función de patterson

La función de Patterson se utiliza para resolver el problema de fases en cristalografía de rayos X. Fue introducido en 1935 por Arthur Lindo Patterson mientras era investigador visitante en el laboratorio de Bertram Eugene Warren en el MIT . ^{[1] [2]}

La función de Patterson se define como

$${\displaystyle P(u,v,w)=\sum _{h,k,\ell \in \mathbb {Z} }\left|F_{h,k,\ell }\right|^{2}\;e^{-2\pi i(hu+kv+\ell w)}.}$$

Es esencialmente la transformada de Fourier de las intensidades más que de los factores de estructura . La función de Patterson también es equivalente a la densidad electrónica convolucionada con su inversa:

${\displaystyle P\left({\vec {u}}\right)=\rho \left({\vec {r}}\right)*\rho \left(-{\vec {r}}\right).}$

Además, un mapa de Patterson de N puntos tendrá N ( N − 1) picos, excluyendo el pico central (origen) y cualquier superposición.

Las posiciones de los picos en la función de Patterson son los vectores de distancia interatómicos y las alturas de los picos son proporcionales al producto del número de electrones en los átomos en cuestión.

Debido a que para cada vector entre los átomos i y j hay un vector orientado de manera opuesta y de la misma longitud (entre los átomos j e i ), la función de Patterson siempre tiene centrosimetría .

Ejemplo unidimensional

Considere la serie de funciones delta dada por

${\displaystyle f(x)=\delta (x)+3\delta (x-2)+\delta (x-5)+3\delta (x-8)+5\delta (x-10).\,}$

La función de Patterson viene dada por la siguiente serie de funciones delta y funciones de escalón unitario

${\displaystyle {\begin{aligned}P(u)={}&5\delta (u+10)+18\delta (u+8)+9\delta (u+6)+6\delta (u+5)+6\delta (u+3)\\&+18\delta (u+2)+45\delta (u)+18\delta (u-2)+6\delta (u-3)+6\delta (u-5)\\&+9\delta (u-6)+18\delta (u-8)+5\delta (u-10).\end{aligned}}}$

Referencias

1. Patterson, AL (1 de septiembre de 1934). "Un método de series de Fourier para la determinación de los componentes de distancias interatómicas en cristales". Revisión física . 46 (5): 372–376. doi : 10.1103/PhysRev.46.372. ISSN  0031-899X.
2. Patterson, AL (1935). "Un método directo para la determinación de los componentes de distancias interatómicas en cristales". Zeitschrift für Kristallographie . 90 (1–6): 517. doi :10.1524/zkri.1935.90.1.517. S2CID  102041995.

enlaces externos

• "Resolución estructural. La función de Patterson y el método de Patterson".