBN 978-0-387-75933-3. ISSN  0939-2475.
2. Ern, Alexandre; Guermond, Jean-Luc (2004). "Teoría y práctica de elementos finitos". Applied Mathematical Sciences . 159 . doi :10.1007/978-1-4757-4355-5. ISBN 978-1-4419-1918-2. ISSN  0066-5452.

• Philip J. Davis : Interpolación y aproximación, págs. 31-32