Función de masa binaria

En astronomía , la función de masa binaria o simplemente función de masa es una función que limita la masa del componente invisible (normalmente una estrella o un exoplaneta ) en una estrella binaria espectroscópica de una sola línea o en un sistema planetario . Se puede calcular a partir de cantidades observables únicamente, a saber, el período orbital del sistema binario y la velocidad radial máxima de la estrella observada. La velocidad de un componente binario y el período orbital proporcionan información sobre la separación y la fuerza gravitacional entre los dos componentes y, por lo tanto, sobre las masas de los componentes.

Introducción

Dos cuerpos que orbitan alrededor de un centro de masas común, indicado por el signo más rojo. El cuerpo más grande tiene una masa mayor y, por lo tanto, una órbita más pequeña y una velocidad orbital menor que su compañero de menor masa.

La función de masa binaria se deduce de la tercera ley de Kepler cuando se conoce la velocidad radial de un componente binario. ^[1] La tercera ley de Kepler describe el movimiento de dos cuerpos que orbitan alrededor de un centro de masa común . Relaciona el período orbital con la separación orbital entre los dos cuerpos y la suma de sus masas. Para una separación orbital dada, una mayor masa total del sistema implica velocidades orbitales mayores . Por otro lado, para una masa dada del sistema, un período orbital más largo implica una mayor separación y velocidades orbitales más bajas.

Dado que el período orbital y las velocidades orbitales en el sistema binario están relacionados con las masas de los componentes binarios, la medición de estos parámetros proporciona cierta información sobre las masas de uno o ambos componentes. ^[2] Sin embargo, la velocidad orbital real suele ser desconocida, porque las velocidades en el plano del cielo son mucho más difíciles de determinar que las velocidades a lo largo de la línea de visión. ^[1]

La velocidad radial es el componente de velocidad de la velocidad orbital en la línea de visión del observador. A diferencia de la velocidad orbital verdadera, la velocidad radial se puede determinar a partir de la espectroscopia Doppler de las líneas espectrales en la luz de una estrella, ^[3] o a partir de las variaciones en los tiempos de llegada de los pulsos de un púlsar de radio . ^[4] Un sistema binario se denomina binario espectroscópico de una sola línea si se puede medir el movimiento radial de solo uno de los dos componentes binarios. En este caso, se puede determinar un límite inferior para la masa del otro componente invisible. ^[1]

La masa verdadera y la velocidad orbital verdadera no se pueden determinar a partir de la velocidad radial porque la inclinación orbital es generalmente desconocida. (La inclinación es la orientación de la órbita desde el punto de vista del observador, y relaciona la velocidad verdadera y la radial. ^[1] ) Esto causa una degeneración entre la masa y la inclinación. ^{[5] [6]} Por ejemplo, si la velocidad radial medida es baja, esto puede significar que la velocidad orbital verdadera es baja (lo que implica objetos de baja masa) y la inclinación alta (la órbita se ve de canto), o que la velocidad verdadera es alta (lo que implica objetos de alta masa) pero la inclinación baja (la órbita se ve de frente).

Derivación para una órbita circular

Curva de velocidad radial con velocidad radial máxima K = 1 m/s y período orbital de 2 años.

La velocidad radial máxima es la semiamplitud de la curva de velocidad radial, como se muestra en la figura. El período orbital se obtiene a partir de la periodicidad de la curva de velocidad radial. Estas son las dos cantidades observables necesarias para calcular la función de masa binaria. ^[2] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P_{\text{orb}}}$

En este artículo, el objeto observado cuya velocidad radial se puede medir se considera el objeto 1 y su compañero invisible es el objeto 2.

Sean y las masas estelares, con la masa total del sistema binario, y las velocidades orbitales, y y las distancias de los objetos al centro de masa. es el semieje mayor (separación orbital) del sistema binario. ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle M_{1}+M_{2}=M_{\mathrm {tot} }}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}+a_{2}=a}$

Comenzamos con la tercera ley de Kepler, con la frecuencia orbital y la constante gravitacional , ${\displaystyle \omega _{\mathrm {orb} }=2\pi /P_{\mathrm {orb} }}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle GM_{\text{tot}}=\omega _{\text{orb}}^{2}a^{3}.}$$

Usando la definición de la ubicación del centro de masa, , ^[1] podemos escribir ${\displaystyle M_{1}a_{1}=M_{2}a_{2}}$ $${\displaystyle a=a_{1}+a_{2}=a_{1}\left(1+{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)=a_{1}\left(1+{\frac {M_{1}}{M_{2}}}\right)={\frac {a_{1}}{M_{2}}}(M_{1}+M_{2})={\frac {a_{1}M_{\mathrm {tot} }}{M_{2}}}.}$$

Insertando esta expresión en la tercera ley de Kepler, encontramos ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle GM_{\mathrm {tot} }=\omega _{\mathrm {orb} }^{2}{\frac {a_{1}^{3}M_{\mathrm {tot} }^{3}}{M_{2}^{3}}}.}$$

que puede reescribirse como $${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\mathrm {tot} }^{2}}}={\frac {\omega _{\mathrm {orb} }^{2}a_{1}^{3}}{G}}.}$$

La velocidad radial máxima del objeto 1, depende de la inclinación orbital (una inclinación de 0° corresponde a una órbita vista de frente, una inclinación de 90° corresponde a una órbita vista de canto). Para una órbita circular ( excentricidad orbital = 0) se obtiene mediante ^[7] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle K=v_{1}\sin i=\omega _{\text{orb}}a_{1}\sin i.}$$

Después de sustituir obtenemos ${\displaystyle a_{1}}$ $${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\text{tot}}^{2}}}={\frac {K^{3}}{G\omega _{\text{orb}}\sin ^{3}i}}.}$$

La función de masa binaria (con unidad de masa) es ^{[8] [7] [2] [9] [1] [6] [10]} ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\sin ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}.}$$

Para una masa estimada o supuesta del objeto observado 1, se puede determinar una masa mínima para el objeto no observado 2 suponiendo . La masa verdadera depende de la inclinación orbital. La inclinación normalmente no se conoce, pero hasta cierto punto se puede determinar a partir de eclipses observados ^[2] , limitarse a partir de la no observación de eclipses ^{[8] [9]} o modelarse utilizando variaciones elipsoidales (la forma no esférica de una estrella en un sistema binario conduce a variaciones en el brillo a lo largo de una órbita que dependen de la inclinación del sistema). ^[11] ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {2,min} }}$ ${\displaystyle i=90^{\circ }}$ ${\displaystyle M_{2}}$

Límites

En el caso de (por ejemplo, cuando el objeto invisible es un exoplaneta ^[8] ), la función de masa se simplifica a ${\displaystyle M_{1}\gg M_{2}}$ $${\displaystyle f\approx {\frac {M_{2}^{3}\ \sin ^{3}i}{M_{1}^{2}}}.}$$

En el otro extremo, cuando (por ejemplo, cuando el objeto invisible es un agujero negro de gran masa ), la función de masa se convierte en ^[2] y dado que para , la función de masa da un límite inferior para la masa del objeto invisible 2. ^[6] ${\displaystyle M_{1}\ll M_{2}}$ $${\displaystyle f\approx M_{2}\sin ^{3}i,}$$ ${\displaystyle 0\leq \sin(i)\leq 1}$ ${\displaystyle 0^{\circ }\leq i\leq 90^{\circ }}$

En general, para cualquier o , ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle M_{1}}$ $${\displaystyle M_{2}>\max \left(f,f^{1/3}M_{1}^{2/3}\right).}$$

Órbita excéntrica

En una órbita con excentricidad , la función de masa está dada por ^{[7] [12]} ${\displaystyle e}$ $${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\sin ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}\left(1-e^{2}\right)^{3/2}.}$$

Aplicaciones

Sistemas binarios de rayos X

Si el acretor en un sistema binario de rayos X tiene una masa mínima que excede significativamente el límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (la masa máxima posible para una estrella de neutrones ), se espera que sea un agujero negro. Este es el caso de Cygnus X-1 , por ejemplo, donde se ha medido la velocidad radial de la estrella compañera. ^{[13] [14]}

Exoplanetas

Un exoplaneta hace que su estrella anfitriona se mueva en una pequeña órbita alrededor del centro de masas del sistema estrella-planeta. Este 'bamboleo' se puede observar si la velocidad radial de la estrella es suficientemente alta. Este es el método de velocidad radial para detectar exoplanetas. ^{[5] [3]} Utilizando la función de masa y la velocidad radial de la estrella anfitriona, se puede determinar la masa mínima de un exoplaneta. ^{[15] [16] : 9  [12] [17]} La ​​aplicación de este método en Proxima Centauri , la estrella más cercana al sistema solar, condujo al descubrimiento de Proxima Centauri b , un planeta terrestre con una masa mínima de 1,27  M _E . ^[18]

Planetas pulsares

Los planetas pulsares son planetas que orbitan alrededor de púlsares , y varios de ellos han sido descubiertos utilizando la cronometraje de púlsares . Las variaciones de velocidad radial del púlsar se derivan de los intervalos variables entre los tiempos de llegada de los pulsos. ^[4] Los primeros exoplanetas se descubrieron de esta manera en 1992 alrededor del púlsar de milisegundos PSR 1257+12 . ^[19] Otro ejemplo es PSR J1719-1438 , un púlsar de milisegundos cuyo compañero, PSR J1719-1438 b , tiene una masa mínima aproximadamente igual a la masa de Júpiter , según la función de masa. ^[8]

Referencias

1. Karttunen, Hannu; Kröger, Pekka; Oja, Heikki; Poutanen, Markku y Donner, Karl J., eds. (2007) [primera publicación. 1987]. "Capítulo 9: Estrellas binarias y masas estelares". Astronomía Fundamental . Springer Verlag . págs. 221-227. ISBN 978-3-540-34143-7.
2. Podsiadlowski, Philipp. "La evolución de los sistemas binarios, en Procesos de acreción en astrofísica" (PDF) . Cambridge University Press . Consultado el 20 de abril de 2016 .
3. "Velocidad radial: el primer método que funcionó". The Planetary Society . Consultado el 20 de abril de 2016 .
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