Función zeta de Riemann

Función analítica en matemáticas

La función zeta de Riemann ζ ( z ) representada gráficamente con coloración de dominio . ^[1]

El polo en y dos ceros en la línea crítica. ${\displaystyle z=1}$

La función zeta de Riemann o función zeta de Euler-Riemann , denotada por la letra griega ζ ( zeta ), es una función matemática de una variable compleja definida como para , y su continuación analítica en otro lugar. ^[2] $${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$

La función zeta de Riemann juega un papel fundamental en la teoría analítica de números y tiene aplicaciones en física , teoría de probabilidad y estadística aplicada .

Leonhard Euler introdujo y estudió por primera vez la función sobre los números reales en la primera mitad del siglo XVIII. El artículo de Bernhard Riemann de 1859 " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada " amplió la definición de Euler a una variable compleja , demostró su continuación meromórfica y su ecuación funcional , y estableció una relación entre sus ceros y la distribución de los números primos . Este artículo también contenía la hipótesis de Riemann , una conjetura sobre la distribución de los ceros complejos de la función zeta de Riemann que muchos matemáticos consideran el problema no resuelto más importante en matemáticas puras . ^[3]

Los valores de la función zeta de Riemann en enteros positivos pares fueron calculados por Euler. El primero de ellos, ζ (2) , proporciona una solución al problema de Basilea . En 1979 Roger Apéry demostró la irracionalidad de ζ (3) . Los valores en puntos enteros negativos, también encontrados por Euler, son números racionales y juegan un papel importante en la teoría de formas modulares . Se conocen muchas generalizaciones de la función zeta de Riemann, como las series de Dirichlet , las funciones L de Dirichlet y las funciones L .

Definición

Artículo de Bernhard Riemann Sobre el número de primos por debajo de una magnitud dada

La función zeta de Riemann ζ ( s ) es una función de una variable compleja s = σ + it , donde σ y t son números reales. (La notación s , σ y t se utiliza tradicionalmente en el estudio de la función zeta, siguiendo a Riemann.) Cuando Re( s ) = σ > 1 , la función puede escribirse como una suma convergente o como una integral:

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\,,}$

dónde

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,e^{-x}\,\mathrm {d} x}$

es la función gamma . La función zeta de Riemann se define para otros valores complejos mediante la continuación analítica de la función definida para σ > 1 .

Leonhard Euler consideró la serie anterior en 1740 para valores enteros positivos de s , y más tarde Chebyshev extendió la definición a ^[4] ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1.}$

La serie anterior es una serie de Dirichlet prototípica que converge absolutamente a una función analítica para s tal que σ > 1 y diverge para todos los demás valores de s . Riemann demostró que la función definida por la serie en el semiplano de convergencia puede continuarse analíticamente para todos los valores complejos s ≠ 1 . Para s = 1 , la serie es la serie armónica que diverge a +∞ , y Por lo tanto, la función zeta de Riemann es una función meromórfica en todo el plano complejo, que es holomorfa en todas partes excepto en un polo simple en s = 1 con residuo 1 . $${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=1.}$$

Fórmula del producto de Euler

En 1737, Euler descubrió la conexión entre la función zeta y los números primos y demostró la identidad

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},}$

donde, por definición, el lado izquierdo es ζ ( s ) y el producto infinito del lado derecho se extiende sobre todos los números primos p (tales expresiones se denominan productos de Euler ):

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-11^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots }$

Ambos lados de la fórmula del producto de Euler convergen para Re( s ) > 1 . La prueba de la identidad de Euler utiliza solo la fórmula para la serie geométrica y el teorema fundamental de la aritmética . Dado que la serie armónica , obtenida cuando s = 1 , diverge, la fórmula de Euler (que se convierte en Π _p ⁠pag/pág - 1) implica que hay infinitos números primos . ^[5] Dado que el logaritmo de ⁠pag/pág - 1⁠ es aproximadamente ⁠1/pag⁠ , la fórmula también se puede utilizar para demostrar el resultado más fuerte de que la suma de los recíprocos de los primos es infinita. Por otra parte, combinando eso con la criba de Eratóstenes se muestra que la densidad del conjunto de primos dentro del conjunto de números enteros positivos es cero.

La fórmula del producto de Euler se puede utilizar para calcular la probabilidad asintótica de que s números enteros seleccionados al azar sean coprimos entre sí . Intuitivamente, la probabilidad de que cualquier número sea divisible por un primo (o cualquier número entero) p es ⁠1/pag⁠ . Por lo tanto, la probabilidad de que todos los números s sean divisibles por este primo es ⁠1/ps^​⁠ , y la probabilidad de que al menos uno de ellos no lo sea es 1 − ⁠1/ps^​⁠ . Ahora bien, para primos distintos, estos eventos de divisibilidad son mutuamente independientes porque los divisores candidatos son coprimos (un número es divisible por los divisores coprimos n y m si y solo si es divisible por  nm , un evento que ocurre con probabilidad  ⁠1/Nuevo Méjico⁠ ). Por lo tanto, la probabilidad asintótica de que s números sean coprimos está dada por un producto de todos los primos,

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\left(\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$

Ecuación funcional de Riemann

Esta función zeta satisface la ecuación funcional donde Γ( s ) es la función gamma . Esta es una igualdad de funciones meromórficas válida en todo el plano complejo . La ecuación relaciona valores de la función zeta de Riemann en los puntos s y 1 − s , en particular relacionando números enteros positivos pares con números enteros negativos impares. Debido a los ceros de la función seno, la ecuación funcional implica que ζ ( s ) tiene un cero simple en cada número entero negativo par s = −2 n , conocido como los ceros triviales de ζ ( s ) . Cuando s es un número entero positivo par, el producto sin( ⁠ $${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\ ,}$$   πs /2⁠ ) ​​Γ(1 − s )  a la derecha no es cero porqueΓ(1 − s )tiene unpolo, que cancela el cero simple del factor seno.

Demostración de la ecuación funcional de Riemann

Una prueba de la ecuación funcional se realiza de la siguiente manera: Observamos que si entonces ${\displaystyle \ s>0\ ,}$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{{\frac {1}{2}}s-1}e^{-n^{2}\pi x}\ \operatorname {d} x\ =\ {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {s}{2}}\right)\ }{\ n^{s}\ \pi ^{\frac {s}{2}}\ }}~.}$$

En consecuencia, si entonces con la inversión de los procesos limitantes justificados por la convergencia absoluta (de ahí el requisito más estricto en ). ${\displaystyle \ s>1\ }$ $${\displaystyle {\frac {\ \Gamma \!\left({\frac {s}{2}}\right)\ \zeta (s)\ }{\ \pi ^{\frac {s}{2}}\ }}\ =\ \sum _{n=1}^{\infty }\ \int _{0}^{\infty }\ x^{{s \over 2}-1}\ e^{-n^{2}\pi x}\ \operatorname {d} x\ =\ \int _{0}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}\ \operatorname {d} x\ ,}$$ ${\displaystyle s}$

Para mayor comodidad, deje que $${\displaystyle \psi (x)\ :=\ \sum _{n=1}^{\infty }\ e^{-n^{2}\pi x}}$$

que es un caso especial de la función theta . Entonces $${\displaystyle \zeta (s)\ =\ {\frac {\pi ^{s \over 2}}{\ \Gamma ({s \over 2})\ }}\ \int _{0}^{\infty }\ x^{{1 \over 2}{s}-1}\ \psi (x)\ \operatorname {d} x~.}$$

Por la fórmula de suma de Poisson tenemos $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\ e^{-n^{2}\pi \ x}\ =\ {\frac {1}{\ {\sqrt {x\ }}\ }}\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }\ e^{-{\frac {\ n^{2}\pi \ }{x}}}\ ,}$$

de modo que $${\displaystyle \ 2\ \psi (x)+1\ =\ {\frac {1}{\ {\sqrt {x\ }}\ }}\left\{\ 2\ \psi \!\left({\frac {1}{x}}\right)+1\ \right\}~.}$$

Por eso $${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\ \Gamma \!\left({\frac {s}{2}}\right)\ \zeta (s)\ =\ \int _{0}^{1}\ x^{{\frac {s}{2}}-1}\ \psi (x)\ \operatorname {d} x+\int _{1}^{\infty }x^{{\frac {s}{2}}-1}\psi (x)\ \operatorname {d} x~.}$$

Esto es equivalente a o $${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{{\frac {s}{2}}-1}\left\{{\frac {1}{\ {\sqrt {x\ }}\ }}\ \psi \!\left({\frac {1}{x}}\right)+{\frac {1}{\ 2{\sqrt {x\ }}\ }}-{\frac {1}{2}}\ \right\}\ \operatorname {d} x+\int _{1}^{\infty }x^{{s \over 2}-1}\psi (x)\ \operatorname {d} x}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{\ s-1\ }}-{\frac {1}{\ s\ }}+\int _{0}^{1}\ x^{{\frac {s}{2}}-{\frac {3}{2}}}\ \psi \!\left({\frac {1}{\ x\ }}\right)\ \operatorname {d} x+\int _{1}^{\infty }\ x^{{\frac {s}{2}}-1}\ \psi (x)\ \operatorname {d} x~.}$$

Entonces $${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\ \Gamma \!\left({\frac {\ s\ }{2}}\right)\ \zeta (s)\ =\ {\frac {1}{\ s(s-1)\ }}+\int _{1}^{\infty }\ \left(x^{-{\frac {s}{2}}-{\frac {1}{2}}}+x^{{\frac {s}{2}}-1}\right)\ \psi (x)\ \operatorname {d} x}$$

que es convergente para todo s , por lo que se cumple por continuación analítica. Además, observe por inspección que el lado derecho permanece igual si s se reemplaza por 1 − s . Por lo tanto

$${\displaystyle {\frac {\ \Gamma \!\left(\ {\frac {s}{2}}\ \right)\ \zeta \!\left(\ s\ \right)\ }{\ \pi ^{{\frac {s}{2}}\ }\ }}\ =\ {\frac {\ \Gamma \!\left(\ {\frac {1}{2}}-{\frac {s}{2}}\ \right)\ \zeta \!\left(\ 1-s\ \right)\ }{\ \pi ^{{\frac {1}{2}}-{\frac {s}{2}}}\ }}}$$

que es la ecuación funcional atribuida a Bernhard Riemann . ^[6]

La ecuación funcional fue establecida por Riemann en su artículo de 1859 " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada " y utilizada para construir la continuación analítica en primer lugar.

Equivalencias

Euler había conjeturado una relación equivalente más de cien años antes, en 1749, para la función eta de Dirichlet (la función zeta alterna): $${\displaystyle \eta (s)\ =\ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\;(-1)^{n+1}}{\ n^{s}}}=\left(1-{2^{1-s}}\right)\ \zeta (s)~.}$$

Por cierto, esta relación da una ecuación para calcular ζ ( s ) en la región 0 < ℛ _ℯ ( s ) < 1 , es decir , donde la serie η es convergente (aunque no de manera absoluta ) en el semiplano más grande s > 0 (para un estudio más detallado de la historia de la ecuación funcional, véase, por ejemplo, Blagouchine ^{[7] [8]} ). $${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\;1-2^{1-s}\ }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{\;n^{s}\ }}}$$

Riemann también encontró una versión simétrica de la ecuación funcional que se aplica a la función ξ : que satisface: $${\displaystyle \xi (s)\ =\ {\frac {1}{2}}\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\ s(s-1)\ \Gamma \!\left({\frac {s}{2}}\right)\ \zeta (s)\ ,}$$ $${\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)~.}$$

( La ξ ( t ) original de Riemann era ligeramente diferente.)

El factor no fue bien comprendido en la época de Riemann, hasta la tesis de John Tate (1950) , en la que se demostró que este llamado "factor Gamma" es de hecho el factor L local correspondiente al lugar arquimediano , siendo los otros factores en la expansión del producto de Euler los factores L locales de los lugares no arquimedianos. ${\displaystyle \ \pi ^{-s/2}\ \Gamma (s/2)\ }$

Los ceros, la línea crítica y la hipótesis de Riemann

Espiral zeta de Riemann a lo largo de la línea crítica desde la altura 999000 hasta un millón (de rojo a violeta)

La función zeta de Riemann no tiene ceros a la derecha de σ = 1 o (aparte de los ceros triviales) a la izquierda de σ = 0 (los ceros tampoco pueden estar demasiado cerca de esas líneas). Además, los ceros no triviales son simétricos respecto del eje real y la línea σ = ⁠1/2⁠ y, según la hipótesis de Riemann , todos se encuentran en la línea σ = ⁠1/2⁠ .

Esta imagen muestra un gráfico de la función zeta de Riemann a lo largo de la línea crítica para valores reales de t que van de 0 a 34. Los primeros cinco ceros en la franja crítica son claramente visibles como el lugar donde las espirales pasan por el origen.

La parte real (roja) y la parte imaginaria (azul) de la función zeta de Riemann a lo largo de la línea crítica Re( s ) = 1/2. Los primeros ceros no triviales se pueden ver en Im( s ) = ±14,135, ±21,022 y ±25,011.

Animación que muestra la función zeta de Riemann a lo largo de la línea crítica. Zeta(1/2 + I y) para y en un rango de 1000 a 1005.

La ecuación funcional muestra que la función zeta de Riemann tiene ceros en −2, −4,... . Estos se denominan ceros triviales . Son triviales en el sentido de que su existencia es relativamente fácil de demostrar, por ejemplo, a partir de sen ⁠πs​/2⁠ siendo 0 en la ecuación funcional. Los ceros no triviales han captado mucha más atención porque su distribución no solo es mucho menos entendida sino, más importante aún, su estudio produce resultados importantes sobre los números primos y objetos relacionados en la teoría de números. Se sabe que cualquier cero no trivial se encuentra en la franja abierta, que se llama franja crítica . El conjuntose llama línea crítica . La hipótesis de Riemann , considerada uno de los mayores problemas sin resolver en matemáticas, afirma que todos los ceros no triviales están en la línea crítica. En 1989, Conrey demostró que más del 40% de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann están en la línea crítica. ^[9] ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} :0<\operatorname {Re} (s)<1\}}$ ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} :\operatorname {Re} (s)=1/2\}}$

Para la función zeta de Riemann en la línea crítica, véase Función Z.

Número de ceros en la franja crítica

Sea el número de ceros de en la franja crítica , cuyas partes imaginarias están en el intervalo . Trudgian demostró que, si , entonces ^[12] ${\displaystyle N(T)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1}$ ${\displaystyle 0<\operatorname {Im} (s)<T}$ ${\displaystyle T>e}$

${\displaystyle \left|N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}\right|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$.

Las conjeturas de Hardy-Littlewood

En 1914, GH Hardy demostró que ζ ( ⁠1/2⁠ + it ) tiene infinitos ceros reales. ^{[13] [14]}

Hardy y JE Littlewood formularon dos conjeturas sobre la densidad y la distancia entre los ceros de ζ ( ⁠1/2⁠ + it ) en intervalos de números reales positivos grandes. En lo que sigue, N ( T ) es el número total de ceros reales y N ₀ ( T ) el número total de ceros de orden impar de la función ζ ( ⁠1/2⁠ + it ) que se encuentra en el intervalo (0, T ] .

1. Para cualquier ε > 0 , existe un T ₀ ( ε ) > 0 tal que cuando

   ${\displaystyle T\geq T_{0}(\varepsilon )\quad {\text{ and }}\quad H=T^{{\frac {1}{4}}+\varepsilon },}$

   el intervalo ( T , T + H ] contiene un cero de orden impar.
2. Para cualquier ε > 0 , existe un T ₀ ( ε ) > 0 y c _ε > 0 tal que la desigualdad

   ${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq c_{\varepsilon }H}$

   se sostiene cuando

   ${\displaystyle T\geq T_{0}(\varepsilon )\quad {\text{ and }}\quad H=T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }.}$

Estas dos conjeturas abrieron nuevas direcciones en la investigación de la función zeta de Riemann.

Región libre de ceros

La ubicación de los ceros de la función zeta de Riemann es de gran importancia en la teoría de números. El teorema de los números primos es equivalente al hecho de que no hay ceros de la función zeta en la línea Re( s ) = 1. ^[15] Un mejor resultado ^[16] que se desprende de una forma efectiva del teorema del valor medio de Vinogradov es que ζ ( σ + it ) ≠ 0 siempre que y | t | ≥ 3 . ${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{57.54(\log {|t|})^{\frac {2}{3}}(\log {\log {|t|}})^{\frac {1}{3}}}}}$

En 2015, Mossinghoff y Trudgian demostraron ^[17] que zeta no tiene ceros en la región

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.573412\log |t|}}}$

para | t | ≥ 2 . Esta es la región libre de ceros más grande conocida en la franja crítica para . ${\displaystyle 3.06\cdot 10^{10}<|t|<\exp(10151.5)\approx 5.5\cdot 10^{4408}}$

El resultado más fuerte de este tipo que se puede esperar es la verdad de la hipótesis de Riemann, que tendría muchas consecuencias profundas en la teoría de números.

Otros resultados

Se sabe que hay infinitos ceros en la línea crítica. Littlewood demostró que si la secuencia ( γ _n ) contiene las partes imaginarias de todos los ceros en el semiplano superior en orden ascendente, entonces

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\gamma _{n+1}-\gamma _{n}\right)=0.}$

El teorema de la línea crítica afirma que una proporción positiva de los ceros no triviales se encuentra en la línea crítica. (La hipótesis de Riemann implicaría que esta proporción es 1).

En la franja crítica, el cero con la parte imaginaria no negativa más pequeña es ⁠1/2⁠ + 14.13472514... i ( OEIS : A058303 ). El hecho de que

${\displaystyle \zeta (s)={\overline {\zeta ({\overline {s}})}}}$

Para todo complejo s ≠ 1 implica que los ceros de la función zeta de Riemann son simétricos respecto del eje real. Combinando esta simetría con la ecuación funcional, además, se ve que los ceros no triviales son simétricos respecto de la línea crítica Re( s ) = ⁠1/2⁠ .

También se sabe que no hay ceros en la línea con la parte real 1.

Valores específicos

Para cualquier entero par positivo 2 n , donde B _{2 n} es el 2 n -ésimo número de Bernoulli . Para los enteros positivos impares, no se conoce una expresión tan simple, aunque se piensa que estos valores están relacionados con la K -teoría algebraica de los enteros; véase Valores especiales de las funciones L . $${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {|{B_{2n}}|(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}},}$$

Para números enteros no positivos, se tiene para n ≥ 0 (usando la convención de que B ₁ = ⁠ $${\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$$1/2⁠ ). En particular, ζ se desvanece en los números enteros pares negativos porque B _m = 0 para todos los m impares distintos de 1. Estos son los llamados "ceros triviales" de la función zeta.

Mediante la continuación analítica , se puede demostrar que Esto da un pretexto para asignar un valor finito a la serie divergente 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ , que se ha utilizado en ciertos contextos ( suma de Ramanujan ) como la teoría de cuerdas . ^[18] De manera análoga, el valor particular puede verse como la asignación de un resultado finito a la serie divergente 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ . $${\displaystyle \zeta (-1)=-{\tfrac {1}{12}}}$$ $${\displaystyle \zeta (0)=-{\tfrac {1}{2}}}$$

El valor se emplea para calcular problemas de capa límite cinética de ecuaciones cinéticas lineales. ^{[19] [20]} $${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}=-1.46035450880958681288\ldots }$$

Aunque diverge, su valor principal de Cauchy existe y es igual a la constante de Euler-Mascheroni γ = 0,5772... . ^[21] $${\displaystyle \zeta (1)=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\cdots }$$ $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}}$$

La demostración del valor particular se conoce como el problema de Basilea . El recíproco de esta suma responde a la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que dos números elegidos al azar sean primos entre sí ? ^[22] El valor es la constante de Apéry . $${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$ $${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.202056903159594285399...}$$

Tomando el límite a través de los números reales, se obtiene . Pero en el infinito complejo de la esfera de Riemann la función zeta tiene una singularidad esencial . ^[2] ${\displaystyle s\rightarrow +\infty }$ ${\displaystyle \zeta (+\infty )=1}$

Varias propiedades

Para sumas que involucran la función zeta en valores enteros y semienteros, consulte series zeta racionales .

Recíproca

El recíproco de la función zeta puede expresarse como una serie de Dirichlet sobre la función de Möbius μ ( n ) :

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

para cada número complejo s con parte real mayor que 1. Hay varias relaciones similares que involucran varias funciones multiplicativas bien conocidas ; estas se dan en el artículo sobre la serie de Dirichlet .

La hipótesis de Riemann es equivalente a afirmar que esta expresión es válida cuando la parte real de s es mayor que ⁠1/2⁠ .

Universalidad

La franja crítica de la función zeta de Riemann tiene la notable propiedad de universalidad . Esta universalidad de la función zeta establece que existe alguna ubicación en la franja crítica que se aproxima arbitrariamente bien a cualquier función holomorfa . Dado que las funciones holomorfas son muy generales, esta propiedad es bastante notable. La primera prueba de universalidad fue proporcionada por Sergei Mikhailovitch Voronin en 1975. ^[23] Trabajos más recientes han incluido versiones efectivas del teorema de Voronin ^[24] y su extensión a las funciones L de Dirichlet . ^{[25] [26]}

Estimaciones del máximo del módulo de la función zeta

Sean las funciones F ( T ; H ) y G ( s ₀ ; Δ) definidas por las igualdades

${\displaystyle F(T;H)=\max _{|t-T|\leq H}\left|\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)\right|,\qquad G(s_{0};\Delta )=\max _{|s-s_{0}|\leq \Delta }|\zeta (s)|.}$

Aquí T es un número positivo suficientemente grande, 0 < H ≪ log log T , s ₀ = σ ₀ + iT , ⁠1/2⁠ ≤ σ ₀ ≤ 1 , 0 < Δ < ⁠1/3⁠ . La estimación de los valores F y G a continuación muestra cuán grandes (en módulo) pueden adoptar los valores ζ ( s ) en intervalos cortos de la línea crítica o en pequeñas vecindades de puntos que se encuentran en la franja crítica 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 .

El caso H ≫ log log T fue estudiado por Kanakanahalli Ramachandra ; el caso Δ > c , donde c es una constante suficientemente grande, es trivial.

Anatolii Karatsuba demostró, ^{[27] [28]} en particular, que si los valores H y Δ exceden ciertas constantes suficientemente pequeñas, entonces las estimaciones

${\displaystyle F(T;H)\geq T^{-c_{1}},\qquad G(s_{0};\Delta )\geq T^{-c_{2}},}$

mantener, donde c ₁ y c ₂ son ciertas constantes absolutas.

El argumento de la función zeta de Riemann

La función

${\displaystyle S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}}$

se llama argumento de la función zeta de Riemann. Aquí arg ζ ( ⁠1/2⁠ + it ) es el incremento de una rama continua arbitraria de arg ζ ( s ) a lo largo de la línea discontinua que une los puntos 2 , 2 + it y ⁠1/2⁠ + eso .

Existen algunos teoremas sobre propiedades de la función S ( t ) . Entre esos resultados ^{[29] [30]} están los teoremas del valor medio para S ( t ) y su primera integral

${\displaystyle S_{1}(t)=\int _{0}^{t}S(u)\,\mathrm {d} u}$

sobre intervalos de la recta real, y también el teorema que afirma que cada intervalo ( T , T + H ] para

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$

contiene al menos

${\displaystyle H{\sqrt[{3}]{\ln T}}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

puntos donde la función S ( t ) cambia de signo. Atle Selberg obtuvo resultados similares anteriormente para el caso

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }.}$

Representaciones

Serie de Dirichlet

Se puede obtener una extensión del área de convergencia reordenando la serie original. ^[31] La serie

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n}{(n+1)^{s}}}-{\frac {n-s}{n^{s}}}\right)}$

converge para Re( s ) > 0 , mientras que

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{2}}\left({\frac {2n+3+s}{(n+1)^{s+2}}}-{\frac {2n-1-s}{n^{s+2}}}\right)}$

convergen incluso para Re( s ) > −1 . De esta manera, el área de convergencia se puede extender a Re( s ) > − k para cualquier entero negativo − k .

La conexión de recurrencia es claramente visible a partir de la expresión válida para Re( s ) > −2, lo que permite una mayor expansión mediante la integración por partes.

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)=&1+{\frac {1}{s-1}}-{\frac {s}{2!}}[\zeta (s+1)-1]\\-&{\frac {s(s+1)}{3!}}[\zeta (s+2)-1]\\&-{\frac {s(s+1)(s+2)}{3!}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {t^{3}dt}{(n+t)^{s+3}}}\end{aligned}}}$

Integrales de tipo Mellin

La transformada de Mellin de una función f ( x ) se define como ^[32]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)x^{s}\,{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}$

en la región donde se define la integral. Existen varias expresiones para la función zeta como integrales similares a la transformada de Mellin. Si la parte real de s es mayor que uno, tenemos

${\displaystyle \Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\quad }$y , ${\displaystyle \quad \Gamma (s)\zeta (s)={\frac {1}{2s}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\cosh(x)-1}}\,\mathrm {d} x}$

donde Γ denota la función gamma . Al modificar el contorno , Riemann demostró que

${\displaystyle 2\sin(\pi s)\Gamma (s)\zeta (s)=i\oint _{H}{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}$

para todos los s ^[33] (donde H denota el contorno de Hankel ).

También podemos encontrar expresiones relacionadas con los números primos y el teorema de los números primos . Si π ( x ) es la función de conteo de primos , entonces

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)}}\,\mathrm {d} x,}$

para valores con Re( s ) > 1 .

Una transformada de Mellin similar involucra la función de Riemann J ( x ) , que cuenta potencias primas p ⁿ con un peso de ⁠1/norte⁠ , de modo que

${\displaystyle J(x)=\sum {\frac {\pi \left(x^{\frac {1}{n}}\right)}{n}}.}$

Ahora

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }J(x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x.}$

Estas expresiones se pueden utilizar para demostrar el teorema de los números primos mediante la transformada inversa de Mellin. La función de conteo de primos de Riemann es más fácil de usar y π ( x ) se puede recuperar de ella mediante la inversión de Möbius .

Funciones theta

La función zeta de Riemann se puede dar mediante una transformada de Mellin ^[34]

${\displaystyle 2\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t,}$

en términos de la función theta de Jacobi

${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau }.}$

Sin embargo, esta integral solo converge si la parte real de s es mayor que 1, pero se puede regularizar. Esto da la siguiente expresión para la función zeta, que está bien definida para todos los s excepto 0 y 1:

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\theta (it)-t^{-{\frac {1}{2}}}\right)t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{2}}\int _{1}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t.}$

Serie Laurent

La función zeta de Riemann es meromórfica con un único polo de orden uno en s = 1. Por lo tanto, se puede desarrollar como una serie de Laurent en torno a s = 1 ; el desarrollo de la serie es entonces ^[35]

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\gamma _{n}}{n!}}(1-s)^{n}.}$

Las constantes γ _n aquí se denominan constantes de Stieltjes y se pueden definir por el límite

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}.}$

El término constante γ ₀ es la constante de Euler-Mascheroni .

Integral

Para todo s ∈ ℂ , s ≠ 1 , la relación integral (cf. fórmula de Abel–Plana )

${\displaystyle \ \zeta (s)\ =\ {\frac {1}{\ s-1\ }}+{\frac {\ 1\ }{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(\ s\ \arctan t\ )}{\ \left(1+t^{2}\right)^{s/2}\left(e^{2\pi t}-1\right)\ }}\ \operatorname {d} t\ }$

es cierto, lo que puede utilizarse para una evaluación numérica de la función zeta.

Factorial ascendente

Otro desarrollo de serie que utiliza el factorial ascendente válido para todo el plano complejo es ^[31]

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (s+n)-1{\bigr )}{\frac {s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}}.}$

Esto se puede utilizar de forma recursiva para extender la definición de la serie de Dirichlet a todos los números complejos.

La función zeta de Riemann también aparece en una forma similar a la transformada de Mellin en una integral sobre el operador de Gauss–Kuzmin–Wirsing que actúa sobre x ^{s − 1} ; ese contexto da lugar a una expansión en serie en términos del factorial descendente . ^[36]

Producto Hadamard

Sobre la base del teorema de factorización de Weierstrass , Hadamard dio el desarrollo del producto infinito

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {e^{\left(\log(2\pi )-1-{\frac {\gamma }{2}}\right)s}}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{\frac {s}{\rho }},}$

donde el producto está sobre los ceros no triviales ρ de ζ y la letra γ nuevamente denota la constante de Euler-Mascheroni . Una expansión de producto infinito más simple es

${\displaystyle \zeta (s)=\pi ^{\frac {s}{2}}{\frac {\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}.}$

Esta forma muestra claramente el polo simple en s = 1 , los ceros triviales en −2, −4, ... debido al término de función gamma en el denominador y los ceros no triviales en s = ρ . (Para asegurar la convergencia en la última fórmula, el producto debe tomarse sobre "pares coincidentes" de ceros, es decir, los factores para un par de ceros de la forma ρ y 1 − ρ deben combinarse).

Serie convergente global

Una serie globalmente convergente para la función zeta, válida para todos los números complejos s excepto s = 1 + ⁠2π yo/en 2n para algún entero n , fue conjeturado por Konrad Knopp en 1926 ^[37] y demostrado por Helmut Hasse en 1930 ^[38] (cf. suma de Euler ):

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s}}}.}$

La serie apareció en un apéndice del artículo de Hasse y fue publicada por segunda vez por Jonathan Sondow en 1994. ^[39]

Hasse también demostró la serie convergente global

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s-1}}}}$

en la misma publicación. ^[38] La investigación de Iaroslav Blagouchine ^{[40] [37] ha descubierto que} Joseph Ser publicó una serie similar y equivalente en 1926. ^[41]

En 1997, K. Maślanka proporcionó otra serie globalmente convergente (excepto s = 1 ) para la función zeta de Riemann:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}\prod _{i=1}^{k}(i-{\frac {s}{2}}){\biggl )}{\frac {A_{k}}{k!}}={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}1-{\frac {s}{2}}{\biggl )}_{k}{\frac {A_{k}}{k!}}}$

donde los coeficientes reales vienen dados por: ${\displaystyle A_{k}}$

${\displaystyle A_{k}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}(2j+1)\zeta (2j+2)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {B_{2j+2}\pi ^{2j+2}}{\left(2\right)_{j}\left({\frac {1}{2}}\right)_{j}}}}$

Aquí están los números de Bernoulli y denota el símbolo Pochhammer. ^{[42] [43]} ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle (x)_{k}}$

Obsérvese que esta representación de la función zeta es esencialmente una interpolación con nodos, donde los nodos son puntos , es decir, exactamente aquellos donde se conocen con precisión los valores zeta, como demostró Euler. Philippe Flajolet presentó en 2006 una demostración elegante y muy breve de esta representación de la función zeta, basada en el teorema de Carlson. ^[44] ${\displaystyle s=2,4,6,\ldots }$

El comportamiento asintótico de los coeficientes es bastante curioso: para valores crecientes, observamos oscilaciones regulares con una amplitud que disminuye casi exponencialmente y una frecuencia que disminuye lentamente (aproximadamente como ). Usando el método del punto de silla, podemos demostrar que ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{-2/3}}$

${\displaystyle A_{k}\sim {\frac {4\pi ^{3/2}}{\sqrt {3\kappa }}}\exp {\biggl (}-{\frac {3\kappa }{2}}+{\frac {\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}\cos {\biggl (}{\frac {4\pi }{3}}-{\frac {3{\sqrt {3}}\kappa }{2}}+{\frac {{\sqrt {3}}\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}}$

donde significa: ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \kappa :={\sqrt[{3}]{\pi ^{2}k}}}$

(ver ^[45] para más detalles).

Sobre la base de esta representación, en 2003 Luis Báez-Duarte proporcionó un nuevo criterio para la hipótesis de Riemann. ^{[46] [47] [48]} Es decir, si definimos los coeficientes como ${\displaystyle c_{k}}$

${\displaystyle c_{k}:=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}{\frac {1}{\zeta (2j+2)}}}$

Entonces la hipótesis de Riemann es equivalente a

${\displaystyle c_{k}={\mathcal {O}}{\biggl (}k^{-3/4+\varepsilon }{\biggl )}\qquad (\forall \varepsilon >0)}$

Serie rápidamente convergente

Peter Borwein desarrolló un algoritmo que aplica polinomios de Chebyshev a la función eta de Dirichlet para producir una serie convergente muy rápida adecuada para cálculos numéricos de alta precisión . ^[49]

Representación de series en números enteros positivos a través del primordio

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}}\qquad k=2,3,\ldots .}$

Aquí p _n # es la secuencia primordial y J _k es la función totiente de Jordan . ^[50]

Representación de series mediante los números poli-Bernoulli incompletos

La función ζ se puede representar, para Re( s ) > 1 , por la serie infinita

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\geq 2}^{(s)}{\frac {(W_{k}(-1))^{n}}{n!}},}$

donde k ∈ {−1, 0} , W _k es la rama k -ésima de la función W de Lambert y B^{( μ )}
_{n , ≥2}es un número poli-Bernoulli incompleto. ^[51]

La transformada de Mellin del mapa de Engel

La función se itera para encontrar los coeficientes que aparecen en las expansiones de Engel . ^[52] ${\displaystyle g(x)=x\left(1+\left\lfloor x^{-1}\right\rfloor \right)-1}$

La transformada de Mellin del mapa está relacionada con la función zeta de Riemann mediante la fórmula ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}\,dx\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}\\[6pt]&={\frac {\zeta (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}\end{aligned}}}$

Secuencia Thue-Morse

Ciertas combinaciones lineales de series de Dirichlet cuyos coeficientes son términos de la sucesión de Thue-Morse dan lugar a identidades que involucran la función Zeta de Riemann (Tóth, 2022 ^[53] ). Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {5t_{n-1}+3t_{n}}{n^{2}}}&=4\zeta (2)={\frac {2\pi ^{2}}{3}},\\\sum _{n\geq 1}{\frac {9t_{n-1}+7t_{n}}{n^{3}}}&=8\zeta (3),\end{aligned}}}$

donde es el término de la sucesión de Thue-Morse. De hecho, para todos los que tienen una parte real mayor que , tenemos ${\displaystyle (t_{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle n^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle (2^{s}+1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n-1}}{n^{s}}}+(2^{s}-1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n}}{n^{s}}}=2^{s}\zeta (s).}$

En n-ésimas dimensiones

La función zeta también se puede representar como una n-ésima cantidad de integrales:

${\displaystyle \zeta (n)=\int _{\cdots }\iint _{[0,1]^{n}}{\frac {dz_{1}\,dz_{2}\ldots \,dz_{n}}{1-z_{1}\,z_{2}\ldots \,z_{n}}}}$

y solo funciona para ${\displaystyle n\in \mathbb {N} /\{1\}}$

Algoritmos numéricos

Un algoritmo clásico, en uso antes de 1930 aproximadamente, procede aplicando la fórmula de Euler-Maclaurin para obtener, para n y m números enteros positivos,

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{j=1}^{n-1}j^{-s}+{\tfrac {1}{2}}n^{-s}+{\frac {n^{1-s}}{s-1}}+\sum _{k=1}^{m}T_{k,n}(s)+E_{m,n}(s)}$

donde, dejando denotar el número de Bernoulli indicado , ${\displaystyle B_{2k}}$

${\displaystyle T_{k,n}(s)={\frac {B_{2k}}{(2k)!}}n^{1-s-2k}\prod _{j=0}^{2k-2}(s+j)}$

y el error satisface

${\displaystyle |E_{m,n}(s)|<\left|{\frac {s+2m+1}{\sigma +2m+1}}T_{m+1,n}(s)\right|,}$

con σ = Re( s ). ^[54]

Un algoritmo numérico moderno es el algoritmo de Odlyzko-Schönhage .

Aplicaciones

La función zeta aparece en estadística aplicada, incluida la ley de Zipf , la ley de Zipf-Mandelbrot y la ley de Lotka .

La regularización de la función zeta se utiliza como un posible medio de regularización de series divergentes e integrales divergentes en la teoría cuántica de campos . En un ejemplo notable, la función zeta de Riemann aparece explícitamente en un método de cálculo del efecto Casimir . La función zeta también es útil para el análisis de sistemas dinámicos . ^[55]

Afinación musical

En la teoría de afinaciones musicales , la función zeta se puede utilizar para encontrar divisiones iguales de la octava (EDO) que se aproximen estrechamente a los intervalos de la serie armónica . Para valores crecientes de , el valor de ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \left\vert \zeta \left({\frac {1}{2}}+{\frac {2\pi {i}}{\ln {(2)}}}t\right)\right\vert }$

picos cerca de números enteros que corresponden a tales EDO. ^[56] Los ejemplos incluyen opciones populares como 12, 19 y 53. ^[57]

Serie infinita

La función zeta evaluada en números enteros positivos equidistantes aparece en representaciones de series infinitas de un número de constantes. ^[58]

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\bigl (}\zeta (n)-1{\bigr )}=1}$

De hecho, los términos pares e impares dan las dos sumas.

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n)-1{\bigr )}={\frac {3}{4}}}$

y

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n+1)-1{\bigr )}={\frac {1}{4}}}$

Las versiones parametrizadas de las sumas anteriores se dan mediante

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}+{\frac {1}{2}}\left(1-\pi t\cot(t\pi )\right)}$

y

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n+1)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}-{\frac {1}{2}}\left(\psi ^{0}(t)+\psi ^{0}(-t)\right)-\gamma }$

con y donde y son la función poligamma y la constante de Euler , respectivamente, así como ${\displaystyle |t|<2}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \gamma }$

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\,t^{2n}=\log \left({\dfrac {1-t^{2}}{\operatorname {sinc} (\pi \,t)}}\right)}$

todas las cuales son continuas en . Otras sumas incluyen ${\displaystyle t=1}$

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}=1-\gamma }$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\left(\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{n-1}-1\right)={\frac {1}{3}}\ln \pi }$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (4n)-1{\bigr )}={\frac {7}{8}}-{\frac {\pi }{4}}\left({\frac {e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}}\right).}$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\Im {\bigl (}(1+i)^{n}-1-i^{n}{\bigr )}={\frac {\pi }{4}}}$

donde denota la parte imaginaria de un número complejo. ${\displaystyle \Im }$

Otra serie interesante que se relaciona con el logaritmo natural de la constante lemniscata es la siguiente

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\left[{\frac {2(-1)^{n}\zeta (n)}{4^{n}n}}-{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{2^{n}n}}\right]=\ln \left({\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}\right)}$

Hay aún más fórmulas en el artículo Número armónico.

Generalizaciones

Hay varias funciones zeta relacionadas que pueden considerarse generalizaciones de la función zeta de Riemann. Entre ellas se encuentra la función zeta de Hurwitz.

${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+q)^{s}}}}$

(la representación en serie convergente fue dada por Helmut Hasse en 1930, ^[38] cf. Función zeta de Hurwitz ), que coincide con la función zeta de Riemann cuando q = 1 (el límite inferior de suma en la función zeta de Hurwitz es 0, no 1), las funciones L de Dirichlet y la función zeta de Dedekind . Para otras funciones relacionadas, consulte los artículos función zeta y función L .

El polilogaritmo viene dado por

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{s}}}}$

que coincide con la función zeta de Riemann cuando z = 1. La función de Clausen Cl _s ( θ ) puede elegirse como la parte real o imaginaria de Li _s ( e ^iθ ) .

El trascendente de Lerch viene dado por

${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$

que coincide con la función zeta de Riemann cuando z = 1 y q = 1 (el límite inferior de la suma en la trascendente de Lerch es 0, no 1).

Las funciones zeta múltiples se definen mediante

${\displaystyle \zeta (s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})=\sum _{k_{1}>k_{2}>\cdots >k_{n}>0}{k_{1}}^{-s_{1}}{k_{2}}^{-s_{2}}\cdots {k_{n}}^{-s_{n}}.}$

Estas funciones se pueden continuar analíticamente hasta el espacio complejo de n dimensiones. Los valores especiales que toman estas funciones en argumentos enteros positivos se denominan valores zeta múltiples por los teóricos de números y se han relacionado con muchas ramas diferentes de las matemáticas y la física.

Véase también

• 1 + 2 + 3 + 4 + ···
• Función aritmética zeta
• Hipótesis generalizada de Riemann
• Par de Lehmer
• Función zeta prima
• Función Xi de Riemann
• Renormalización
• Función theta de Riemann-Siegel
• Red Zeta

Referencias

1. "Visor de cuadernos Jupyter". Nbviewer.ipython.org . Consultado el 4 de enero de 2017 .
2. Steuding, Jörn; Suriajaya, Ade Irma (1 de noviembre de 2020). "Value-Distribution of the Riemann Zeta-Function Along Its Julia Lines". Métodos computacionales y teoría de funciones . 20 (3): 389–401. doi : 10.1007/s40315-020-00316-x . hdl : 2324/4483207 . ISSN  2195-3724. S2CID  216323223. El teorema 2 implica que ζ tiene una singularidad esencial en el infinito
3. Bombieri, Enrico. «La hipótesis de Riemann: descripción oficial del problema» (PDF) . Instituto de Matemáticas Clay . Archivado desde el original (PDF) el 22 de diciembre de 2015. Consultado el 8 de agosto de 2014 .
4. Devlin, Keith (2002). Los problemas del milenio: los siete mayores enigmas matemáticos sin resolver de nuestro tiempo . Nueva York: Barnes & Noble. pp. 43–47. ISBN 978-0-7607-8659-8.
5. Sandifer, Charles Edward (2007). Cómo lo hizo Euler . Asociación Matemática de Estados Unidos. pág. 193. ISBN 978-0-88385-563-8.
6. Titchmarsh, EC (1986). La teoría de la función zeta de Riemann (2.ª ed.). Oxford , Reino Unido: Oxford Science Publications. pp. 21–22. ISBN 0-19-853369-1.
7. Blagouchine, IV (1 de marzo de 2018). Historia de la ecuación funcional de la función zeta. Seminario sobre la historia de las matemáticas. San Petersburgo, RU: Instituto Steklov de Matemáticas; "PDF en línea". Archivado desde el original el 2 de mayo de 2018. Consultado el 2 de mayo de 2018 .
8. Blagouchine, IV (2014). "Redescubrimiento de las integrales de Malmsten, su evaluación mediante métodos de integración de contornos y algunos resultados relacionados". The Ramanujan Journal . 35 (1): 21–110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5. S2CID  120943474.
   Blagouchine, IV (2017). «Addendum». The Ramanujan Journal . 42 : 777–781. doi :10.1007/s11139-015-9763-z. S2CID  125198685. Archivado desde el original el 2 de mayo de 2018. Consultado el 2 de mayo de 2018 .
9. Conrey, JB (1989). "Más de dos quintas partes de los ceros de la función zeta de Riemann están en la línea crítica". J. Reine Angew. Matemáticas . 1989 (399): 1–26. doi :10.1515/crll.1989.399.1. MR  1004130. S2CID  115910600.
10. Eric Weisstein . «Ceros de la función zeta de Riemann» . Consultado el 24 de abril de 2021 .
11. La base de datos de funciones L y formas modulares. "Ceros de ζ(s)".
12. Trudgian, Timothy S. (2014). "Un límite superior mejorado para el argumento de la función zeta de Riemann en la línea crítica II". J. Number Theory . 134 : 280–292. arXiv : 1208.5846 . doi :10.1016/j.jnt.2013.07.017.
13. Resistente, GH (1914). "Sobre los ceros de la función ζ(s)". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . 158 . Academia Francesa de Ciencias : 1012-1014.
14. Hardy, GH; Fekete, M.; Littlewood, JE (1 de septiembre de 1921). "Los ceros de la función zeta de Riemann en la línea crítica". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . s1-1 : 15–19. doi :10.1112/jlms/s1-1.1.15.
15. Diamond, Harold G. (1982). "Métodos elementales en el estudio de la distribución de números primos". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 7 (3): 553–89. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15057-1 . MR  0670132.
16. Ford, K. (2002). "Integral y límites de Vinogradov para la función zeta de Riemann". Proc. London Math. Soc . 85 (3): 565–633. arXiv : 1910.08209 . doi :10.1112/S0024611502013655. S2CID  121144007.
17. Mossinghoff, Michael J.; Trudgian, Timothy S. (2015). "Polinomios trigonométricos no negativos y una región libre de ceros para la función zeta de Riemann". J. Number Theory . 157 : 329–349. arXiv : 1410.3926 . doi :10.1016/J.JNT.2015.05.010. S2CID  117968965.
18. Polchinski, Joseph (1998). Introducción a la cuerda bosónica . Teoría de cuerdas. Vol. I. Cambridge University Press. pág. 22. ISBN 978-0-521-63303-1.
19. Kainz, AJ; Titulaer, UM (1992). "Un método preciso de momentos de dos corrientes para problemas de capa límite cinética de ecuaciones cinéticas lineales". J. Phys. A: Math. Gen . 25 (7): 1855–1874. Bibcode :1992JPhA...25.1855K. doi :10.1088/0305-4470/25/7/026.
20. Otros dígitos y referencias para esta constante están disponibles en OEIS : A059750 .
21. Sondow, Jonathan (1998). «Una fórmula antisimétrica para la constante de Euler». Revista de Matemáticas . 71 (3): 219–220. doi :10.1080/0025570X.1998.11996638. Archivado desde el original el 4 de junio de 2011. Consultado el 29 de mayo de 2006 .
22. Ogilvy, CS ; Anderson, JT (1988). Excursiones en teoría de números . Publicaciones de Dover. págs. 29-35. ISBN 0-486-25778-9.
23. Voronin, SM (1975). "Teorema sobre la universalidad de la función zeta de Riemann". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matem . 39 : 475–486.Reimpreso en Math. URSS Izv. (1975) 9 : 443–445.
24. Ramūnas Garunkštis; Antanas Laurinčikas; Kohji Matsumoto; Jörn Steuding; Rasa Steuding (2010). "Aproximación uniforme efectiva mediante la función zeta de Riemann". Publicaciones Matemáticas . 54 (1): 209–219. doi :10.5565/PUBLMAT_54110_12. JSTOR  43736941.
25. Bhaskar Bagchi (1982). "Un teorema de universalidad conjunta para las funciones L de Dirichlet". Mathematische Zeitschrift . 181 (3): 319–334. doi :10.1007/bf01161980. ISSN  0025-5874. S2CID  120930513.
26. Steuding, Jörn (2007). Distribución de valores de funciones L. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1877. Berlín: Springer. p. 19. arXiv : 1711.06671 . doi :10.1007/978-3-540-44822-8. ISBN . 978-3-540-26526-9.
27. Karatsuba, AA (2001). "Límites inferiores para el módulo máximo de ζ ( s ) en dominios pequeños de la franja crítica". Mat. Zametki . 70 (5): 796–798.
28. Karatsuba, AA (2004). "Límites inferiores para el módulo máximo de la función zeta de Riemann en segmentos cortos de la línea crítica". Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat . 68 (8): 99–104. Bibcode :2004IzMat..68.1157K. doi :10.1070/IM2004v068n06ABEH000513. S2CID  250796539.
29. Karatsuba, AA (1996). "Teorema de densidad y comportamiento del argumento de la función zeta de Riemann". Mat. Zametki (60): 448–449.
30. Karatsuba, AA (1996). "Sobre la función S ( t ) ". ​​Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat . 60 (5): 27–56.
31. Knopp, Konrad (1947). Teoría de funciones, segunda parte. Nueva York, Dover publications. págs. 51–55.
32. Riemann, Bernhard (1859). " Sobre el número de números primos menores que una magnitud determinada ". Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin .Traducido y reimpreso en Edwards, HM (1974). Función Zeta de Riemann . Nueva York: Academic Press. ISBN. 0-12-232750-0.Zbl 0315.10035  .
33. En este artículo no se tienen en cuenta las excepciones triviales de valores de s que causan singularidades removibles.
34. Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . Saltador. pag. 422.ISBN​ 3-540-65399-6.
35. Hashimoto, Yasufumi; Iijima, Yasuyuki; Kurokawa, Nobushige; Wakayama, Masato (2004). "Constantes de Euler para las funciones zeta de Selberg y Dedekind". Boletín de la Sociedad Matemática Belga, Simon Stevin . 11 (4): 493–516. doi : 10.36045/bbms/1102689119 . SEÑOR  2115723.
36. "Una representación en serie para la Zeta de Riemann derivada del operador de Gauss-Kuzmin-Wirsing" (PDF) . Linas.org . Consultado el 4 de enero de 2017 .
37. Blagouchine, Iaroslav V. (2018). "Tres notas sobre las representaciones de Ser y Hasse para las funciones zeta". INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory . 18A : 1–45. arXiv : 1606.02044 . Código Bibliográfico :2016arXiv160602044B.
38. Hasse, Helmut (1930). " Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe" [Un método de suma para la serie de Riemann ζ]. Mathematische Zeitschrift (en alemán). 32 (1): 458–464. doi :10.1007/BF01194645. S2CID  120392534.
39. Sondow, Jonathan (1994). "Continuación analítica de la función zeta de Riemann y valores en números enteros negativos mediante la transformación de Euler de series" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 120 (2): 421–424. doi : 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 .
40. Blagouchine, Iaroslav V. (2016). "Expansiones de las constantes de Euler generalizadas en las series de polinomios en π ⁻² y en las series envolventes formales con coeficientes racionales únicamente". Journal of Number Theory . 158 : 365–396. arXiv : 1501.00740 . doi :10.1016/j.jnt.2015.06.012.
41. Ser, José (1926). "Sur une expresión de la fonction ζ(s) de Riemann" [Sobre una expresión de la función ζ de Riemann]. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (en francés). 182 : 1075-1077.
42. Maślanka, Krzysztof (1997). "La belleza de la nada". Acta Cosmologica . XXIII–I: 13–17.
43. Báez-Duarte, Luis (2010). "Sobre la representación de Maslanka para la función zeta de Riemann". Revista Internacional de Matemáticas y Ciencias Matemáticas . 2010 : 1–9. arXiv : math/0307214 . doi : 10.1155/2010/714147 .
44. Flajolet, Philippe; Vepstas, Linas (2008). "Sobre las diferencias de los valores zeta". Journal of Computational and Applied Mathematics . 220 (1-2 de octubre): 58–73. arXiv : math/0611332 . Código Bibliográfico :2008JCoAM.220...58F. doi :10.1016/j.cam.2007.07.040.
45. Maślanka, Krzysztof; Koleżyński, Andrzej (2022). "El cálculo numérico de alta precisión de las constantes de Stieltjes. Algoritmo simple y rápido". Métodos computacionales en ciencia y tecnología . 28 (2): 47–59. arXiv : 2210.04609 . doi :10.12921/cmst.2022.0000014. S2CID  252780397.
46. Báez-Duarte, Luis (2003). "Una nueva condición necesaria y suficiente para la hipótesis de Riemann". Teoría de números . arXiv : math/0307215 . Bibcode :2003math......7215B.
47. Maślanka, Krzysztof (2006). "Criterio de Báez-Duarte para la hipótesis de Riemann y las integrales de Rice". Teoría de números . arXiv : math/0603713v2 . Código Bibliográfico :2006math......3713M.
48. Wolf, Marek (2014). "Algunas observaciones sobre el criterio de Báez-Duarte para la hipótesis de Riemann". Métodos computacionales en ciencia y tecnología . 20 (2): 39–47. doi : 10.12921/cmst.2014.20.02.39-47 .
49. Borwein, Peter (2000). "Un algoritmo eficiente para la función zeta de Riemann" (PDF) . En Théra, Michel A. (ed.). Análisis constructivo, experimental y no lineal . Actas de congresos, Sociedad Matemática Canadiense. Vol. 27. Providence, RI: Sociedad Matemática Americana , en representación de la Sociedad Matemática Canadiense . págs. 29–34. ISBN 978-0-8218-2167-1Archivado desde el original (PDF) el 26 de julio de 2011 . Consultado el 25 de noviembre de 2017 .
50. Mező, István (2013). "La función zeta de Riemann y la función primorial". The American Mathematical Monthly . 120 (4): 321.
51. Komatsu, Takao; Mező, István (2016). "Números poli-Bernoulli incompletos asociados con números de Stirling incompletos". Publicationes Mathematicae Debrecen . 88 (3–4): 357–368. arXiv : 1510.05799 . doi :10.5486/pmd.2016.7361. S2CID  55741906.
52. "A220335 - OEIS". oeis.org . Consultado el 17 de abril de 2019 .
53. Tóth, László (2022). «Combinaciones lineales de series de Dirichlet asociadas con la secuencia Thue-Morse». Enteros . 22 (artículo 98). arXiv : 2211.13570 .
54. Odlyzko, AM ; Schönhage, A. (1988). "Algoritmos rápidos para evaluaciones múltiples de la función zeta de Riemann". Trans. Amer. Math. Soc . 309 (2): 797–809. doi : 10.2307/2000939 . JSTOR  2000939. MR  0961614..
55. "Trabajo sobre cadenas de espín de A. Knauf, et. al." Empslocal.ex.ac.uk . Consultado el 4 de enero de 2017 .
56. Gene Ward Smith. "Número entero más cercano a las posiciones de picos cada vez mayores de abs(zeta(0.5 + i*2*Pi/log(2)*t)) para valores reales t crecientes". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Consultado el 4 de marzo de 2022 .
57. William A. Sethares (2005). Tuning, Timbre, Spectrum, Scale (2.ª ed.). Springer-Verlag Londres. pág. 74. ...hay muchas maneras diferentes de evaluar la bondad, razonabilidad, idoneidad o calidad de una escala... En algunas medidas, 12-tet es el ganador, en otras 19-tet parece el mejor, 53-tet a menudo aparece entre los vencedores...
58. La mayoría de las fórmulas de esta sección proceden del § 4 de JM Borwein et al. (2000)

Fuentes

• Apostol, TM (2010). "Zeta y funciones relacionadas". En Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.). Manual de funciones matemáticas del NIST . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5.Señor 2723248  ..
• Borwein, Jonathan ; Bradley, David M.; Crandall, Richard (2000). "Estrategias computacionales para la función zeta de Riemann" (PDF) . J. Comput. Appl. Math . 121 (1–2): 247–296. Bibcode :2000JCoAM.121..247B. doi : 10.1016/S0377-0427(00)00336-8 . Archivado desde el original (PDF) el 13 de diciembre de 2013 – vía University of Exeter (maths.ex.ac.uk).
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (2002). "Representaciones integrales de la función zeta de Riemann para argumentos de enteros impares". J. Comput. Appl. Math . 142 (2): 435–439. Bibcode :2002JCoAM.142..435C. doi : 10.1016/S0377-0427(02)00358-8 . MR  1906742.
• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1997). "Expansiones de fracciones continuas para la función zeta de Riemann y polilogaritmos". Proc. Amer. Math. Soc . 125 (9): 2543–2550. doi : 10.1090/S0002-9939-97-04102-6 .
• Edwards, HM (1974). Función zeta de Riemann . Academic Press. ISBN 0-486-41740-9– vía archive.org.Contiene una traducción al inglés del artículo de Riemann.
• Hadamard, Jacques (1896). "Sur la Distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques" [Sobre la distribución de los ceros de la función ζ ( s ) y las consecuencias aritméticas]. Bulletin de la Société Mathématique de France (en francés). 14 : 199–220. doi : 10.24033/bsmf.545 .
• Hardy, GH (1949). Serie Divergente . Oxford, Reino Unido: Clarendon Press.
• Hasse, Helmut (1930). " Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe " [ Un método de suma para la serie de Riemann ζ ]. Matemáticas. Z. (en alemán). 32 : 458–464. doi :10.1007/BF01194645. SEÑOR  1545177. S2CID  120392534.(Expresión de serie convergente global).
• Ivic, Aleksandar (1985). La función Zeta de Riemann . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-80634-X.
• Motohashi, Y. (1997). Teoría espectral de la función zeta de Riemann . Cambridge University Press. ISBN 0521445205.
• Karatsuba, AA ; Voronin, SM (1992). La función Zeta de Riemann . Berlín, Alemania: W. de Gruyter.
• Mező, István; Dil, Ayhan (2010). "Serie hiperarmónica que involucra la función zeta de Hurwitz". Revista de teoría de números . 130 (2): 360–369. doi :10.1016/j.jnt.2009.08.005. hdl : 2437/90539 . SEÑOR  2564902. S2CID  122707401.
• Montgomery, Hugh L. ; Vaughan, Robert C. (2007). Teoría de números multiplicativos. I. Teoría clásica . Cambridge Tracts in Advanced Mathematics. Vol. 97. Cambridge University Press. Capítulo 10. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Newman, Donald J. (1998). Teoría analítica de números . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 177. Springer-Verlag. Cap. 6. ISBN. 0-387-98308-2.
• Raoh, Guo (1996). "La distribución de la derivada logarítmica de la función zeta de Riemann". Actas de la London Mathematical Society . S3–72: 1–27. doi :10.1112/plms/s3-72.1.1.
• Riemann, Bernhard (1859). "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse". Monatsberichte der Berliner Akademie (en alemán e inglés) - vía Trinity College, Dublín (maths.tcd.ie).También disponible en Riemann, Bernhard (1953) [1892]. Gesammelte Werke [ Obras completas ] (en alemán) (reimpresión ed.). Nueva York, NY / Leipzig, DE: Dover (1953) / Teubner (1892).
• Sondow, Jonathan (1994). "Continuación analítica de la función zeta de Riemann y valores en números enteros negativos mediante la transformación de Euler de series" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 120 (2): 421–424. doi : 10.1090/S0002-9939-1994-1172954-7 – vía American Mathematical Society (ams.org).
• Titchmarsh, EC (1986). Heath-Brown (ed.). La teoría de la función zeta de Riemann (2.ª ed. rev.). Oxford University Press.
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1927). Un curso de análisis moderno (4.ª ed.). Cambridge University Press. Capítulo 13.
• Zhao, Jianqiang (1999). "Continuación analítica de múltiples funciones zeta". Actas de la American Mathematical Society . 128 (5): 1275–1283. doi : 10.1090/S0002-9939-99-05398-8 . MR  1670846.

Enlaces externos

• Medios relacionados con Función zeta de Riemann en Wikimedia Commons
• "Función zeta". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• Función Zeta de Riemann, en Wolfram Mathworld: una explicación con un enfoque más matemático
• Tablas de ceros seleccionados Archivado el 17 de mayo de 2009 en Wayback Machine.
• Los números primos se casan Una descripción general, no técnica, del significado de la función zeta en relación con los números primos.
• Radiografía de la función Zeta Investigación orientada visualmente de dónde zeta es real o puramente imaginaria.
• Fórmulas e identidades para la función Zeta de Riemann functions.wolfram.com
• Función Zeta de Riemann y otras sumas de potencias recíprocas, sección 23.2 de Abramowitz y Stegun
• Frenkel, Edward . "Problema matemático de un millón de dólares" (video) . Brady Haran . Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021 . Consultado el 11 de marzo de 2014 .
• Transformada de Mellin y ecuación funcional de la función Zeta de Riemann: ejemplos computacionales de métodos de transformada de Mellin que involucran la función Zeta de Riemann
• Visualización de la función zeta de Riemann y continuación analítica: un vídeo de 3Blue1Brown